高考物理万有引力与航天解题技巧及练习题(1)

高考物理万有引力与航天解题技巧及练习题(1)
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．2018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018”．例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射18颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速圆周运动的周期为T ，地球质量为M 、半径为R ，引力常量为G ．
（1）求静止轨道卫星的角速度ω；
（2）求静止轨道卫星距离地面的高度h 1；
（3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T ，距离地面的高度为h 2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h 1和h 2的大小，并说出你的理由．
【答案】（1）2π=T ω；（2）23124GMT h R π
（3）h 1= h 2 【解析】
【分析】
（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度；
（2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度；
（3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度；
【详解】
（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度2π=
T ω （2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：21212π=()()()Mm G
m R h R h T
++ 解得：2312=4πGMT h R
（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也是T ，根据牛顿运动定律，22222=()()()Mm G
m R h R h T
π++ 解得：23224GMT h R π 因此h 1= h 2．
故本题答案是：（1）2π=T ω；（2）2312=4GMT h R π
（3）h 1= h 2 【点睛】
对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量．
2．从在某星球表面一倾角为θ的山坡上以初速度v 0平抛一物体，经时间t 该物体落到山坡上．已知该星球的半径为R ，一切阻力不计，引力常量为G ，求：
（1）该星球表面的重力加速度的大小g
（2）该星球的质量M ．
【答案】(1) 02tan v t θ (2) 202tan v R Gt
θ 【解析】
【分析】
（1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度．（2）物体在小球的表面受到的万有引力等于物体的重力，由此即可求出．
【详解】
（1）物体做平抛运动，水平方向：0x v t =，竖直方向：212y gt =
由几何关系可知：02y gt tan x v θ=
= 解得：02v g tan t
θ= （2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：2Mm G
mg R =
可得：2202v R tan gR M G Gt
θ== 【点睛】
本题是一道万有引力定律应用与运动学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转的周期，应用平抛运动规律与万有引力公式、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄金代换”的应用．
3．我国科学家正在研究设计返回式月球软着陆器，计划在2030年前后实现航天员登月，对月球进行科学探测。

宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出小球，测量出小球的水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G 。

(1)试求月球表面处的重力加速度g .
(2)试求月球的质量M
(3)字航员着陆后，发射了一颗绕月球表面做匀速圆周运动的卫星，周期为T ，试求月球的平均密度ρ.
【答案】（1）2022hv g L =（2）2202
2hv R M GL = （3）23GT πρ= 【解析】
【详解】
（1）根据题目可得小球做平抛运动,
水平位移: v 0t =L
竖直位移:h =12
gt 2 联立可得:2022hv g L
= （2）根据万有引力黄金代换式2mM G
mg R
＝， 可得222022hv R gR M G GL == （3）根据万有引力公式2224mM G m R R T π＝；可得23
24R M GT
π=， 而星球密度M V ρ=,343V R π= 联立可得2
3GT πρ=
4．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课．若已知飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，地球半径为R ，地球表面重力加速度g ，求：
（1）地球的第一宇宙速度v ；
（2）飞船离地面的高度h ．
【答案】（1）v =
（2）h R = 【解析】
【详解】 （1）根据2v mg m R
=得地球的第一宇宙速度为：
v =
（2）根据万有引力提供向心力有：
()2
224()Mm G m R h R h T
π=++， 又2GM gR =，
解得：h R = ．
5．2019年4月20日22时41分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r 的匀速圆周运动。

