第13章随机变量及其分布

第13章 随机变量及其分布§13.1 离散型随机变量及其概率分布12.1.1 随机变量在某些随机试验中，试验结果（基本事件）本身就是数。

例1-1 抛一枚骰子，观察出现的点数。

所有可能的结果是整数1，2，3，4，5，6，如果用变量X 表示这些结果，则X 可能的取值是1，2，3，4，5，6，当骰子下落后（试验结束），X 取值就确定了。

例1-2 检测一批量电子管质量。

每支电子管的使用寿命可能是区间[0,]M 上任何一个实数值，其中M 为质量最好的电子管使用寿命。

若用变量Y 表示电子管寿命（单位：小时），则Y 的取值随检测结果不同而在[0,]M 上取不同的实数，当检测完毕，Y 的取值也就确定了。

在另一些随机试验中，试验结果看起来不是数，但可以人为地拟定一个实数来表示它。

例1-3 抛掷一枚硬币，观察它下落后出现正面还是出现反面。

若规定当“出现正面”时，变量ξ取值为1，当“出现反面”时，变量ξ取值为0，于是对于试验的每一种可能结果，ξ均有唯一确定的实数与之对应。

上述例子表明，随机试验的所有可能结果可以用一个变量X （或Y ，或ξ）来表示，每次试验之前不知道它取哪一个实数值，因为它的取值随试验结果的随机性亦相应地具有随机性，这个变量，有别于普通函数的变量，就是我们要引入的随机变量。

定义6-1 对于给定的随机试验，Ω是其样本空间，对Ω中每一样本点ω，有且只有一个实数()X ω与之对应，则称这个定义在样本空间Ω上的实值函数X 为随机变量。

随机变量通常用大写英文字母,,X Y ⋅⋅⋅或希腊字母,ξζ 表示，它的取值用小写英文字母表示。

引入了随机变量概念以后，就可使用随机变量的取值以及取值所满足的不等式来表示随机试验中多种形式的随机事件，从而随机事件的概率就可以表示为随机变量取不同实数值的概率。

比如在例1-1中，X =1表示随机事件{ 出现1点 }；在例1-2中，Y ≤2200表示随机事件{ 该电子管寿命不超过2200小时 }；在例1-3，ξ=1表示随机事件{ 出现正面 }等等。

例1-4 在10件同类型产品中，有3件次品，现任取2件，计算含次品的概率。

解 用变量X 表示{取出的2件产品中含次品数}，则X 的可能取值有0, 1, 2 ；{X =0 }表示次品数为0，即{ 取出的2件中没有次品 } ；{X =1}表示次品数为1，即{ 取出的2件中有1件次品 }；{X =2}表示次品数为2，即{ 取出的2件全都是次品 }。

于是有(0)P X == 023*******C C C =， (1)P X ==1137210715C C C =， (2)P X ==2037210115C C C = 6.1.2 离散型随机变量及其分布律定义6-2 设随机变量X 可能取有限个或可列无限个数值k x ，且X 取这些值的概率k p 满足()0,1,2,k k p P X x k ==≥=⋅⋅⋅ 并且1kkp=∑ （6-1 ）则称X 为离散型随机变量，称()k k p P X x ==, k =1 , 2 ,… 为离散型随机变量X 的分布律。

为直观起见，X 的分布律表示如下：X 1x 2x … n x … P1p2p…n p…反之，若一列数1p ,2p … 且满足（6-1），则该列数可作为某一离散型随机变量的分布律。

容易写出例1-4中随机变量X 的分布律如下：X1 2 P715 715 115例1-5 若离散型随机变量X 的分布律为()P X k ==k p ，k =1, 2, …其中0＜p ＜1，求p 。

解 因为11k k p ∞==∑，所以有11k k p p p ∞==-∑=1， 解得12p = 6.1.3 常用离散型随机变量下面介绍常用的离散型随机变量。

1 两点分布定义6-3 若随机变量X 仅取0和1，且(1)P X p ==，(0)1P X p ==-，01p <<， 即X 分布律为X 0 1 P1-pp则称X 服从参数p 的两点分布（或0--1分布），习惯上记1q p =-。

例1-6 已知100件同型号产品中有90件正品，10件次品，现从中随机抽取1件，我们定义X = 0,1,⎧⎨⎩当取到次品时当取到正品时 求X 的分布律。

解 由古典概型（5-1）有10(0)0.1100P X ===，90(1)0.9100P X ===，所以X 分布律为X 0 1 P 0.1 0.9如果随机现象仅有两种可能的结果，且都有正概率时，就能用一个服从两点分布的随机变量描述。

2 二项分布在n 重伯努利试验中，设在每次试验中事件A 发生的概率为p ，用X 表示n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，则X 可能的取值为0、1、…、n ，且对每一个k （0≤k ≤n ），事件{X = k }即事件{ n 次试验中事件A 发生k 次 }，于是有()(1)kkn kn P X k C p p -==-，k =1, 2 , …, n （6-2）定义6-4 若随机变量X 的分布律由（6-2）给出，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记为~(,,)X B n p k 如果记1q p =-，则()kkn kn P X k C p q-==，它恰好是二项式()np q + 展开式的通项，这正是二项分布取名的缘由。

