2019-2020学年安徽省阜阳第一中学高二上学期期中数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省阜阳第一中学高二上学期期中数学
（理）试题
一、单选题
1．命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是（ ） A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠ B ．若220a b +≠，则0a ≠或0b = C ．若0a =且0b =，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0b =，则220a b +≠
【答案】D
【解析】利用原命题与逆否命题的结构特征可写出所求的逆命题. 【详解】
因为原命题为：若220a b +=，则0a =且0b =， 故其逆否命题为：若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠， 故选：D. 【点睛】
本题考查原命题与逆否命题的关系，一般地，原命题为“若p 则q ”，则其逆否命题为“若
q ⌝则p ⌝”，且逆否命题与原命题同真假.
2．抛物线()2
80y mx m =>，F 是焦点，则m 表示（ ）
A ．F 到准线的距离
B ．F 到准线距离的
1
4
C ．F 到准线距离的18
D ．F 到y 轴的距离
【答案】B
【解析】根据抛物线的性质可得m 的几何意义. 【详解】
由抛物线方程为()2
80y mx m =>可得4p m =，焦点到准线的距离为p ，
故m 表示焦点到准线距离的14
， 故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线方程()2
20y px p =>中参数的几何意义，此问题属于基础题.
3．已知命题p ：1Q ∈，命题q ：函数()f x
=1
的定义域是[)1,+∞，则以下为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∨
【答案】B
【解析】判断出,p q 的真假后可得复合命题的真假. 【详解】
1为有理数，故1Q ∈，故命题p 为真命题.
当1x =时，10x -=，故()f x 的定义域中无实数1，故q 为假命题. 故p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p q ⌝∧为假命题，p q ⌝∨为假， 故选：B. 【点睛】
复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假皆假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”． 4．“2a b c +>”的一个充分条件是（ ） A ．a c >或b c > B ．a c >且b c <
C ．a c >且 b c >
D ．a c >或b c <
【答案】C
【解析】对于,A a c >或b c >，不能保证2a b c +>成立，故A 不对；对于,B a c >或
b c <，不能保证2a b c +>成立，故B 不对；对于,C a c >且b c >，由同向不等式相
加的性质知，可以推出2a b c +>，故C 正确；对于,D a c >或b c <，不能保证
2a b c +>成立，故D 不对，故选C.
5．方程1y -=所表示的曲线的长度是 （ ）
A ．6π
B ．
C ．+
D ．612π+
【答案】B
【解析】根据题意,求得函数的值域,分析出曲线为两个半圆,根据半径即可求得曲线的长度. 【详解】
因为方程1y -= 所以10y -≥,所以1y ≥或1y ≤-
将原式变形可得()()
2
2
21
3x y -+-=
所以曲线为两个半圆,半径为3 所以曲线的长度为2323C ππ=⨯= 故选:B 【点睛】
本题考查了曲线与方程的关系,根据方程判断曲线的形状,注意函数值域,属于基础题. 6．如图，已知平行六面体ABCD A B C D ''''-的底面ABCD 是边长为1的菱形，且
60C CB C CD BCD ''∠=∠=∠=︒，2DD '=，则DD BD '⋅=u u u u r u u u r
（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．-1
【答案】A
【解析】以,,CD CB CC 'u u u r u u u r u u u u r 为基底向量表示,DD BD 'u u u u r u u u r 后可求DD BD '⋅u u u u r u u u r
的值.
【详解】
,DD CC BD CD CB ''==-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以()
DD BD CC CD CB CC CD CC CB ''''⋅=-=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r
g g
g 11
2121022
=⨯⨯-⨯⨯=，
故选：A. 【点睛】
本题考查空间向量的数量积，注意根据题设条件确定一组基底，再把数量积的问题归结为基底向量的数量积问题，此类问题属于容易题.
7．已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点为（ ） A ．()
23,0±
B ．()
43,0±
C ．()
25,0±
D ．()
45,0±
【答案】C
【解析】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到 2.b
a
= 然后利用2
2
2
,c a b =+ 即可得到焦点坐标。

【详解】
由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到
2.b
a
=即 4.b = 所以22220.c a b =+= 又双曲线顶点在x
轴上，所以焦点坐标为()
±。

