精选2019年高中数学单元测试试题《矩阵与变换》专题考核题库(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题 矩阵与变换专题（含
答案）
学校：__________
考号：__________
一、填空题
1．若矩阵11122122a a a a ⎛⎫
⎪⎝⎭ 满足：11122122,,,{1,1},a a a a ∈-且
11122122
0a a a a ＝　，则这样的互不相等的矩阵共有＿＿＿＿＿＿个.
2．在直角坐标系xOy 中，点P (x P ，y P )和点Q (x Q ，y Q )满足⎩⎨⎧x Q ＝y P ＋x P ，
y Q ＝y P －x P
，按此规则由点
P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若OQ
OP ＝m ，∠POQ ＝θ，其
中O 为坐标原点，则y ＝m sin(x ＋θ)的图象在y 轴右边第一个最高点的坐标为 ▲ ．
3．在n 行n 列矩阵12321
234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪
⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭
中，
记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= 45 。

4．行列式
cos
sin 6
6
sin
cos
6
6
π
π
π
π
的值是 0.5 。

二、解答题
5．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，求矩阵
A ．
6．已知2143M -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，4131N -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，求二阶方阵X ，使MX N =.
7．已知1413M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，24J ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，求满足MX N =的二阶方阵X ；
8．曲线2
2
421x xy y ++=在二阶矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
的作用下变换为曲线2221x y -=， (1）求实数,a b 的值；（2）求M 的逆矩阵1M -.
9．在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A （0，0），B （2，0），C （2，1），求△ABC 在矩阵MN 作用下
变换所得到的图形的面积，这里矩阵：
10．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2112A ，⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=1021B ，记AB C =. （Ⅰ）求1
-C
；
（Ⅱ）若矩阵B 把直线l ：20x y ++=变为直线l '，求直线l '的方程．
11．若点A （２，２）在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应变换的作用下得到的点为B （－２，２），求矩阵M 的逆矩阵
12． 若点A （2，2）在矩阵M= ⎢
⎣⎡ααsin cos ⎥⎦
⎤
-ααcos sin 对应变换的作用下得到的点为B （-2，2），求矩阵M 的逆矩阵。

（本小题满分10分）
13．试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中M =⎥
⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡10021．
14．已知矩阵 1 22 x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
M 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
15．已知矩阵223,.110A B -⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
（1）求矩阵A 的特征值及对应的特征向量； （2）求4
A B
16．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22
41x y +=在矩阵A=⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得
到曲线F ，求F 的方程．
17．已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为13⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦，属于特征值3的一个特征
向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求矩阵A ．
1
18． （本小题14分）设矩阵0 0
a b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
M （其中0,0a b ><）.
（1）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵-1M ；
（2）若曲线2
2
:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线
2
/
2:14
x C y +=，求,a b 的值.
19．设数列{},{}n n a b 满足132n n n a a b +=+，12n n b b +=且满足22n n n n a a M b b ++⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，试求二
阶矩阵M
20．已知矩阵M ＝1345⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
⑴求M 的逆矩阵M －
1；
⑵已知向量α＝211⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求M 的特征向量和特征值及M 2α的值．
21．已知曲线2:2C y x = ，在矩阵1002M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，对应的变换作用下得到曲线1C ，在矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程．
22．已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4131-⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
B ，求满足=AX B 的二阶矩阵X ．
23．已知二阶矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3), 且属于特征值3的一个特征向量是11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
, 求矩
阵A ．
24．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1) 求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量；
(2) 若向量m ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
－1－4，求A 4m .
25．设矩阵M 是把函数()y f x =的图象变成函数2(3)y f x =的图象，求M 的特征值与特征向量．
26．已知矩阵213122A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
-⎣⎦
（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵B ；
（Ⅱ）若直线l 经过矩阵B 变换后的直线方程为730x y -=，求直线l 的方程.
27．二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换成点(1,1)--与(0,2)-. (1)求矩阵M 的逆矩阵1-M ；
(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线:24m x y -=，求l 的方程．
28．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵12c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦A （c ，d 为实数）．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．
29．选修4—2：矩阵与变换
已知点M （3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在 矩阵02a b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
A 对应的变换作用下，得到点N (3，5)， 求a ，b 的值．
30． 已知2143M -⎛⎫=
⎪-⎝⎭，4131N -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，求二阶方阵X ，使MX N =.。