高中数学新课标人教A版必修第一二册同步测试〖集合中的创新探究问题综合题〗

集合中的创新探究问题综合题
1．若∈x A ，且11∈-A x ，则称集合A 为“和谐集”．已知集合112{210123}223M =---,,,,,,,,，则集合M 的子集中，“和谐集”的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：C ．
【解析】
当=2时，1113
=∉-M x ，故2不是“和谐集”中的元素； 当=1时，
1112=∈-M x ， 当12=x 时，121=∈-M x
， 当=2时，111=-∈-M x
， 所以1，
12，2可以作为“和谐集”中的一组元素， 当12=-x 时，1213
=∈-M x ， 当23=
x 时，131=∈-M x ，
当=3时，1112=-∈-M x ， 所以12-，23
，3可以作为“和谐集”中的一组元素； 当=0时，111=∈-M x ，但＝1时，11-x
无意义， 所以0，1不是“和谐集”中的元素．
所以集合M 的子集为“和谐集”，其元素只能从两组元素：1，12
，2与12-，23，3中选取一组或两组，故“和谐集”有1{1,,2}2-、12{,,3}23-、112{1,,2,,,3}223
--三个． 故选C ．
2．设S 为实数集R 的非空子集若对任意x y S ∈,，都有，
，xy ∈R ，则称S 为封闭集．下
列命题： ①集合{3}S a b a b =+∈,Z 为封闭集；
②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；
③封闭集一定是无限集；
④若S 为封闭集，则满足S T ⊆⊆R 的任意集合T 也是封闭集．
其中的真命题是 写出所有真命题的序号 ．
【答案】①②．
【解析】
①对，任取x y S ∈、，不妨设1x a b =+21212)y a b a a b b =+∈,,,Z ，
()(
1212x y a a b b +=+++，其中1212a a b b ++、均为整数，即x y S +∈，同理可得x y S xy S -∈∈、，所以正确；②对，当=时，0S ∈；③错，当{}0S =时，是封闭集，但不是无限集；④错，设{}{}00,1S T =⊆=，显然T 不是封闭集．因此真命题为①②．
3．设∈a b P ,a P b
∈0b ≠{}F a a b Q =+∈,Q M ⊆必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．
其中正确的命题的序号是__________把你认为正确的命题的序号都填上
【答案】③④．
【解析】
对于整数集Z ，a =1，b =2时，a b
∉Z ，故整数集不是数域，①错；对于满足Q M ⊆的集
合{2}M Q =，1M ，M 不是数域，②错；若P 是数域，则存在a P ∈且0a ≠，依定义，2a ，3a ，4a ，…，均是P 中元素，故P 中有无数个元素，③正确；类似数集F 等均是数域，故④正确．
4．设全集{}123456U =,,,,,，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{}24,表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．
①若{}236M =,,，则U M 表示的6位字符串为__________；
②若{}13A =,, 集合A B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是______．
【答案】①100110；②4．
【解析】
①若{}236M =,,，则{}145U M =,,,表示的6位字符串为100110，
②若{}13A =,，集合A B 表示的字符串为101001，可得{}136A B =,,，
故B ={6}或B ={1，3，6}或B ={1，6}或B ={3，6}，满足条件的集合B 的个数是4个．。