人教版初中八年级数学下册第十七章《勾股定理》(含答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点E 是AB 的中点，点D 是AC 边上一点，且DE AB ⊥，连接DB ．若6AC =，3BC =，则CD 的长（ ）
A ．112
B ．32
C ．94
D 3解析：C
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD ，继而在Rt △BCD 中利用勾股定理列式进行计算即可．
【详解】
∵E 是AB 中点，DE AB ⊥，
∴DE 是AB 的垂直平分线，
∴DA DB =，
则6DA DB AC CD CD ==-=-，
在Rt CDB 中，∠C=90°，BC=3，
∴222CD CB DB +=，
即()2
2236CD CD +=-， ∴94
CD =
． 故选：C ．
【点睛】 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
2．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ）
A ．三个内角之比为1︰2︰3
B ．一边上的中线等于该边的一半
C ．三边为111,,12135
D ．三边长为()222220m n m n mn m n +->>、、 C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的判定条件分别判断即可；
【详解】
三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90︒，故A 不符合题意；
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；
22211112135⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故C 符合题意；
三边长的关系为()()()()22222
2220m n m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键． 3．如图，在ABC 中，AB AC =，8BC cm =，AE 平分BAC ∠，交BC 于点E ，D 为AE 上一点，且ACD CAD ∠=∠，3DE cm =，连接CD ．过点作DF AB ⊥，垂足为点F ．则下列结论正确的有（ ）
①5CD cm =；②10AC cm =；③3DF cm =；④ACD △的面积为210cm
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4B
解析：B
【分析】 根据AB AC =，AE 平分BAC ∠，得AE BC ⊥，12
BE EC BC ==，从而得CD ，结合ACD CAD ∠=∠，得AD CD =，从而计算得AE ；连接BD ，通过证明
BED CED △≌△，得BD CD AD ==，通过勾股定理得DF ，即可完成求解．
【详解】
∵AB AC =，AE 平分BAC ∠
∴AE BC ⊥，142BE EC BC ==
= ∴2222345CD DE EC =+=+=
∵ACD CAD ∠=∠
∴5AD CD ==cm ，故①正确；
∴8AE AD DE =+= ∴2222
4845AC EC AE =
+=+=cm ，故②错误；
∴45AB AC ==
如图，连接BD
∵90DE DE DEB DEF BE EC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
∴BED CED △≌△
∴BD CD = ∴5BD CD AD ===
∵DF AB ⊥ ∴1252AF BF AB ==
= ∴()22225255DF AD AF =
-=-=cm ，故③错误； ∴11541022
ACD S AD EC =
⨯=⨯⨯=△cm ，故④正确； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、勾股定理、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．
4．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A ．a ＝7，b ＝25，c ＝24
B ．a ＝11，b ＝41，c ＝40
C ．a ＝12，b ＝13，c ＝5
D ．a ＝8，b ＝17，c ＝15B 解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角
三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【详解】
解：A 、72+242＝52，能构成直角三角形，不符合题意；
B 、112+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意；
C 、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；
D 、82+152＝172，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，准确分析计算是解题的关键．
5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则DE 的长为（ ）
A ．103
B ．256
C ．203
D ．154
C 解析：C
【分析】
利用勾股定理求BC 的长度，连接AE ，然后设BE=AE=x ，结合勾股定理列方程求解．
【详解】
解：如图，∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°， ∴22221086BC AB AC =-=-=，
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴BD=12
AB=5，∠EDB=90°，AE=BE 连接AE ，设AE=BE=x ，则CE=x-6
在Rt △ACE 中，222(6)8x x -+=，解得：253
x =
∴BE=AE=253 在Rt △BDE 中，22222520()533
BE BD -=
-=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x 尺，根据题意可列方程（ ）
A ．222(6)10x x ++=
B ．222(6)10x x -+=
C ．222(6)10x x +-=
D ．222610x += A
解析：A
【分析】
设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据勾股定理解答．
【详解】
设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，
根据题意可列方程222(6)10x x ++=，
故选：A ．
【点睛】
此题考查勾股定理计算，正确理解题意掌握勾股定理计算公式是解题的关键． 7．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m 的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O 为中心，A ，B ，C ，D 是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l 上与点O 相距14m 处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m ，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个B
解析：B
【分析】 把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.