【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题。

8．抛物线2?y x =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标是( ) A ．()2,4 B ．11,24⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．39,24⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()1,1
【答案】D
【解析】设抛物线y=x 2上一点为A （x 0，x 02），点A （x 0，x 02）到直线2x-y-4=0
的距离
d =
=
由此能求出抛物线y=x 2上一点到直线2x-y-4=0
的距离最短的点的坐标． 【详解】
设抛物线y=x 2上一点为A （x 0，x 02）， 点A （x 0，x 02）到直线2x-y-4=0
的距离d =
=
∴当x 0=1时，即当A （1，1）时，抛物线y=x 2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短． 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
9．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=(0a >，0b >)的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标
原点，点P 在双曲线右支上，且()
220PF OP OF ⋅+=u u u u r u u u r u u u u r
，若直线1PF 的倾斜角为θ
，且
2
sin 6
θ-=
，则双曲线E 的离心率为（ ）
A ．
32
B ．3
C ．
5 D ．5
【答案】A
【解析】根据向量关系式可以得到2OP OF =，从而可得12PF F ∆是以P 为直角顶点的直角三角形，利用142
sin 6
θ-=可得1212,,PF PF F F 的关系，故可求双曲线的离心率. 【详解】
取2PF 的中点为M ，连接OM ，则220PF OM ⋅=u u u u r u u u u r 即2PF OM ⊥u u u u r u u u u r
，
所以2OP OF =，故21OP OF OF ==，所以
12PF F ∆是以P 为直角顶点的直角三角形.
在12Rt PF F ∆中， 12142sin sin 6
PF F θ∠==. 设126(0)F F k k =>，则(
)2142PF k =，故)
1142PF k =
故24a k =，所以离心率3322
k e k ==， 故选：A. 【点睛】
圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于
,,a b c 的不等式或不等式组．
10．已知,A B 是椭圆2
214
x y +=与x 轴的交点，点P 是椭圆上异于,A B 的任一点，直
线,PA PB 分别于y 轴交于点,M N ，则AN BM ⋅=u u u r u u u u r
（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．4-
【答案】C
【解析】设()00,P x y ，可用P 的坐标表示直线,PA PB 方程，求出,M N 的坐标后可求
AN BM ⋅u u u r u u u u r
的值.
【详解】
由椭圆方程可得()()2,0,2,0A B -，设()00,P x y ，故22
0044x y -=.
又()00:22
y PA y x x =
++，令0x =，故0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理0020,2y N x ⎛⎫
- ⎪-⎝
⎭ 又0000222,,2,22y y AN BM x x ⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝
⎭u u u r u u u u r ，
所以2200
2
200444441344
y x AN BM x x -⋅=--=--=-+=---u u u r u u u u r ， 故选：C. 【点睛】
本题考查椭圆中的定值问题，此类问题一般有两种解法：
（1）设出椭圆上的动点坐标，利用动点坐标表示目标代数式，再利用点在椭圆上满足的方程化简前者可得定值.
（2）联立直线方程和椭圆方程，消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.
11．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为平面ABCD 上的动点，且满足•0MP MC =u u u v u u u u v
，则点M 到直线AB 的最远距离为（ ）
A ．5
B ．35+
C ．45+
D ．422+【答案】B
【解析】建立空间直角坐标系，求出点M 的轨迹，然后求出点M 到直线AB 的最远距离 【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系
则(2,0,23P ,()0,4,0,C 设(),,0M a b ，04,04a b ≤≤≤≤
(2,,23MP a b ∴=--u u u v ,(),4,0MC a b =--u u u u v
•0MP MC =u u u v u u u u v Q ,
22•240MP MC a a b b u u u v u u u u v ∴=-+-+=，整理得()()22
125a b -+-=
M ∴为底面ABCD 内以()12O ，
为圆心，以5r = 则点M 到直线AB 的最远距离为41535-=故选B 【点睛】
本题考查了运动点的轨迹问题，需要建立空间直角坐标系，结合题意先求出运动点的轨迹，然后再求出点到线的距离问题
12．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左
右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
32
D 6 【答案】A
【解析】结合图像，利用P 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到
MN ME
的比值，再结合
