2018高考复习数学第一轮 第69讲 棱柱与棱锥(知识点、例题、讲解、练习、拓展、答案)

棱柱与棱锥
(2018年4月)
一、 知识要点
1、 多面体的定义：由几个多边形围成的封闭立体叫多面体。

2、 棱柱
（1） 定义：有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共
边都互相平行，由这些围成的多面体叫棱柱。

（2） 基本性质：侧面都是平行四边形；两个底面及平行于底面的截面都是全等
的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。

（3） 侧面积和体积公式：S Cl =侧（C 为垂直于侧棱的直截面的周长，l 为侧棱
长），V Sh =（S 为底面面积，h 为高）
3、 棱锥
（1） 定义：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体。

（2） 基本性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么侧棱和高被
这个平面分成比例线段；截面与底面都是相似多边形；截面面积与底面面积之比，等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。

4、 正棱锥
（1） 定义：如果一个棱锥的底面是多边形，且顶点在诺面的射影是底面的中心，
这个棱锥叫做正棱锥；
（2） 基本性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高、斜
高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

（3） 面积与体积：S S S =+表底侧，13
V Sh =。

二、 例题精讲
例1、如图表示一座底面是长方形的仓库，它的屋面是两个相同的矩形，它们互相垂直，如果仓库的长a =13米，宽b =7.6米，墙高h =3.5
米，求仓库的表面积和体积。

答案：333.2,533.52S V ==
b
h a
例2、已知三棱柱的底面是直角三角形ABC,两直角边AC 、BC 的长分别为
3cm 、4cm ，棱柱的侧棱1AA 长为10cm ，如果侧棱1BB 与底面成
的角是60o ，求这个棱柱的体积V 。

答案：
例3、已知正方体1111ABCD A B C D -，点E F G 、、分别为棱1AB BC BB 、、的中点，求三棱
锥B EFG -的体积占正方体体积的几分之几？ 答案：148
例4、已知正三棱锥的侧棱长为2a ，底面边长为a ，求此正四面体的体积和表面积。

答案：32,124
V a S a =
=
例5、已知正四面体的棱长为a，求
（1）此正四面体的高和斜高；
（2）此正四面体的体积和表面积；
（3）侧面和底面所成二面角的大小；
（4）侧棱和底面所成角的大小；
答案：a；3；(3)arctan；(4)arcsin
的侧棱SA，底面是边长为例6、已知正六棱锥S ABCDEF
3cm的正六边形，棱锥被平行于底面的平面所截，截得的截面面积等于
2
，求截面和底面之间的距离。

98
答案：4
例7、在三棱锥V ABC -中，已知13,10AC BC AB ===，三个侧面于底面所成的二面
角均为60︒，
VO ABC ⊥平面且交平面ABC 与点O 。

（1） 求证：点O 是ABC 的内心；
（2） 求此三棱锥的高；
（3） 求此三棱锥的体积。

答案：（1）略；（2；（3
三、 课堂练习
1．三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面为直角三角形的射影必落在中点上．
答案：斜边
2．如右图，这是一个平面图形的直观图，其中45PBD ∠=︒，那么根据图中的尺寸，
线段,,,PA PB PC PD 的实际长度中，最长的是；最短的是．
答案：PD ；PB 。

3．正四棱锥的侧棱和底面边长都是a ，则它的全面积是____________．
答案：(2
1a +
4．已知长方体的长、宽、高的比为3:4:12，其对角线的长为26厘米，则这个长方体的体积为．
答案：1152
5．斜三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧棱1AA 和棱,AB AC 所成的角都是60︒，
若13AB AA =，则此三棱锥的全面积为________________．
答案：92+
6．若一个长方体的全面积是22，体积是8，则这样的长方体的个数是_________。

答案：0
四、 课后作业
一、填空题
1．正四棱锥的侧棱长是l ，底面边长都是a ，则它的全面积等于，体积等于。

答案：2a +2．正三棱锥的侧棱互相垂直，高为
334，则其体积等于________________． 答案：323
3．斜三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧棱1AA 和棱,AB AC 所成的角都是
60︒，
若13AB AA =，则此三棱锥的侧面积为________________．
答案：92
+4．若一个三棱锥的一条棱长为3，其余五条棱长都是2，那么这个三棱锥的体积等于________．
5．棱锥的底面是面积为9的矩形，它有两个侧面都垂直于底面，另外两个侧面分别与底面成30︒角和60︒角，此棱锥的体积为_______________；侧面积为________________．
答案：9；9+6．已知长方体1111D C B A ABCD -中，15,4,3,AB AA AD ===从点A 出发沿着表面运动到
1C 的最短路线长是_______。

二、选择题
7．四棱锥成为正四棱锥的一个充分但不必要的条件是（）
（A ）各侧面都是等边三角形（B ）底面是正方形
（C ）各侧面是等腰三角形且底面是正方形
（D ）顶点在底面的射影是底面四边形两对角线的点
答案：A
8．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）
（A ）三棱锥（B ）四棱锥（C ）五棱锥（D ）六棱锥
答案：D
9．由正方体的八个顶点中的四个顶点所构成的正四面体的表面积与正方体的表面积之比是
（）
（A B C D 答案：B
三、解答题
10．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知顶点A 处的三条棱长分别为3,2和2，求对
角线1AC 与过A 的三个相邻面所成角的余弦的平方和．
答案：2
11．已知正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -，较短的对角线与底面ABCDEF 所成的角为030，求该棱柱的体积． 答案：272
12、如图，一石柱的顶上是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱。

已知正四棱柱的底面边长为0.5米，高1米，正四棱锥的高是0.3米，且石料的比重为每立方米重2400千克，求这个石柱的重量。

答案：660。