【详解】
设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0） 则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；
BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整； CP=()221433130-+=>10m ，不需调整； DP=()2214 4.5 1.592.5-+=<10m ，故D 需调整；
故选：B
【点睛】
此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键.
8．代数式
()224129x x ++-+的最小值为（ ） A ．12
B ．13
C ．14
D ．11B 解析：B
【分析】
建立直角坐标系，设P 点坐标为P （x ，0），设A （0，-2），B （12，3），过点B 作BC ⊥x 轴，交AC 于点C ，则AB 的长即为代数式()224129x x ++
-+ 的最小值，然后
根据Rt △ABC ，利用直角三角形的性质可求得AB 的值．
【详解】
解：如图所示：设P 点坐标为P （x ，0），设A （0，-2），B （12，3），过点B 作BC ⊥x 轴，交AC 于点C ，
∴BC=3－(-2)=5，AC=12
()()()()2222002203x x ⎡⎤+--+-+-⎣⎦-1， ()()22002x ⎡⎤+--⎣⎦-AP ()()22203x -+-1BP ，
∴=AP ＋BP
根据两点之间线段最短AB 的最小值
∴AB 13．
的最小值为13．
故选：B ．
【点睛】 本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．
9．以下列各数作为长度的线段，能构成直角三角形的是（ ）
A ．1,2,3
B ．3,4,6
C ．
D ．7,15,17C
解析：C
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A 、222123+≠，∴不能构成直角三角形，故A 错误； B 、222346+≠，∴不能构成直角三角形，故B 错误；
C 、(22212+=，∴能构成直角三角形，故C 正确；
D 、22271517+≠，∴不能构成直角三角形，故D 错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．
10．给出下列说法：
①在直角三角形ABC 中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；
②三角形的三边a b c 、、满足222+=a b c ，则90︒∠=C ；
③ABC ∆中，若::1:5:6A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形；
④ABC ∆中，若::1:2:a b c =
其中，错误的说法的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4A
解析：A
【分析】
分4为直角三角形的直角边和斜边两种情况，根据勾股定理即可判断①；根据勾股定理的逆定理即可判断②④；根据三角形的内角和定理即可求出三角形的三个内角，进而可判断③；从而可得答案．
【详解】
解：若4为直角三角形ABC 的直角边，则第三边长为22345+=，若4为直角三角形ABC 的斜边，则第三边长为22437-=，故①错误；
三角形的三边a b c 、、满足222+=a b c ，则90C ∠=︒，故②正确；
△ABC 中，若::1:5:6A B C ∠∠∠=，所以11801512
A ∠=︒⨯=︒，51807512
B ∠=︒⨯=︒，61809012
C ∠=︒⨯=︒，所以ABC 是直角三角形，故③正确； △ABC 中，若::1:2:3a b c =，则设,2,3a k b k c k ===
， 因为()()22
22222342a c k k k k b +=+
===，所以这个三角形是直角三角形，故④正确．
综上，错误的说法是①，有1个．
故选：A ．
【点睛】 本题考查了三角形的内角和、勾股定理及其逆定理等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
二、填空题
11．如图，已知圆柱体底面圆的半径为a π
，高为2,AB CD 、分别是两底面的直径，,AD BC 是母线．若一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）
【分析】要求一只蚂蚁从A 点出发从侧面爬行到C 点蚂
蚁爬行的最短路线利用在圆柱侧面展开图中线段AC 的长度即为所求【详解】解：圆柱的展开图如下在圆柱侧面展开图中线段AC 的长度即为所求在Rt △ABC 中AB=
2+4a
【分析】
要求一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，蚂蚁爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求．
【详解】
解：圆柱的展开图如下，
在圆柱侧面展开图中，线段AC的长度即为所求，
在Rt△ABC中，AB=π•a
π
=a，BC=2，则：2222
=+=4
AC AB BC a+，所以AC=2+4
a．
即蚂蚁爬行的最短路线的长度为2+4
a．
故答案是2+4
a．
【点睛】