MIN ∆与MPE ∆相似，即可求得I 点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建
立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率. 【详解】
如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于点M ，连接GI 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E ，
设点00(,)P x y ，12(c,0),(,0)F F c -，则00,OE x PE y ==，
因为G 为12PF F ∆的重心，所以00
(,)33x y G ， 因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03
x
ON =，
因为PM 为12F PF ∠的角平分线，
则有0
1212122()()23
x PF PF F N NF FO ON OF ON ON -=-=+--==， 又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x x
PF a PF a =+=-， 又由角平分线的性质可得，
011
223=3
x a F M PF x F M PF a +=-，而12=F M c OM F M c OM +- 所以得03cx
OM a
=，
所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0
(3)3a c x ME OE OM a
-=-=，
所以
3IN MN a c PE
ME
a c -=
=
-，即0
()3a c y IN a c
-=-， 因为1212121211
()22
PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=
++=
即
00()1
1(22)(2)232a c y a c c y a c -+=-，解得13
c a =，所以答案为A. 【点睛】
本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有： （1）根据题目条件求出,a c ，利用离心率公式直接求解.
（2）建立,,a b c 的齐次等式，转化为关于e 的方程求解，同时注意数形结合.
二、填空题
13．命题“[)0,x ∀∈+∞，ln 10x x ++>”的否定是___________. 【答案】[)00,∃∈+∞x ，00ln 10x x ++≤
【解析】利用全称命题的否定的结构形式可求给定的命题的否定. 【详解】
命题的否定为：[)00,∃∈+∞x ，00ln 10x x ++≤. 故答案为：[)00,∃∈+∞x ，00ln 10x x ++≤. 【点睛】
全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.
14．如图，火力发电厂的冷却塔的外形是由双曲线绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面、已知塔的总高度为137.5m ，塔顶直径为90m ，塔的最小直径(喉部直径)为60m ，喉部标高112.5m ，则双曲线的标准方程为____________.
【答案】221900500
x y -=
【解析】根据喉部直径可得实半轴的长，根据喉部标高、塔的总高度、塔顶直径可得双曲线过点()45,25，两者结合可求双曲线的标准方程.
【详解】
设双曲线的标准方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>，如图所示：
AB 为喉部直径，故30a m =，故双曲线方程为
22
21900x y b
-=. 而M 的横坐标为塔顶直径的一半即45m ，
其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即137.5112.525m -=，故()45,25M ，
故22245251900b -=，所以2
500b =，故双曲线方程为221900500x y -=.
故答案为：22
1900500
x y -=.
【点睛】
本题考查双曲线在实际问题中的应用，一般地，求双曲线的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等，此类问题属于基础题.
15．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的焦点为F ，点M 是抛物线上的动
点，则的最大值为______．
【答案】
【解析】设到准线的距离等于，由抛物线的定义可得
，令
，利用基本不等式可求得最大值．
【详解】 焦点
，设
，则
，
，设到准线
的距离等于，
则．
令
，
，则
， 当且仅当
时，等号成立．
则的最大值为，故答案为.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、简单性质基本不等式的应用是解题的关键和难点，属于中档题．与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
16．已知椭圆()2222r :10x y a b a b
+=>>的右焦点为()1,0F ,且离心率为12，ABC n 的
三个顶点都在椭圆r 上，设ABC n 三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别为123k k k 、、，且123k k k 、、均不为0.O 为坐标原点，若直线OD OE OM 、、的斜率之和为1.则123
111
k k k ++=__________． 【答案】43
-
【解析】由题意可得11,2c c a ==，所以22
2,3,143x y a b ==+=，设
112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y
2222
12121,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()43x x x x y y y y -+-+=-，则
21212121()4()()3()x x y y y y x x +-=-+-，
143OD AB k k =-，同理可得1414
,33OM OE AC BC k k k k =-=-，所以123111
k k k +
+=44()33OD OE OM k k k -++=-，填43
-。