卫星的质量为m ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度大小为g ，不计地球自转的影响。

求：
（1）卫星进入轨道后的加速度大小g r ；
（2）卫星的动能E k 。

【答案】（1）2
2gR r
（2）22mgR r 【解析】
【详解】
(1)设地球的质量为M ，对在地球表面质量为m '的物体，有：2Mm G m g R
'
'= 对卫星，有：r 2
Mm G mg r = 解得：2
r 2g gR r
= (2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：2
2Mm v G m r r
= 卫星的动能为：2k 12
E mv = 解得：2
k 2mgR E r
=
6．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形，2017年6月，“神舟十号”与“太空一号”成功对接．现已知“太空一号”飞行器在轨运行周期为To ，运行速度为0v ，地球半径为R ，引力常量为.G 假设“天宫一号”环绕地球做匀速圖周运动，求：
()1“天宫号”的轨道高度h ．
()2地球的质量M ．
【答案】(1)00 2v T h R π=- (2)300 2v T M G
π= 【解析】
【详解】
(1)设“天宫一号”的轨道半径为r ，则有：
00
2r v T π=“天宫一号”的轨道高度为：h r R =- 即为：002v T h R π
=- (2)对“天宫一号”有：2
220
4Mm G m r r T π= 所以有：3002v T M G
π= 【点睛】
万有引力应用问题主要从以下两点入手：一是星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力．
7．木星在太阳系的八大行星中质量最大，“木卫1”是木星的一颗卫星，若已知“木卫1”绕木星公转半径为r ，公转周期为T ，万有引力常量为G ，木星的半径为R ，求
（1）木星的质量M ；
（2）木星表面的重力加速度0g ．
【答案】（1）2324r GT π (2)23
224r T R
π 【解析】
(1)由万有引力提供向心力222()Mm G m r r T
π=
可得木星质量为23
24r M GT
π= (2)由木星表面万有引力等于重力：02Mm G m g R
''= 木星的表面的重力加速度23
0224r g T R
π= 【点睛】万有引力问题的运动，一般通过万有引力做向心力得到半径和周期、速度、角速度的关系，然后通过比较半径来求解．
8．“神舟”十号飞船于2013年6月11日17时38分在酒泉卫星发射中心成功发射，我国首位 80后女航大员王亚平将首次在太空为我国中小学生做课，既展示了我国在航天领域的实力，又包含着祖国对我们的殷切希望．火箭点火竖直升空时，处于加速过程，这种状态下宇航员所受支持力F 与在地球表面时重力mg 的比值后F k mg
=称为载荷值．已知地球的半径为R ＝6.4×106m （地球表面的重力加速度为g ＝9.8m/s 2）
(1)假设宇航员在火箭刚起飞加速过程的载荷值为k ＝6，求该过程的加速度；（结论用g 表示）
(2)求地球的笫一宇宙速度；
(3)“神舟”十号飞船发射成功后，进入距地面300km 的圆形轨道稳定运行，估算出“神十”绕地球飞 行一圈需要的时间．（π2≈g ）
【答案】(1) a ＝5g (2)37.9210m/s v =⨯ (3)T =5420s
【解析】
【分析】
(1)由k 值可得加速过程宇航员所受的支持力，进而还有牛顿第二定律可得加速过程的加速度．
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度，此时万有引力近似等于地球表面的重力，然后结合牛顿第二定律即可求出；
(3)由万有引力提供向心力的周期表达式，可表示周期，再由地面万有引力等于重力可得黄金代换，带入可得周期数值．
【详解】
(1)由k ＝6可知，F ＝6mg ，由牛顿第二定律可得：F -mg ＝ma
即：6mg -mg ＝ma
解得：a ＝5g
(2)笫一宇宙速度等于环绕地球做匀速圆周运动的速度， 由万有引力提供向心力得：2
v mg m R
=
所以：37.9210m/s v ===⨯
(3)由万有引力提供向心力周期表达式可得：222()Mm G
m r T π= 在地面上万有引力等于重力：2
Mm G mg R =
解得：5420s T === 【点睛】
本题首先要掌握万有引力提供向心力的表达式，这在天体运行中非常重要，其次要知道地面万有引力等于重力．
9．某宇航员乘坐载人飞船登上月球后，在月球上以大小为v 0的速度竖直向上抛出一物体(视为质点)，测得物体上升的最大高度为h ，已知月球的半径为R ，引力常量为G 。