本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图．12．如图，已知圆柱的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面爬行觅食从点C爬到点A，则蚂蚁爬行的最短路线为________cm．
13【分析】把圆柱沿母线AB剪开后展开点C展开后的对应点为
C′利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′然后利用勾股定理计算出AC′即可【详解】把圆柱沿母线AB剪开后展开点C展开后的对应点
解析：13
【分析】
把圆柱沿母线AB剪开后展开，点C展开后的对应点为C′，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AC′，然后利用勾股定理计算出AC′即可．
【详解】
把圆柱沿母线AB剪开后展开，点C展开后的对应点为C′，则蚂蚁爬行的最短路径为AC′，如图，
∵AB＝12，BC′＝5，
在Rt△ABC′，AC′22
51213
+=
∴蚂蚁爬行的最短路程为13cm．
故答案是：13
【点睛】
本题考查了平面展开−最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
13．如图，△ABC是等边三角形，边长为2，AD是BC边上的高．E是AC边中点，点P是AD上的一个动点，则PC＋PE的最小值是_______ ，此时∠CPE的度数是_______．
60°【分析】作点E关于AD的对称点F然后连接CF交
AD于点H连接HE由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值进而由等边三角形的性质可求解【详解】解：作点E关于AD的对称点F 然
解析：3 60°
【分析】
作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值，进而由等边三角形的性质可求解．
【详解】
解：作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠ACB=∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BD=DC，
∵点E是AC的中点，AD垂直平分EF，
∴点F是AB的中点，
∴CF⊥AB，CF平分∠ACB，
∴∠BCF=30°，
∴当点P与点H重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时PC+PE为最小值，即为CF的长，
∵BC=2，
∴BF=1，
在Rt△CBF中，223
-，
==
C BC
F BF
∴PC+PE的最小值为3；
∴∠DHC=∠FHP=60°，
∵AD垂直平分EF，
∴FH=HE，
∴∠FHP=∠PHE=60°，
∴∠CHE=60°，即为∠CPE=60°；
故答案为3；60°．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、等边三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等边三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键．
⨯的正方形网格中，ABC的顶点均在格点上，则
14．如图，在53
∠+∠=_________．
ABC ACB
45°【分析】延长BA到格点D得到根据勾股定理求出
ADCDAC长度再进一步证明△ADC为等腰直角三角形问题得解【详解】解：如图延长BA到格点D则根据勾股定理得∴AD=CD∴∠ADC=90°∴∠DAC
解析：45°
【分析】
∠+∠=∠，根据勾股定理求出AD、CD、AC长延长BA到格点D，得到ABC ACB DAC
度，再进一步证明△ADC为等腰直角三角形，问题得解．
【详解】
解：如图，延长BA到格点D，
∠+∠=∠，
则ABC ACB DAC
根据勾股定理得，
22
AD+
=12=5
22
CD+
=12=5
22
AC+
=13=10
∴AD=CD，222
+，
AD CD AC
=
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∴45ABC ACB ∠+∠=︒．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了勾股定理与逆定理，理解两个定理是解题关键．
15．一个直角三角形，一边长5cm ，另一边长4cm ，则该直角三角形面积为____10或6
【分析】分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可【详解】解：当5为直角边时4也为直角边则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；当5为斜边时由勾股定理得另一直角边为=3则该直角三角形
解析：10或6
【分析】
分5为直角边和5为斜边两种情况求解三角形的面积即可．
【详解】
解：当5为直角边时，4也为直角边，
则该直角三角形的面积为5×4÷2=10；
当52254-，
则该直角三角形的面积为3×4÷2=6，
综上，该直角三角形的面积为10或6，
故答案为：10或6．
【点睛】
本题考查直角三角形的面积、勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解答的关键． 16．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则斜边上的高是_________．或【分析】分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3利用勾股定理求得第三边再利用等面积法即可得出斜边上的高【详解】解：分为两种情况：①3和4都是直角边由勾股定理得：第三边长∴斜边上 解析：12537 【分析】