【点睛】
点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。

不妨以椭圆方
程()22
2210x y a b a b
+=>>为例，设直线y kx m =+与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两
点，则该两点满足椭圆方程，有：22
112
22
2
2222
11x y a b
x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：
()()
2222
121222110x x y y a b -+-= ① ()()()()121212122211
0x x x x y y y y a b
⇒-++-+= ()()()()121212122211022
x x y y x x y y a b ++⇒
-+-= ② 由等式可知：其中直线AB 的斜率12
12
y y k x x -=
-，AB 中点的坐标为
1212,2
2x x y y ++⎛⎫
⎪⎝⎭，这些要素均在②式中有所体现。

所以通过“点差法”可得到关于直
线AB 的斜率与AB 中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。

同时由①可得在涉及,A B 坐标的平方差问题中也可使用点差法。

三、解答题
17．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos 2c B a b =+． （1）求角C 的值； （2）若2a b =，求tan A ． 【答案】（1）120C =o （2
【解析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得到角C ；（2
）由余弦定理可得
c =，再由正弦定理得sinA ，由同角三角函数关系式即可得到tanA.
【详解】
（1）2cos 2c B a b =+，由正弦定理可得2sin cos 2sin sin C B A B =+,
2sin cos 2(sin cos cos sin )sin C B B C B C B ∴=++
1
cos 2
C ∴=-，C 是三角形内角，120C =o ．
（2
）根据余弦定理c =
根据正弦定理
sin sin A C
a c
=，
所以sin sin 2a A C A c =
===
7==
所以sin tan cos 2
A A A ===． 【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查两角和差公式和同角三角函数关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.
18．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =
，n a =（*n N ∈，且2n ≥） （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：当2n ≥时，
12311113
232
n a a a na ++++<L 【答案】(1) 21n a n =- (2)见证明
【解析】(1)由题意将递推关系式整理为关于n S 与1n S -的关系式，求得前n 项和然后确定通项公式即可；
(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式. 【详解】 （1
）由n a =
1n n S S --=+
1(2)n =≥，
所以数列
1==为首项，以1为公差的等差数列，
1(1)1n n =+-⨯=，即2
n S n =，
当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，
当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-； （2）当2n ≥时，
111(21)(22)n na n n n n =<--111112(1)21n n n n ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭
， 所以
123111123n a a a na +++⋅⋅⋅+1111111122231n n ⎛⎫<+-+-++- ⎪-⎝⎭L 313222
n =-<
【点睛】
给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,AD AB AB CD ⊥P ，
2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.
(1)证明：BE CD ⊥； (2)求三棱锥P BDE -的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)
2
3
. 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出,D BE C u u u r u u u r
的坐标后可证明BE DC ⊥.
（2）可把三棱锥P BDE -的体积转化为P BDC -的体积来计算即可. 【详解】
(1) PA ⊥底面,ABCD AD AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵2,1AD DC AP AB ====，点E 为棱PC 的中点， ∴(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,1)B C D P E ，
∴()0,1,1BE =u u u r ，()2,0,0DC =u u u r
， ∵0BE DC ⋅=u u u r u u u r
，可得BE DC ⊥.
(2)因为E 为PC 的中点，故11
22
P BDE B PDE B PDC P BDC V V V V ----===， 因为PA ⊥底面ABCD ，故11142223323
P BDC BDC V PA S -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 所以2
3
P BDE V -=. 【点睛】
本题考查空间向量在线线垂直关系中的应用以及三棱锥体积的求法，解题时注意根据题设条件选择合适的建系的方式，如果三棱锥的体积不易计算，可通过同高不同底或同底不同高把体积的计算转化为其他三棱锥的体积.
20．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上的点A （4，t ）到其焦点F 的距离为5． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）过点F 作直线l ，使得抛物线C 上恰有三个点到直线1的距离为2，求直线1的方程．
【答案】（I ）2
4y x =；（II ）)1y x =-. 【解析】（Ⅰ）由已知列式求出p 的值，则抛物线的方程可求；
（Ⅱ）由题意可知，当直线l 的斜率不存在时，C 上仅有两个点到l 的距离为2，不合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P 到直线l 的距离为2，且过点P 的直线l 平行y ＝k （x ﹣1）且与抛物线C 相切．设切线方程为y ＝kx +m ，与抛物线方程联立，利用判别式为0可得m 与k 的关系，再由F 到直线y ＝k （x ﹣1）的距离为2求得k 值，则直线l 的方程可求． 【详解】
（Ⅰ）由抛物线的定义可知|AF |＝d ＝42
p
+=5， 解得：p ＝2，
故抛物线的方程是：y 2＝4x ；
（Ⅱ）由题意可知，当直线l 的斜率不存在时，C 上仅有两个点到l 的距离为2，不合题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1），