(1)求月球的质量M ；
(2)若登上月球前飞船绕月球做匀速圆周运动的周期为T ，求此时飞船距离月球表面的高度H 。

【答案】(1)2202v R M Gh = (2)H R = 【解析】
【详解】
（1）设月球表面的重力加速度为g ，在竖直上抛运动过程中有：
202v gh =
由万有引力定律可知
2GMm mg R
= 解得：2202v R M Gh
= （2）飞船绕月球做匀速圆周运动时有：
222'4'GMm r m r T
π=
解得：r =
飞船距离月球表面的高度H R =-
10．人类总想追求更快的速度，继上海磁悬浮列车正式运营，又有人提出了新设想“高 速飞行列车”，并引起了热议.如图1所示，“高速飞行列车”拟通过搭建真空管道，让列车在管道中运行，利用低真空环境和超声速外形减小空气阻力，通过磁悬浮减小摩擦阻力，最
大时速可达4千公里.我们可以用高中物理知识对相关问题做一些讨论，为计算方便，取“高速飞行列车”(以下简称“飞行列车”)的最大速度为11000/m v m s =；取上海磁悬浮列车的最大速度为2100/m v m s =；参考上海磁悬浮列车的加速度，设“飞行列车”的最大加速度为20.8/a m s =．
()1若“飞行列车”在北京和昆明(距离取为2000)L km =之间运行，假设列车加速及减速 运动时，保持加速度大小为最大值，且功率足够大，求从北京直接到达昆明的最短运行时间t ．
()2列车高速运行时阻力主要来自于空气，因此我们采用以下简化模型进行估算：设列车所受阻力正比于空气密度、列车迎风面积及列车相对空气运动速率的平方；“飞行列车”与上海磁悬浮列车都采用电磁驱动，可认为二者达到最大速度时功率相同，且外形相同.在上述简化条件下，求在“飞行列车”的真空轨道中空气的密度1ρ与磁悬浮列车运行环境中空气密度2ρ的比值．
()3若设计一条线路让“飞行列车”沿赤道穿过非洲大陆，如图2所示，甲站在非洲大陆的 东海岸，乙站在非洲大陆的西海岸，分别将列车停靠在站台、从甲站驶向乙站(以最大速度)、从乙站驶向甲站(以最大速度)三种情况中，车内乘客对座椅压力的大小记为 1F 、2F 、3F ，请通过必要的计算将1F 、2F 、3F 按大小排序.(已知地球赤道长度约为 4410km ⨯，一天的时间取 86000)s
【答案】(1)3250m （2）1/1000（3）123F F F >>
【解析】
【分析】“飞行列车”先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，由运动学公式求出北京直接到达昆明的最短运行时间；匀速运行时，牵引力等于阻力f ，列车所受阻力正比于空气密度、列车迎风面积及列车相对空气运动速率的平方，由功率公式得3
P=k Sv m ρ，可求出在“飞行列车”的真空轨道中空气的密度1ρ与磁悬浮列车运行环境中空气密度2ρ的比值；由牛顿第二定律求出车内乘客对座椅压力的大小．
解;(1)“飞行列车”以最大加速度a =0.8m/s 2加速到最大速度v 1m =1000m/s 通过的距离
2106252m v x km a
== 因为02
L x <所以列车加速到v 1m 后保持一段匀速运动，最后以相同大小的加速度匀减速到
站停下，用时最短． 加速和减速阶段用时相等1m m v =t =
=1250s a t 加减 匀速阶段用时为01m
L-2x t ==750s v 匀 所以最短运行时间t=+t +t =3250s t 加减匀
(2)列车功率为P ，以最大速度v m 匀速运行时，牵引力等于阻力f ，此时有P=fv 由题中简化条件可以写出：阻力2f=k Sv m ρ，因此3
P=k Sv m ρ
飞行列车和磁悬浮列车功率P 相同；外形相同，所以迎风面积S 相同，因此二者运行环境中空气密度之比为32121v 1(1000
m m v ρρ==） (3)地球赤道上的物体因地球自转而具有一定的速度，其大小为
7
410=/463/86400
v m s m s ⨯=自 三种情况中乘客相对地心的速度大小v 分别为：
1463/v v m s ==自
21537/m v v v m s =-=自
311463/m v v v m s =+=自
设座椅与人之间的相互作用弹力大小为F ，地球对人的万有引力为F 引，则：
2
v F F m R
-=引 所以123F F F >>。