11哈密顿圈

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因为 H 不是完全图，所以存在不相邻的点。在所 有不相邻的顶点对中，选择一对 u 和 v ，使得 d(u)+d(v) 最大。假设 d(u)<=d(v). 因为 H 是闭包，所以 d(u)+d(v)<n ，故 d(u)<n/2 令 i = d(u) <n/2
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先找 i 个顶点的度数不超过 i =d(u) 。由 u 和 v 的选取，所有和 v 不相邻的点，其度数一定小于 等于 d(u) 。这样的顶点有 n – 1 – d(v) 个。 由于 d(u)+d(v)<= n – 1 ，所以 n – 1 – d(v) >= d(u) = i 。
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所以我们假设在 x, y, NG(x), NG(y) 之外，只有最 多一个邻点。
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作业：课本 P312, (9) (11) 其中 11 题的条件改为 :
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e≥ C
2 v −1
2
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因为 |T| + |S| = d(v1) + d(vn) >= n 所以 T 和 S 的交集非空，设 i 属于 T 和 S 的交 集。那么 v1 和 vi+1 相邻， vi 和 vn 相邻。如下图所 示，我们可以找到一个哈密顿圈。
哈密顿路的充分条件
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定理：图 G 是 n 阶图， n>2, 对 G 的任意两个不 相邻的顶点 x,y ，都有
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定理 (Bondy-Chvatal) 图 G 是哈密顿图当且仅当 它的哈密顿闭包是哈密顿图。 证明：由引理二，每次加边时，是否含哈密顿圈 这个性质是保持不变的。
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下图的哈密顿闭包就是它自身。
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有时，哈密顿闭包是完全图，而完全图是显然有 哈密顿圈的。
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定理 (Chvatal) ：设 G 是 n 阶简单图 , n>2, 设顶 点的度为 d 1≤ d 2 ≤...≤ d n , 若对每个 i < n/2 都 有 di>i 或 dn-i >= n – i ，则 G 是哈密顿图。
则 G 含有哈密顿圈。
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证明：用所谓的极大反例法。 反证结论不成立，设 G 是一个满足题目条件的 极大的非哈密顿图。即 G 不是哈密顿图，但是 对 G 的任意两个不相邻的顶点 x 和 y ， G+xy 是 哈密顿图。
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因为任意添加一条新的边就有哈密顿圈。所以 G 有哈密顿路 P= v1v2...vn 此时 v1 和 vn 是不相邻的。 下面考虑两个集合 T={ j | v1 和 vj+1 在图 G 中相邻 } S={ k | vk 和 vn 在 g 中相邻 } 那么 S 和 T 都是 {1,2, … ,n – 1} 的子集。
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设 G 是 n 阶简单图，反复地在 G 上作如下的加 边操作：若两个不相邻的点 x,y 满足 d(x) +d(y)>=n ，则加上一条边 xy ，直到无法再加边 为止。最后得到的图称为 G 的哈密顿闭包。
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引理：图 G 的哈密顿闭包由图 G 唯一确定，和 加边的顺序无关。
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证明：设有两个不同的闭包 G1 和 G2 。 G1 是通过依次 加边 e1,e2, … , er 得到。 G2 是通过依次加边 f1,f2,... ,fs 得到。 我们只需证明 f1,f2,...,fs 也都属于 G1 。 首先 f1 属于 G1. 若 f1,f2, … ,fk-1 都属于 G1 ，那么那么 G 加上这 k-1 条边 后 , fk 的两个端点的度数和就大于等于 n 了。所以在 G1 中，或迟或早 fk 也终将要加上的。
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证明：下面证明 G 的哈密顿闭包是完全图。 ( 反证 ) 设 G 的哈密顿闭包为 H ， H 不是完全 图。因为闭包是加边得到的，所以 H 的顶点的度 序列也满足定理的条件。 下面我们由 H 不是完全图的假设，证明顶点的度 序列不满足定理条件。也就说，存在某个 i < n/2, 在图 H 中，有 i 个顶点的度数不超过 i ， 并且有 n-i 个顶点的度数小于 n-i
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引理二：设 x,y 是 n 阶图 G 的两个不相邻的顶 点，且 d(x)+d(y)>=n 。那么 G 是哈密顿图当且 仅当 G+xy 是哈密顿图。 证明：必要性显然。 充分性：设 G+xy 有一个哈密顿圈 C 。若 C 不含 边 xy ，则 C 也是 G 的一个哈密顿圈。若 C 汉 xy ，和 Ore 定理中证明一样的方法，可以找到 一个不含 xy 的哈密顿圈。
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证明：运用 Ore 定理的条件，证明对任意两个不 相邻的顶点 x,y ，有
d G x d G y ≥n
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G 中不相邻的两个点 x 和 y 在 G 中是邻点，因为 G 的围长不小于 5 ， x 和 y 没有公共邻点。
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若除了 x, y, NG(x), NG(y) 之外，至少有两个邻 点，那么容易得到 d G x d G y ≥n
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再找 n – i 个顶点的度数小于 n – i 。类似上面 的论述，所以和 u 不相邻的点，其度数一定小于 或等于 d(v)< n – d(u) = n – i 。这样的点有 n – 1 – d(u) 个。加上 u 就有 n – d(u) = n – i 个。
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例：设图 G 含有圈，且围长 g G ≥ 5 证明 G 的补图 G 是哈密顿图。
若图g含有哈密顿圈则对g的任意一个顶点子集s的棋盘上国际象棋的马无法从某一格出发按照马的行走规则每个都经过且只经过一次然后回到出发点
哈密顿圈 Hamiltonian Cycle
中山大学 杨超 yangch8@
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哈密顿圈：图 G 中的一个包含所有顶点的圈称 为哈密顿圈。 换言之，哈密顿圈是一个支撑子图，且是一个 圈。 图 G 称为哈密顿图，若 G 含有哈密顿圈。
d x d y ≥n −1
则 G 含有哈密顿路。
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证明：证明方法和哈密顿圈的情况基本完全一 样，略。
推论
●Leabharlann 定理 (Dirac 条件 ) ：设 n 阶图 G 至少含有 3 个 顶点的图，若
n G ≥ 2
则 G 是哈密顿图。
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证明：对任意两个不相邻的顶点 x,y ，有
d x d y ≥2 G ≥ n
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c G − S ≤| S |
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证明：
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例：证明在 4 x n 的棋盘上，国际象棋的马无法 从某一格出发，按照马的行走规则，每个都经过 且只经过一次，然后回到出发点。
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证明：
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定理 (Ore 条件 ) ：图 G 是 n 阶图， n>2, 对 G 的任意两个不相邻的顶点 x,y ，都有
d x d y ≥n
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哈密顿路：图 G 的一条包含所有顶点的路称为 哈密顿路。 ( 哈密顿路是特殊的支撑树 ) 显然，若图 G 有哈密顿圈，一定有哈密顿路。 但反之不然。
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例：当且仅当 m=n 时，完全二部图 Km,n 有哈密 顿圈。
必要条件
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定义：我们用 c(H) 表示图 H 的连通分支的数 目。 定理：若图 G 含有哈密顿圈，则对 G 的任意一 个顶点子集 S ，有