组合应用题今天

(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
C 10 C 9 C 8
1 1 4
A2
2
3150
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙 三人,每人二件有多少种分法?
C10 C 6 C 4 C 2 1 8 9 0 0
6 2 2 2
（2）在（1）的基础上再进行全排列，所以一共有
C 6 C 5 C 3种方法． 0 A3 3 6
1 2 3 3
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
解：（1）根据分步计数原理得到：
C 6 C 4 C 2 9 0种
2 2 2
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法： (2)分为三份，每份2本；
例2、 在100件产品中有98件合格品，2件次品。产 品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法?
C100 161700;
3
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
C2C98 9506;
1 2
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
方法一 方法二
·7 A
·9 A A · 10 · 8 A
·5 A
小结：在排列或组合问题中“含” 与“不含”的问题，经常先 把所有元素进行排列或组合，然后 再去掉含有不能含的元 素的取法数，这种方法叫排除法。
·4 A ·3 A
练习.四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中取 4个不共面的点,不同的取法共有( )种: A.150 B.147 C.144 D.141
解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C 62 C 42 C 22 种 方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每
份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、
丙三名同学有 A 3 种方法．根据分步计数原理所以．
3
可得： 6 C 4 C 2 x A3 C
2 2 2
3
x 所以．
C6C4C2 A3
（二）多面手问题
例 某车间有11名工人，期中有5名钳工，4名车 工，另外2名既能当钳工又能当车工，现要在这 11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床， 有多少种选派方法？
解:第一类:选派的4名钳工中无“多面手”,此时有选派方法 6 C 5C 种; 1 3 4 C 2C 5C 5 第二类:选派的4名钳工中有1名“多面手”,此时有选派方法 种; 2 2 4 C 2C 5C 4 第三类:选派的4名钳工中有2名“多面手”,此时有选派方法 种; 由分类加法计数原理，不同的选派方法共有：
C C
2
1
6
2
C
2 C 5 163 2
2
（三）元素相同问题隔板策略 例.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插入隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 6 共有___________种分法。 C9 将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 m 1 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C n 1
解：将12个球排成一排，一共有11个空隙，将两个隔板插入 这些空隙中，规定两 隔板分成的左中右三部分球分别分给 2 3个人，每一种隔法 对应一种分法，于是分法的总数为 C 11 =55 种方法。 小结：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数），可以 用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有 的插法数就是分法数，这种方法叫隔板法。
（四）顺序固定问题
例（1）7人排成一列，甲必须在乙的右面（可以不相 邻），有多少种不同的排法？
解：（1）解法一: 7人排队，2人顺序固定，共有
A7 A
2 2
7
7 6 5 4 3 2 5 2（ 种 ） 0
解法二：先从7个位置中选5个位置，排上其余5人，剩下2人 5 直接插入。共有 A 7 2 5 2（ 种 ） 0
一 班 二 班
三 班
四 班
五 班
六 班
七 班
练习、 （1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少 一个，共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名 额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数 学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，即有 5 种方法。 C
3
2
2
2
15Leabharlann 因此，分为三份，每份两本一共有15种方法
点评：
本题是分组中的“平均分组”问题．
一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元 素）,共有 m m m
C mn C mnm C m An
n
种方法
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法：
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本；
例5：圆周上有n个点（n≥6），用线段将它们彼此相连，这 些线段中任意三条在圆内没有公共点，问这些线段构成多 少个顶点在圆内的三角形？ A2 A1 ° 问题转化为在圆周上取6个点就能组成一 圆内三角形，从圆周上n个点中选6个点的 B° 1 组合数 C 6 就是圆内三角形的个数。
n
A
B
C
°C2 °C
注意： 对于排列组合的混合应用题，
一般解法是先选后排。
例4：空间十个点A1，A2，A3，···· 10，其中A1， ···· ···A A2··A5在同一平面内，此外再无三点共线四点共面， ·· ·· 以这些点为顶点，一共可以构成几个四面体？
C 10 C 5
4
4
【图示】 · A6 A2· A1·
1
B2
例4．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种？两个空盒呢？
4
解：（1）根据分步计数原理：一共有 4 2 5 6 种方法； （2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个 “捆绑”在一起看成一个元素有 2 种方法；第二步：从 C
4 4
C 5 C 6 + C 2C 5C 5 C 2C 5 C 4 185
4 4 1 3 4 2 2 4
某小组共有10人，期中有5人会英语，7 人会俄语，其中有2人既会外语又会俄语， 现要在这10人中选派4人，其中2人做英语翻 译，2人做俄语翻译，有多少种选派方法？
C C
3
2
C 7
2
1 3
解：（5）可以分为三类情况：
①“2、2、2型” 的分配情况，有C 2 C 2 C 2 9 0 6 4 2 种方法； ②“1、2、3型” 的分配情况，有 种方法； ③“1、1、4型”，有 64 A33 种方法， C 90
C 6 C 5 C 3 A3 3 6 0
1 2 3 3
所以，一共有90+360+90＝540种方法．