分为两种情况：①3和4都是直角边；②斜边是4有一条直角边是3．利用勾股定理求得第三边，再利用等面积法即可得出斜边上的高．
【详解】
解：分为两种情况：
①3和4都是直角边，
由勾股定理得：第三边长22435=+= ∴斜边上的高为341255
⨯=； ②斜边是4有一条直角边是3，
由勾股定理得：第三边长22437=-=，
∴斜边上的高为
373744⨯=； 故答案为：
125或374． 【点睛】
本题考查勾股定理解直角三角形.注意分类讨论和等面积法（在本题中主要用到直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半也等于斜边与斜边高的乘积的一半）的运用．
17．如图，△DEF 为等边三角形，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 上一点，且∠C ＝60°，AD 3BD 5
=，AE ＝7，则AC 的长为_________． 8【分析】以CE 为边作等边△CEH 证明△CEF ≌△HED 可
得∠DHE=60°DH ∥BC 则设AH=3xCH=5x 过点E 作EM ⊥AC 于点M 在△AEM 中解得x=1则答案得出【详解】解：以CE 为边作等边△C
解析：8
【分析】
以CE 为边作等边△CEH ，证明△CEF ≌△HED ，可得∠DHE=60°，DH ∥BC ，则
AH 3CH 5=，设AH=3x ，CH=5x ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，在△AEM 中，22253117x)(x)2
=+，解得x=1，则答案得出．
【详解】
解：以CE 为边作等边△CEH ，连接DH ，
∴CE=EH ，∠EHC=60°，
∵△DEF 为等边三角形，
∴∠DEF=60°，DE=EF ，
∴∠DEH=∠CEF ，
在△CEF 和△HED 中
∵CE HE CEF HED EF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CEF ≌△HED （SAS ），
∴∠DHE ＝∠FCE ＝60°，
∴∠DHE ＝∠HEC ＝60°，
∴DH//BC ， ∴
AD AH BD CH =， ∵
AD 3BD 5=， ∴AH 3CH 5
=， 过点E 作EM ⊥AC 于点M ，
设AH ＝3x ，CH ＝5x ，
则EC=5x ，22155311,222
x x MC EC ME EC MC AM AC MC x ===-==-=, 在△AEM 中，22253117x)(x)2=+， ∴x ＝1，
∴AC ＝8．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法能正确作出辅助线是解题的关键．
18．如图，以Rt ABC △的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为1S 、2S ， Rt ABC △的面积3S ．若14S =， 28S =，则 3S 的值为 ________ ．
12【分析】根据勾股定理和圆的面积公
式即可求得的值【详解】解：设Rt △ABC 的三边分别为abc 则观察图形可得：即∵∴=∴=4+8=12故答案为：12【点睛】本题考查了勾股定理圆的面积熟记圆的面积公式
解析：12
【分析】
根据勾股定理和圆的面积公式即可求得3S 的值．
【详解】
解：设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，则222+=a b c ，
观察图形可得：
222312111111()()()222222
a b S S S c πππ⋅+⋅+=++⋅， 即222312111888a b S S S c πππ⋅+⋅+=++⋅，
∵222+=a b c ， ∴221188a b ππ⋅+⋅=218
c π⋅， ∴312S S S =+=4+8=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键．
19．已知：直角三角形两直角边a ，b 满足a+b=17，ab=60，则此直角三角形斜边上的高为__________；【分析】设此直角三角形的斜边为c 斜边上的高为h 先根据勾股定理和完全平方公式的变形求出c 再利用三角形的面积求解即可【详解】解：设此直角三角形的斜边为c 斜边上的高为h 则因为此直角三角形的面积=所以故答案 解析：6013
【分析】
设此直角三角形的斜边为c ，斜边上的高为h ，先根据勾股定理和完全平方公式的变形求出c ，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】
解：设此直角三角形的斜边为c ，斜边上的高为h ， 则()222221726016913c a b a b ab =+=+-=-⨯==，
因为此直角三角形的面积=
1122ab ch =， 所以6013
ab h c ==． 故答案为：
6013
． 【点睛】 本题考查了勾股定理和完全平方公式等知识，正确变形、掌握解答的方法是关键． 20．如图，点A 是∠MON=45°内部一点，且OA=4cm ，分别在边OM ，ON 上各取一点B ，C ，分别连接A ，B ，C 三点组成三角形，则△ABC 最小周长为 ________ .