特别地，当n =1时，二项分布(1,)B p 即为两点分布。

二项分布可作为描述“射击n 次，其中有k 次中靶”；“抛硬币n 次，其中出现正面k 次”；“在次品率为p 的一批产品中有放回地取n 次（每次任取一件），其中有k 次取出次品”等随机现象的数学模型。

例1-7 某射手射击一次中靶概率为0.9，若射手共射击5次，求： （1）中靶的概率（2）中靶不少于4次的概率。

解 射手射击5次，相当于做5次伯努利试验，设X 表示中靶次数，则(5,0.9,)X B k（1） 设A ={ 中靶 }，则A ={ 没有中靶 }，则55()1()1(0)10.90.1P A P A P X C =-=-==-⨯⨯=0.99999（2） 设B ={ 中靶不少于4次 }()()()445555450.90.10.90.10.3280.5900.918P B P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯⨯=+=例1-8 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设汽车在各交通岗遇红灯（事件）是相互独立的，并且概率均为0.25，设X 为汽车在途中遇到红灯的次数，求X 的分布律以及汽车至多遇到一次红灯的概率。

解 汽车每次遇红灯（记为事件A ）的概率均为0.25，从学校到火车站的途中有三个交通岗，则可认为做3重伯努利试验，因此途中遇红灯的次数X ~(3,0.25)B ，于是33()0.25(10.25),0,1,2,3k k k P X k C k -==⨯⨯-=，经计算有X 0 123P2764 2764 964 164至多遇一次红灯的概率为272727(1)(0)(1)646432P X P X P X ≤==+==+=例1-9 设保险公司的某人寿保险险种有1000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.005，且每个人在一年内是否死亡是相互独立的，试求在未来一年内这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率。

解 设X 为1000个投保人中在未来一年内死亡的人数，对一人而言，在未来一年内是否死亡相当于一次伯努利试验，1000人就是1000重伯努利试验，(1000,0.005)X B ，因此这1000个投保人中死亡人数不超过10人的概率为1010001000(10)(0.005)(10.005)kk k k P X C-=≤=-∑要直接计算这个式子是相当麻烦的，下面介绍一种简便的近似算法，即二项分布的逼近分布定理。

定理6-1（泊松定理）在n 重伯努利试验中，事件A 在一次试验中发生的概率为n p （与试验总次数n 有关），当n →∞时n np λ→（λ>0常数），有l i m (1),0,1,2!kkk n knnn n C pp e k k λλ--→∞-==⋅⋅⋅ 证明 记n n np λ= 则(1)(1)121(1)()(1)(1)(1)(1)(1)!!kn n n n k kn kk n k n kn n n n n n k k C p p k n n k n n n nλλλλ----⋅⋅⋅-+--=-=--⋅⋅⋅--!ke k λλ-→即 ()lim 1!kn kkk n nn n C PP e k λλ--→∞-=，对任意的常数k (k =0, 1, 2, … ) 成立。

实际应用中，当n 大p 小（100,0.01n p ≥≤），np λ=适中，二项分布(,,)B n p k 近似计算公式为()(1),!kkk n knP X k C p p e k λλ--==-≈0,1,k = （6-3）回到例1-9，有np λ==1000⨯0.005=5，因此，10505(10)0.986!k k P X e k -=≤≈≈∑最后的计算是查泊松分布概率表（附表1），例如当(5)X P ，找到表中“ 5.0λ=”这一列，然后逐一查得(0)0.06738,(1)0.033690,(2)0.084224,P X P X P X ====== 等等。

3 泊松分布在上一段我们给出了当n 大p 小，np λ=适中的二项分布(,,)B n p k 的逼近分布，它就是泊松分布。

定义6-5 若随机变量X 的分布律为(),!kP X k e k λλ-==0,0,1,k λ>= （6-4）称X 服从参数λ的泊松()poisson 分布，记为X ～()P λ。

泊松分布是用来描述大量随机试验中稀有事件出现次数的概率模型。

例如，电话交换台在一定时间内收到求救电话次数，交通路口在一定时间内发生交通事故的次数，均可视为泊松分布。

例1-10 某一城市在一天内发生火灾的次数X 服从参数0.8λ=的泊松分布，求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率。

解 设X 表示该城市一天内发生火灾的次数，则()0120.80.80.80.831(3)1(0)(1)(2)10.04740!1!2!P X P X P X P X P X e-⎛⎫≥=-<=-=-=-==-++≈ ⎪⎝⎭习题 6-11 确定常数c ，使(),0,1,2,3,42i cP X i i ===成为某随机变量X 的分布律；并试一试，求： 15(2);.22P X P X ⎛⎫≤<< ⎪⎝⎭2 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有数字 -3，-3，1，1，1，2，今从袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律。