2021年华师版八年级数学下册17 第1课时 一次函数与方程和一元一次不等式的关系教案与反思

17.5 实践与探索
知己知彼，百战不殆。

《孙子兵法·谋攻》
樱落学校曾泽平
满招损，谦受益。

《尚书》
怀辰学校陈海峰组长
前事不忘，后事之师。

《战国策·赵策》
圣哲学校蔡雨欣
物以类聚，人以群分。

《易经》
如海学校陈泽学
第1课时一次函数与方程组和一元一次不等式的关系
1．掌握一次函数与方程、不等式的关系；(重点)
2．综合应用一次函数与方程、不等式的关系解决问题．(难点)
一、情境导入
1．下面三个方程有什么共同点和不同点？你能进行解释吗？
(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.
能从函数的角度解这三个方程吗？
2．下面三个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对这三个不等式进行解释吗？
(1)3x＋2＞2；(2)3x＋2＜0；(3)3x＋2＜－1.
二、合作探究
探究点一：一次函数与一元一次方程的关系
直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x 的方程2x＋b＝0的解是x＝________．
解析：∵直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则x ＝2时，y＝0，∴关于x的方程2x＋b＝0的解是x＝2.故答案为2.
方法总结：直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标就是方程kx ＋b＝0的解，反之亦然．所以在解题时，常需作出一次函数的草图，结合图形分析更加直观、方便．
探究点二：一次函数与二元一次方程(组)的关系
直角坐标系中有两条直线：y＝3
5x＋
9
5
，y＝－
3
2
x＋6，它
们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.
(1)求A 、B 两点的坐标；
(2)用图象法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5y －3x ＝9，3x ＋2y 12；
(3)求△PAB 的面积．
解析：(1)分别令y 0，求出x 的值即可得到点A 、B 的坐标；
(2)建立平直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3求出AB 的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：(1)令y ＝0，则35x ＋95
＝0，解得x ＝－3，所以点A 的坐标为(－3，0)．令－32
x ＋6＝0，解得x ＝4，所以点B 的坐标为(4，0)；
(2)如图所示，方程组的解是错误!
(3)AB ＝4－(－)＝4＋3＝7，S △PAB ＝错误!×7×3＝错误!. 方法总结：本考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．
探究点三：一次函数与一元一次不等式的关系
【类型一】利用一次函数的图象解一元一次不等式
已知一次函数的图象过点A (，4)、B (－10)，求该函数的关系式并画出它的图象，利用图求：
(1)当x 为何值时，y ＞0和y ＜0；
(2)－3＜x ＜0时，y 的取值范围；
(3)当－2≤y ≤2时，x 的取值范围．
解析：首先利用待定系数法求出一次函数的关系，然后在直角坐标系中出A (1，4)、B (－1，0)点，过这两点画直线，结合图象解答各问题．解：设一次函数的关系为y ＝kx ＋b ，代入(1，)、
(－1，0)得错误!未定义书签。

解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以y ＝2x ＋2.一次
函数y ＝2x ＋2的图象如图所示．由图得
(1)当x ＞－1时，y ＞0当x ＜－1时，y ＜0；
(2)当－3＜x ＜0时，－4＜y ＜2；
(3)当－2≤y ≤2时，－2≤x ≤0.
方法总结：从图象上看，kx ＋b ＞0的解集是直线y ＝kx ＋b (k ≠0)位于x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围；kx ＋b ＜0的解集是直线y ＝kx ＋b (k ≠0)位于x 轴下方的部分所对应的自变量x 的取值范围．
【类型二】利用一次函数的交点解一元一次不等式
对照图象，请回答下列问题：
(1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1?
(2)当x取何值时，2x－5＞－x＋1?
(3)当x取何值时，2x－5＜－x＋1?
解析：(1)直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点横坐标的值即为方程2x－5＝－x＋1的解；(2)直线y＝2x－5在直线y＝－x＋1上方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x－5＞－x ＋1的解集；(3)直线y＝2x－5在直线y＝－x＋1下方的部分对应的x的取值范围即为不等式2x－5＜－x＋1的解集．解：(1)由图象可知，直线y＝2x－5与直线y＝－x＋1的交点的横坐标是2，所以当x=2时，2x－5＝－x＋1；
(2)由图象可知，当x＞2时，直线y＝2x－5在直线y＝－x ＋1的上方，即2x－5＞－x＋1；
(3)由图象可知，当x＜2时，直线y＝2x－5在直线y＝－x ＋1的下方，即2x－5＜－x＋1.
方法总结：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
探究点四：运用一次函数与方程、不等式解决实际问题某销售公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：
(1)求每种付酬方案y关于x的函数表达式；
(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x的取值范围．
解析：(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程组，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的交点的坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x的取值范围．解：(1)设方案一的关系式为y＝kx，把(40，1600)代入关系式，可得k＝40，∴方案一y关于x的关系式为y＝40x；设方案二的关系式为y＝ax＋b，把(40，1400)和(0，600)代入关系
式，可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝600，40a ＋b ＝1400，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝20，b ＝600，∴方案二y 关于x 的关系式为y ＝20x ＋600；
(2)根据两直线相交可得40x ＝20x ＋600，解得x ＝30，故两直线交点的横坐标为30.当x ＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．
方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
三、板书设计
1．一次函数与一元一次方程的关系
2．一次函数与一元一次不等式的关系
3．用图象法求二元一次方程组的解
4．应用一次函数与方程、不等式解决实际问题
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的生活经验基础之上，教师应帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．在对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式进行整合的教学时，利用学生已掌握的知识，设计有层次、有关联的问题，不断深入，力求从题目所提供的图形及已知条件中提取相关信息，结合函数图象的几何意义运用数形结合法解答问题．
不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；若把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。

开拓一条怎样的路，装订一本怎样的书，这是一个人生命价值与内涵的体现。

有的人的足迹云烟一样消散无痕，有的人却是一本耐读的厚书，被历史的清风轻轻翻动着，给一代又一代的人以深情的启迪与深刻的昭示。

宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。

在近70年的漫长岁月里，经过护法运动(1917年)、国民大革命(1924—1927年)、国共对立十年(1927—1937年)、抗日战争(1937—1945年)、解放战争(1945—1949年)，她始终忠贞不渝地坚持孙中山的革命主张，坚定地和中国人民站在一起，为祖国的繁荣富强和人民生活的美满幸福而殚精竭虑，英勇奋斗，在中国现代历史上，谱写了光辉的篇章。

宋庆龄因此被誉为20世纪最伟大的女性之一。

海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。

他曾尝试吃过蚯蚓、蜥蜴，在墨西哥斗牛场亮过相，闯荡过非洲的原始森林，两次世界大战都上了战场。

第一次世界大战时，19岁的他见一意大利士兵负伤，便冒着奥军的炮火上去抢救，结果自己也被炸伤了腿，但他仍背着伤员顽强前进。

突然间，炮击停止，探照灯大亮，海明威终于回到阵地。

原来是他的英勇行为感动了奥军将领，下令放他过去。

宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。

在近70年的漫长岁月里，经过护法运动(1917年)、国民大革命(1924—1927年)、国共对立十年(1927—1937年)、抗日战争(1937—1945年)、解放战争(1945—1949年)，她始终忠贞不渝地坚持孙中山的革命主张，坚定地和中国人民站在一起，为祖国的繁荣富强和人民生活的美满幸福而殚精竭虑，英勇奋斗，在中国现代历史上，谱写了光辉的篇章。

宋庆龄因此被誉为20世纪最伟大的女性之一。