要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P 到直线l 的距离为2， 且过点P 的直线l 平行y ＝k （x ﹣1）且与抛物线C 相切． 设切线方程为y ＝kx +m ，
代入y 2＝4x ，可得k 2x 2+（2km ﹣4）x +m 2＝0．
由△＝（2km﹣4）2﹣4k2m2＝0，得km＝1．
由
2
2 1
k m
k
+
=
+
，整理得：3k2﹣2km﹣m2+4＝0．
即2
2
1
320
k
k
-+=，解得2
1
3
k=，即k3
=±．
因此，直线方程为y()
3
1
x
=±-．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．21．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EB⊥平面ABCD且
EB FD
∥.
(1)求证：平面AEC⊥平面BEFD；
(2)若2,60,,
AB BAD EB FD
=∠==
o设EA与平面ABCD所成夹角为α，且
25
COSα=，求二面角--
A EC F的余弦值.
【答案】(1)见解析
6
【解析】分析：（1）根据已知可得AC BD
⊥和AC EB
⊥，由线面垂直判定定理可证AC⊥平面BEFD，再由面面垂直判定定理证得平面AEC⊥平面BEFD.
（2）解法一：向量法，设BD AC O
⋂=，以O为原点，作//
Oz EB，以,
OA OB
u u u v u u u v
的方向分别为x轴，y轴的正方向，建空间直角坐标系，求得,,,
A C E F的坐标，运用向量的坐标表示和向量的垂直条件，求得平面AEC和平面ECF的的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求的值.
解法二：三垂线法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，过点F做FM⊥EC于M，连OM，由已知可以证明FO⊥面AEC，∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角，通过菱形的性质、勾股定理和等面积法求得cos∠FMO，得到答案.
解法三：射影面积法，连接AC交BD于O，连接EO、FO，根据已知条件计算EFC
S
V
，
OEC S V ，二面角的余弦值
cosθ=
S S OEC
EFC
V V ，即可求得答案. 详解：（1）证明：连结BD
Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，
EB Q ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
AC EB ∴⊥，
EB BD B ⋂=Q ，,EB BD ⊂平面BEFD ，
AC ∴⊥平面BEFD ，
AC Q ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BEFD .
（2）解：解法一：设 BD AC O ⋂=，
Q 四边形ABCD 是菱形，060BAD ∠=，
ABD ∴∆、BCD ∆为等边三角形，∴ 2BD AB ==，
Q O 是BD 的中点， ∴ 3AO CO == Q EB ⊥平面ABCD ，EAB α∴∠=，
∴在Rt EAB ∆中有，5cos AB
EA α=
=1EB ∴=， 以O 为原点，作//Oz EB ，以,OA OB u u u v u u u v
的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建空间直角
坐标系o xyz -如图所示，则()()
()()3,0,0,3,0,0,,1,1,0,1,1A
C E O F --
所以)3,1,1EA =
--u u u v ，(
)3,1,1EC =---u u u v ，)
3,1,1CF =
-u u u v
设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =v
，
由0,0,n EA n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u
v v 得30,30,
x y z x y z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩ 设1y =，解得()0,1,1n v =-. 设平面ECF 的法向量为(),,m a b c =v
，
由
0,
0,
m CF
m EC
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
u u u v
v
u u u v
v得
30,
30,
a b c
a b c
⎧-+=
⎪
⎨
---=
⎪⎩
设3
a=，解得()
3,0,3
m=-
v
. 设二面角A EC F
--的为θ，则
6
cos
4
3911
m n
m n
θ
⋅
===
⋅+⋅+
v v
v v
结合图可知，二面角A EC F
--的余弦值为
6
.
解法二：
∵EB⊥面ABCD，
∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角
在Rt△EAB中，cos∠EAB=
25
5
AB
AE
=又AB=2,∴AE=5
∴EB=DF=1
连接AC交BD于O，连接EO、FO
菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2
矩形BEFD中，FO=EO=2,EF=2,EO²+FO²=EF²,∴FO⊥EO
又AC⊥面BEFD, FO⊆面BEFD,∴FO⊥AC,
AC∩EO=O，AC、EO⊆面AEC,∴FO⊥面AEC
又EC⊆面AEC,∴FO⊥EC
过点F做FM⊥EC于M，连OM，
又FO⊥EC, FM∩FO=F, FM、FO⊆面FMO,∴EC⊥面FMO
OM⊆面FMO,∴EC⊥MO
∴∠FMO即为二面角A-EC-F的平面角
AC⊥面BEFD, EO⊆面BEFD，∴AC⊥EO
又O为AC的中点，∴5
Rt△OEC中，35∴2∴OM =
•6
5
OE OC
EC
=
Rt△OFM中，
,∴
FM =
∴cos∠
FMO=
OM
FM
=
即二面角A-EC-F
解法三：
连接AC交BD于O，连接EO、FO
菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2
矩形BEFD中，
,EF=2,EO²+FO²=EF²,∴FO⊥EO
又AC⊥面BEFD, FO⊆面BEFD,∴FO⊥AC, AC∩EO=O，AC、EO⊆面AEC,∴FO⊥面AEC 又∵EB⊥面ABCD，
∴∠EAB即为EA与平面ABCD所成的角
在Rt△EAB中，cos∠
EAB=AB
AE
=又AB=2,∴
∴EB=DF=1
在Rt△EBC、Rt△FDC中可得
在△EFC中，
EF=2,∴2
EFC
S=
V
在△AEC中
为AC中点，∴OE⊥OC
在Rt△
,
∴
2
OEC
S=
V
设△EFC、△OEC在EC边上的高分别为h、m, 二面角A-EC-F的平面角设为θ，
则
cosθ=S
m2
S2
OEC
EFC
h
===
V
V
即二面角A-EC-F
的余弦值为
4
.
点睛：本题考查平面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题. 二面角常见问题解法：
1、可见棱型问题，即二面角的公共棱可见的问题.
（1）定义法，即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的垂线，即得二面角的平面角；
（2）三垂线法，由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角；
（3）垂面法，由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。

