陕西省延安市志丹县高级中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题

志丹县高级中学2016-2017学年度第一学期期中考试高二年级数学试题
（全卷满分：120分 考试时间：100分钟）
一.选择题（每小题5分，共50分）
1．数列1，3，7，15，…的通项n a 可能是（ ）
A ．2n
B ．21n
+ C ．21n
- D ．1
2n -
2．设R d c b a ∈,,,且d c b a >>,，则下列结论中正确的是（ )
A. d b c a ->-
B. d b c a +>+
C.bd ac >
D.c
b d a > 3．已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
4．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为（ ）
A ．
23 B ．23- C ．14 D ．14
- 5．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且311=16a a ⋅，则6a = （ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 6．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若
sin sin C
A
=2，ac a b 322=-，则B ∠=（ ） A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150
7．已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b = （ ）
A ．16
B ．8
C ．2
D ．4
8．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是 （ ）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定 9．已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ，则=8S （ ）
A.160
B.64
C.64-
D.160-
10．已知0,0a b >>，则33
a b
+
+的最小值是（ ）
A ．10
B ．
C ．12
D ．20
二.填空题（每小题5分，共20分） 11．不等式
201
x
x -≤+的解集是 ． 12．设等比数列{}n a 的公比1
2q =
，前n 项和为n S ，则44
S a = ． 13．在ABC ∆
中，60,4,A b a =︒==,则ABC ∆的面积等于___ __. 14．数列{}n a 的通项公式n
n a n ++=
11，它的前n 项和为9n S =，则n =_________．
三.解答题（每小题10分，共50分，要求写出计算过程） 15．已知数列{}n a 是等差数列，且12a =，12312a a a ++=.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n
n
n b a =⋅３*(N )n ∈，求数列{}n b 的前n 项和.
16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，5c =，3
cos 5
B =． （1）求b 的值； （2）求sin
C 的值．
17．已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92
． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T ． 18．在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c
，且sin cos b A B =. （1）求角B 的大小；
（2）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值.
19．某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8m ，最大装水量为723m ，池底和池壁的造价分别为2a 元2/m 、a 元2/m ，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？
志丹县高级中学
2016-2017学年度第一学期期中考试高二年级数学试题
命题人：
（全卷满分：120分 考试时间：100分钟）
一.选择题（每小题5分，共50分）
1． C 2．B 3． A 4． D 5． B 6． C 7． D 8． A 9． A 10． C 二.填空题（每小题5分，共20分）
11． {|2x x ≥或1}.x <- 12． 15 13． 14． 99 三.解答题（每小题10分，共50分，要求写出计算过程） 15．解:（1）
12a =，12312a a a ++=133122a d d ∴+==，即
2(1)22.n a n n ∴=+-⋅=
（2）由已知：23n n
b n =⋅
23436323n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅２３…＋ ① 123436323n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅234３…＋ ②
①-②得
1
2323232323
n n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅23-2=16(13)
2313
n n n +--⋅-
11133313()3222
n n n n S n n +++-∴=+⋅=+-.
16．解：（1）由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-，得23
425225175
b =+-⨯⨯⨯
=，∴b =
（2）∵3cos 5B =
∴4sin 5B =，由正弦定理 sin sin b c B C =5sin 5
C =
，sin C =17．解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得11329
22,322
a d a d ⨯+=+= 化简得11322,2a d a d +=+=，解得111,2a d ==故通项公式1
2
n n a +=
（2）由（1）得14151,8b b a ===．
设
{}
n b 的公比为q ,则34
1
8b q b =
=,从而2q =．故{}
n b 的前n 项和
1(1)1(12)21112
n n n n b q T q -⨯-===---
18．解：（1）因为sin cos b A B =，由正弦定理sin sin a b
A B
=
得：sin B B =，tan B = 因为02
B π
<<
，所以3
B π
=
5分
（2）因为sin 2sin C A =，由正弦定理知2c a = ① 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得229a c ac =+- ②
由①②得a c ==。

19．解：设池底一边长为x ，水池的高为y ，池底、池壁造价分别为12,z z ，则总造价为 12z z z =+ 由最大装水量知872xy =，9
y x
∴=
12816z a x ax ∴=⋅=
214422818a
z a xy a y a x
=⋅⋅+⋅⋅=+
1441816z a a x x ⎛
⎫∴=++ ⎪⎝
⎭ 0x >
1821896114a a a a ≥+=+= 当且仅当14416x x =
即9
3,3x y x
===时，总造价最低，min 114z a = 答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m 时，总造价最低，最低造价为114a 元。