10 9 2
2 由于有向线段两端点中
一个是终点 为端点的有向线段的条 同元素中取出 线段共有 A
2 10
一个是起点
,另
, 以平面内 10 个点中每两个点 数 , 就是从 10 个不 , 即有向
2 个元素 的排列数 10 9 90 条 .
在例3中 第1 小题不考虑线段两个端 , 点的 顺序 是组合问题第2小题要考虑线段两 , ; 个端点的顺序是排列问题 , .
C2 C8 C8
2 4 6
等分组与分配问题 例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （1）分成1本、2本、3本三组； （2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本， 一个人2本，一个人3本； 解：（1）这是“不均匀分组”问题，一共有
2 3 种方法． 6 0 C 6C 5 C 3 1
C2C98 C2 C98
1 2 2 1
C100 C98
3 3
反思：“至少”“至多”的问
题，通常用分类法 或间接法求解。
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ 3 2 （1）甲、乙、丙三人必须当选； C3 C9 36 0 5 （2）甲、乙、丙三人不能当选； C3 C9 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126 （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； C1C 4 378 3 9 （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例1
1平面内有10个点,以其中每2个点为
端点的线段共有多少条 ?
2平面内有10个点,以其中每 2 个点为端点
的有向线段共有多少条 ?
解
1 以平面内
10 个点中每
2 个点为端点的线 2 个元
线的条数 素的组合数 C
2 10
, 就是从 10 个不同的元素中取出 , 即线段共有 45 条 .
2．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中 有2位同学要么都请，要么都不请，共有 98 种邀请方法.
3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 30 个. 4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这 2 2 两组平行线相交，可以构成 C m C n个平行四边形 . 5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个， 第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行， 2 2 2 可构成 C m C n C t 个平行六面体
9
按照第一个隔板前的指标数为1班的指标，第一个隔板与第二个隔 板之间的指标数为2班的指标，以此类推，因此共有 C 5 种分法. 126 9
（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，然后，问题 转化为7个优秀指标分给三个班，每班至少一个.由（1） 可知共有 62 1种分法 C 5
练习：12个相同的球分给3个人，每人至少一个，而且必须 全部分完，有多少种分法？
解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有
3 种方法． C 6C 5 C 3 6 0 1 2
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
3 种方法． C 6 C 5 C 3 A3 3 6 0 1 2 3
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本
4 3 四个不同的盒中任取三个将球放入有 A种方法，所以， 4
一共有 C 2 A 3 ＝144种方法
4 4
例5、把5个不同的小球全部放入三个不 同的盒子中，使每个盒子都不空的方法 数是多少？ 2 2 1 3 1 1
分堆问题
C5 C 3 C1 A2
2
A3
3
C5 C 2C1 A2
2
A3
3
理论：平均分成的组，不管它们的顺序如何 ，都是一种情况，所以分组后要除以 A m m ，即m!，其中m表示组数。
——组合应用题
复习：
1. 排列数、组合数公式
A n = n (n -1 )(n -2 ) (n -m + 1 )
m
n! (n m )!
规定0！=1
Cn
m
An
m m
Am
n! n n 1 n m 1 n m ! m ! m!
2. 组合数性质
(5)方法一：C3 C9 C3C9 C3 C9 756
2 3 1 4 0 5
方法二：C12 C3 C9 756
5 3 2
(6)方法一：C3 C9 C3 C9 C3C9 666
3 2 2 3 1 4
方法二：C12 C3 C9 666
5 0 5
课堂检测： 1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且 4 C 5 5． 票必须分完，那么不同的分法种数是
规定：C n
Cn Cn
m n m
0
1
性质1
m
n N
*

性质2
Cn 1 Cn Cn
m m
m 1
组合应用题的解题要领：
解有关组合的应用问题时，首先要判断这个问题是不是组 合问题。 组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题取出 的元素之间与顺序有关，而组合问题取出的元素之间与顺序无 关。 解组合应用题的方法与排列题一样，主要有两种方法： 1. 直接法，它包含直接分类法与直接分步法，其处理问题 的原则是要优先处理特殊元素，再处理其他元素，从而直接求 出所要求的组合数； 2. 间接法，先算出无条件的组合数，再排除不符合题意 的组合数，从而间接地得出有附加条件地组合数。 在排列问题中使用的其他方法，同样可以在组合问题中运 用。