（4）面积法，由公式=cos S S θ射影斜面，作出二面角的平面角直接求出。

运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

（5）向量法，通过计算两个平面法向量的夹角来求二面角，运用这一方法的关键是正确建立空间直角坐标系和二面角与法向量夹角关系的判断. 2、不可见棱型问题
（1）转化成可见棱问题，再采用“1”中方法求解 （2）面积法.
22．已知2
2
49:(1)4M x y ++=
e 的圆心为M ，22
1:(1)4
N x y -+=e 的圆心为N ，一动圆与圆M 内切，与圆N 外切. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；
(2)过点N 的直线交曲线C 于,A B 两点，交直线4x =于点P ，是否存在实数λ，使得
11PA PB PN
λ
+=成立?若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 22
143
x y +=；(2) 存在，2.
【解析】（1）利用动圆与圆M 内切，与圆N 外切可得动圆圆心满足的几何性质，再根据椭圆的定义可得C 的轨迹方程.
（2）设AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则121212243()
4()16
x x x x x x λ-+=
-++，
联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理化简前者可得λ的值. 【详解】
(1)设动圆圆心(),H x y ，设动圆的半径为r ，由题意有
72HM r =-，12
HN r =+，消r 得到：4HM HN +=， 故轨迹C 的方程为：22
143
x y +=，它是椭圆. (2)由己知得()1,0N ，由题知直线AB 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则()3,4P k k .
11PA PB PN λ+=等价于PN PN PA PB λ+=222212
1411411414k k k x k x λ+-+-=+-+-， 即证明12
3344x x λ+=--成立， 也即1212121212243()243()(4)(4)4()16
x x x x x x x x x x λ-+-+==---++①. 联立方程23412(1)
x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，消去y 得：
2222(43)84120k x k x k +-+-= 由韦达定理得2122843
k x x k +=+，212241243-⋅=+k x x k 代入①可得
2
21222
1212222424243()432412324()16164343
k x x k k k x x x x k k λ--++===--++-+++ 所以存在实数2λ=满足题意.
【点睛】
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。