4【分析】作A 关于OM 的对称点A´A 关
于ON 的对称点A´´根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得
AB=A´BAC=A´´COA=OA´=OA´´=4再由勾股定理求得A´A´´长由三角形周长公式结合 解析：2
【分析】
作A 关于OM 的对称点A´，A 关于ON 的对称点A´´，根据垂直平分线上的点到两端点的距
离相等得AB=A´B ，AC=A´´C ，OA=OA´=OA´´=4，再由勾股定理求得A´A´´长，由三角形周长公
式结合等量代换即可求得答案．
【详解】
作A 关于OM 的对称点A´，A 关于ON 的对称点A´´，如图，
∴AB=A´B ，AC=A´´C ，OA=OA´=OA´´=4，
∵∠MON=45°
∴∠AOA´´=90° ∴A´A´´=2244+=42（cm ）
∴△ABC 周长=AB+AC+BC=A´B+A´´C+BC=A´A´´=42（cm ）
即△ABC 的周长最小值为42
故答案为：42．
【点睛】
本题考查了轴对称、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、垂直平分线、勾股定理的性质，从而完成求解．
三、解答题
21．在ABC 中，AB c =，BC a =，AC b =．如图1，若90C ∠=︒时，根据勾股定理有222+=a b c ．
（1）如图2，当ABC 为锐角三角形时，类比勾股定理，判断22a b +与2c 的大小关系，并证明；
（2）如图3，当ABC 为钝角三角形时，类比勾股定理，判断22a b +与2c 的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD ，已知90B ∠=︒，80AB =米，60BC =米，90CD =米，110AD =米，求这块试验田的面积．
解析：（1）猜想：222a b c +> ，证明见解析；（2）猜想：222+b a c <，证明见解析；（3）四边形ABCD 的面积是(240030002+米2．
【分析】
（1）先作高线如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，构造两个直角三角形，设CD x =，
则BD a x =-，由勾股定理和AD 构造等式2222()b x c a x -=-- ，利用放缩法可得 222b a c +>
（2）先作高线如图3，过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，构造两个直角三角
形设CD y =，则BD a y =+，利用勾股定得2222()b y c a y -=-+，整理得，
2222b a c ay +=-利用放缩法222b a c +<
（3）如图4，连接AC ．过点D 作DE AC ⊥于点E ，由勾股定理求出100AC = 设AE x =，则EC=100-x ，由勾股定理构造方程222211090(100)x x -=--，解方程的70x =，再求出DE ，利用分割法求面即可
【详解】
解：（1）猜想：222a b c +> ，
证明：如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，设CD x =，则BD a x =-，
在Rt ACD △中，有222b x AD -=,
在Rt ABD △中，有222()c a x AD --= ，
∴2222()b x c a x -=-- ，
解之：2222b a c ax +=+，
∵a b c x ，，，均为正数，∴222b a c +> ；
（2）猜想：222b a c +<
证明：如图3，过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，设CD y =，则
BD a y =+，
在Rt ACD △中，有222
b y AD -=，
在Rt ABD △中，有222()c a y AD -+= ， ∴2222()b y c a y -=-+，
解之：222
2b a c ay +=-，
∵a b c y ，，，均为正数，∴222b a c +< ；
（3）如图4，连接AC ．
在Rt ABC 中，有222AC AB BC =+，
∴222806010000AC =+=，
∵0AC >，∴100AC = ，
过点D 作DE AC ⊥于点E ，
设AE x =，则EC=100-x ，
在Rt ADE 中，有222AD AE DE -=，即222110x DE -=，
在Rt CDE △中，有222CD CE DE -=，即22290(100)x DE --= ，
∴222211090(100)x x -=--，
解之：70x =，
在Rt ADE 中，有2222211070DE AD AE =-=-，
∴DE=602±
∴DE=602， ∴1122ABC ADC ABCD S S
