2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第2章 函数、导数及其应用 2-8a

[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．(2017·临汾三模)已知函数f(x)、g(x)：
则函数y＝f[g(x)]的零点是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　由题意，g(x)＝1，∴x＝1，故选B.
2．(2017·衡水调研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　∵a>0，∴a2＋1>1，而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．故选B.
3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a
的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．[1，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(2，＋∞)
答案　C
解析　当a ＝0时，函数的零点是x ＝－1，不合题意．当a ≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a >1.
若Δ＝0，即a ＝－，函数的零点是x ＝－2，不合题意，故选1
8C.
4．(2017·浙江嘉兴测试)已知函数f (x )＝x －cos x ，则f (x )在(1
4)
[0,2π]上的零点个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4答案　C
解析　函数f (x )＝x －cos x 的零点个数为
(1
4)
x
－cos x ＝0⇒x
＝cos x 的根的个数，即函数h (x )＝x
与g (x )
(14)(1
4)(1
4)＝cos x 的图象的交点个
数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选
C.
5．(2017·河南新乡三模)若函数f (x )＝log 2(x ＋a )与g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)存在相同的零点，则a 的值为( )
A ．4或－
B ．4或－2
5
2C ．5或－2 D ．6或－52
答案　C
解析　g (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝(x ＋4)[x －(a ＋5)]，令g (x )＝0，得x ＝－4或x ＝a ＋5，则f (－4)＝log 2(－4＋a )＝0或f (a ＋5)＝log 2(2a ＋5)＝0，解得a ＝5或a ＝－2.故选C.
6．(2017·河南十所名校联考)设函数f (x )＝x －ln x ，则函数
1
3y ＝f (x )( )
A ．在区间，(1，e)内均有零点(1
e ，1)B ．在区间，(1，e)内均无零点(1e ，1)C ．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点(1e ，1)D ．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点(1e ，1)答案　D
解析　令f (x )＝0得x ＝ln x ．作出函数y ＝x 和y ＝ln x 的图象，
1
31
3如图，显然y ＝f (x )在内无零点，在(1，e)内有零点，故选D.
(1e ，1
)
7．(2017·东城区期末)已知x 0是函数f (x )＝2x ＋的一个零1
1－x 点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
答案　B
解析　设g (x )＝，由于函数g (x )＝＝－在(1，＋∞)上1
1－x 1
1－x 1
x －1单调递增，函数h (x )＝2x 在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.
8．(2017·江西赣州一模)函数f (x )，g (x )满足：对任意x ∈R ，都
有f (x 2－2x ＋3)＝g (x )，若关于x 的方程g (x )＋sin x ＝0只有5个根，π
2则这5个根之和为( )
A ．5
B ．6
C ．8
D ．9答案　A
解析　由f (x 2－2x ＋3)＝g (x )及y ＝x 2－2x ＋3的图象关于直线
x ＝1对称知g (x )的图象关于直线x ＝1对称，由g (x )＋sin x ＝0，知
π
2g (x )＝－sin x ，因为y ＝－sin x 的图象也关于直线x ＝1对称，g (x )π2π2＋sin x ＝0有5个根，故必有一个根为1，另外4个根的和为4.所以π2原方程所有根之和为5.故选A.
9．(2017·山东济宁模拟)定义在上的函数f (x )满足f (x )＝
[1
π，π]f ，且当x ∈时，f (x )＝ln x ，若函数g (x )＝f (x )－ax 在上(1x )[1π，1][1
π，π]有零点，则实数a 的取值范围是( )
A. B ．[－πln π，0]
[－ln π
π，0]C. D.[－1e ，ln ππ][－e π
，－
1π]
答案　B
解析　令x ∈[1，π]，则∈，因为f (x )＝f ，且当x ∈
1
x [1
π，1](1
x )时，f (x )＝ln x ，所以f (x )＝f ＝－ln x ，则f (x )＝[1π，1](1
x )
Error!
在坐标系中画出函数f (x )的图象如图：
因为函数g (x )＝f (x )－ax 在上有零点，所以直线y ＝ax 与[1
π，π]函数f (x )的图象有交点．由图得，当a 取满足题意的最小值时，直线y ＝ax 与f (x )的图象相交于点，此时－ln
π＝⇒a ＝－πln
(1
π，－ln π)a
ππ，由图可得，实数a 的取值范围是[－πln π，0]，故选B.
10．(2016·天津高考)已知函数
f (x )＝Error!(a >0，且a ≠1)在R 上单调递
减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )
A.
B.(0，2
3][23，3
4
]
C.∪
D.∪[13，
23]{34}
[13，
23){34
}
答案　C
解析　要使函数f (x )在R 上单调递减，
只需Error!解之得≤a ≤，
1
33
4因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点，如图所示．
易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为－1，又1
a ≤－1≤2，故由图可知，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时131
a 有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2＋(4a －3)x ＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则Error!整理可得4a 2－7a ＋3＝0，解得
a ＝1(舍)或a ＝.而当3a ≤2，即a ≤时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的
3
42
3图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈∪.故选C.
[13，
23]{34}
二、填空题
11．(2017·河北模拟)若函数f (x )＝ln (x －1)－的零点在区间
3
x (k ，k ＋1)(k ∈Z )上，则k 的值为________．
答案　3
解析　易知函数f (x )＝ln (x －1)－在其定义域上连续，f (3)＝ln
3
x 2－1<0，f (4)＝ln 3－>0，故f (3)·f (4)<0，故函数的零点在区间(3,4)34上，故k ＝3，故答案为3.
12．函数f (x )＝Error!的零点个数是________．答案　2
解析　当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－(正根舍)，所以
2在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋>0恒成立，所1
x 以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.
13．已知a 是实数，函数f (x )＝2a |x |＋2x －a ，若函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．
答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　由题意易知a ≠0，令f (x )＝0，即2a |x |＋2x －a ＝0，变形得|x |－＝－x
，
1
21
a 分别作出函数y 1＝|x |－，y 2＝－x 的图象，如图所示．
121
a 由图易知，当0<－<1或－1<－<0，即a <－1或a >1时，y 1
1a 1a
和y 2的图象有两个不同的交点，所以当a <－1或a >1时，函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
14．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则4－x 2实数b 的取值范围是________．
答案　(2，＋∞)
10解析　函数g (x )的定义域是[－2,2]，根据已知得＝f (x )，
h (x )＋g (x )
2所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －.h (x )>g (x )恒成立，即
4－x 26x ＋2b －>恒成立，即3x ＋b >恒成立，令
4－x 24－x 24－x 2y ＝3x ＋b ，y ＝，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆 x 2＋y 2＝4(y ≥0)上
4－x 2>2，解得b >2(舍去负值)，故实数b 的取值范围是|b |
1010(2，＋∞)．
10三、解答题
15．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .
(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a 的(0，1
2)取值范围．
解　(1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．
依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．
(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及内各有一个零点，
(0，1
2)只需Error!即Error!解得<a <.1
23
4故实数a 的取值范围为{a .|1
2
<a <3
4}16．(2017·江西模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋(x >0)．
e2x (1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．
解　(1)∵x >0时，g (x )＝x ＋≥2
＝2e ，
e2
x x ·e2x 等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点．∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．
(2)若g (x )－f (x )
＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，
作出g (x )＝x ＋(x >0)的大致图象．
e2
x ∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )的图象有
两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．。