S AB BC AC DE =+=⨯⨯+⨯⨯四边形， =11608010060222
=⨯⨯+⨯⨯ =240030002+2），
∴四边形ABCD 的面积是(240030002+米2．
【点睛】
本题考查作高线，勾股定理，利用勾股定理推出锐角三角形，钝角三角形结论，用分割法求四边形面积，掌握高线最烦，利用勾股定理构造方程，判读锐角三角形与钝角三角形，利用分割法四边形求面是解题关键．
22．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
解析：水深12尺，芦苇长13尺
【分析】
依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x -1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，利用勾股定理求出x 的值即可得到答案．
【详解】
解：依题意画出图形，如下图，
设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x -1）尺，
因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，
在Rt △ACB '中，52+（x -1）2=x 2，
解得：x =13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．
23．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC 与AE 的长度一样，滑梯的高度4,1BC m BE m ==．求滑道AC 的长度．
解析：5m
【分析】
设AC xm =，则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，根据勾股定理得到
222AB BC AC +=，即()22214x x -+=，解方程即可．
【详解】
解：设AC xm =，
则(),1AE AC xm AB AE BE x m ===-=-，
由题意得：090ABC ∠=，
在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，
∴()2
2214x x -+= 解得8.5x =，
∴8.5AC m =．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，解一元一次方程，根据题意建立直角三角形，从而利用勾股定理解决实际问题是解题的关键．
24．在ABC 中，90,6,10C AC AB ∠===，小明用尺规作图的方法作AB 的垂直平分线与BC 的交点P ，请你根据如图所示作图方法求出图中线段PC 的长．
解析：74
【分析】
连接AP ，根据作图痕迹得到PQ 垂直平分AB ，继而得到AP=BP ，设PC=x ，表示出BP 即为AP ，在直角三角形ACP 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】
解：如图，连接AP ，
∵由作图痕迹可得：直线PQ 垂直平分AB ，
∴AP=BP ，
∵90,6,10C AC AB ∠=︒==，
∴22106-，
设PC=x ，则有AP=BP=BC-PC=8-x ，
在Rt △ACP 中，AC=6，
根据勾股定理得：（8-x ）2=x 2+62，
整理得：64-16x+x 2=x 2+36，
解得：x=74， 则PC=74
．
【点睛】
此题考查了勾股定理，线段垂直平分线定理，熟练掌握各自的定理是解本题的关键． 25．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是边BC 上的两点，AD ＝AE ，点E 关于直线AC 的对称点是点M ，连接AM ，DM ；
（1）如图1，当∠BAC ＝60°时；
①依题意补全图形；
②若∠BAD ＝α，则∠AEB ＝ ；（用含α的式子表示）；
③求证：DA ＝DM ；
（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，依题意补全图形，用等式表示线段DC ，EC ，AM 之间的数量关系，并证明．
解析：（1）①见解析；② 60°＋α；③见解析；（2）2222DC EC AM +=；见解析
【分析】
（1）①根据题意可直接进行作图；
②由题意易得△ABC 是等边三角形，则有∠B=∠C=60°，由AD=AE ，则有∠ADE=∠AED ，然后问题可求解；
③由②易得∠DAM=60°，由轴对称的性质可得AD=AE=AM ，进而可得△ADM 是等边三角形，然后问题可求证；
（2）由题意易证△DMC 是直角三角形，则有222DC CM DM +=，进而可证△ADM 是等腰直角三角形，则有2DM AM =
，从而等量代换即可求解．
【详解】
（1）解：①由题意可得如图所示：
②解：∵∠BAC=60°，AB=AC ，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵AD=AE ，∠BAD ＝α，
∴∠ADE=∠AEB=60°＋α
故答案为60°＋α；
③证明：由②可得∠BAD=∠EAC ，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAD+∠DAC=60°，
∵点E 关于直线AC 的对称点是点M ，
∴AC 垂直平分EM ，
∴AE=AM ，∠EAC=∠MAC ，
∴∠MAC=∠BAD ，DA ＝MA ，
∴∠MAC+∠DAC=60°，∠DAM ＝60°，
∴△ADM 是等边三角形，
∴DA ＝DM ；
（2）由题意可得如图所示：
线段DC，EC，AM之间的数量关系：222
+=
DC EC AM
2
证明：∵点E关于直线AC的对称点是点M，
∴AC垂直平分EM，
∴AE=AM，∠EAC=∠MAC，
∴∠MAC=∠BAD，DA＝MA，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAM=90°，
∴△DAM是等腰直角三角形，
∴2
DM AM
=，
∵AC垂直平分EM，
∴EC=CM，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ACM=45°，
∴∠MCD=90°，
∴在Rt△DMC中，222
+=，
DC CM DM
∴222
DC EC AM
+=．
2
【点睛】
本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定、轴对称的性质是解题的关键．
26．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）在直线l上找一点P，使PB+PC的和最小，并算出这个最小值．
解析：（1）图见解析；（2）图见解析，25 【分析】
（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称求最短路线求法得出P 点位置，然后根据勾股定理求解．
【详解】
解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）如图所示：点P 即为所求．
PB+PC=''B P PC B C +==222425+=．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换，最短路径求法，以及勾股定理等知识，正确得出对应点位置是解题关键．
27．如图，已知等腰△ABC 的腰AB =13cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =12cm ，AD =5cm ． （1）求证：△BDC 是直角三角形；
（2）求△BDC 的面积．
解析：（1）证明见解析；（2）48cm 2．
【分析】
（1）由AB=AC=13cm ，CD=12cm ，AD=5cm ，知道AC 2=AD 2+CD 2，所以△BDC 为直角三角形，
（2）根据三角形面积公式解答．
【详解】
证明：（1）∵AB =AC =13cm ，CD =12cm ，AD =5cm ，
∴AC 2=AD 2+CD 2，
∴∠ADC =90°，
∴∠BDC =90°，
∴△BDC 为直角三角形；
（2）∵AB =13cm ，AD =5cm ，
∴BD =13﹣5=8cm ．
∵CD =12cm ， ∴281248()2
BDC S cm ∆⨯=
=． 【点睛】
本题考查勾股定理逆定理的应用．理解如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．
28．如图，△ABC 中，AB ＝42，∠ABC ＝45°，D 是BC 边上一点，且AD ＝AC ，若BD ﹣DC ＝1．求DC 的长．
解析：DC ＝2．
【分析】
过点A 作AE ⊥BC 于点E ，则∠AEB=90°，DE=CE ，结合∠ABC=45°可得出∠BAE=45°，进而可得出AE=BE ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理可求出BE 的长，即BD+
12
DC=4，结合BD-DC=1可求出DC 的长．
【详解】
解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，如图所示．
∵AD ＝AC ，AE ⊥BC ，
∴∠AEB ＝90°，DE ＝CE ．
∵∠ABC ＝45°，
∴∠BAE ＝45°，
∴AE ＝BE ．
在Rt △ABE 中，AB ＝2
∴AE 2+BE 2＝AB 2，即BE 2+BE 2＝（2）2，
∴BE ＝4，
∴BD+1
DC＝4．
2
又∵BD﹣DC＝1，
∴DC+1+1
DC＝4，
2
∴DC＝2．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出BE的长是解题的关键．。