专题14 二次函数中点的存在性问题(教师版含解析)-2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练

备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练
专题14 二次函数中点的存在性问题
【专题训练】
一、解答题
1．(2020·四川广安市·中考真题)如图，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A (一1，0)，B (3，0)两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C (2，m )．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P 是线段AC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，求线段PE 最大时点P 的坐标．
(3)点F 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点D ，使得以点A ，C ，D ，F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】
解：(1)将A (一1，0)，B (3，0)两点坐标分别代入抛物线解析式中，得
01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩；解得：23
b c =-⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的解析式为223y x x =--；
(2)将点C (2，m )代入抛物线解析式中，得
2243m =--=-3
∴点C 的坐标为(2，-3)
设直线AC 的解析式为y =kx ＋d
将A (一1，0)和点C (2，-3)的坐标分别代入，得
032k d k d =-+⎧⎨-=+⎩；解得：11k d =-⎧⎨=-⎩
∴直线AC 的解析式为1y x =--
设点P 的坐标为(x ，1x --)，易知点E 的坐标为(x ，2
23x x --)且-1≤x ≤2 ∴PE =1x --－()223x x --
=22x x -++ =21924x ⎛⎫--+ ⎪⎝
⎭ ∴-1＜0
∴抛物线的开口向下，
∴当12
x =时，PE 有最大值，最大值为94 此时点P 的坐标为(
12，32-)； (3)存在，
设点D 的坐标为(n ，0)，点F 的坐标为(t ，2
23t t --)
若AD 和CF 为平行四边形的对角线时，
∴AD 的中点即为CF 的中点 ∴()
212223230022n t t t -++⎧=⎪⎪⎨-+--+⎪=⎪⎩①② 解②
，得11t =
21t =
将1t =-代入①，解得：n
=4；
将1t =+①，解得：n
=4+
∴此时点D 的坐标为
(40)或
(40)； 若AC 和DF 为平行四边形的对角线时，
∴AC 的中点即为DF 的中点 ∴()()
212220230322n t t t -++⎧=⎪⎪⎨+--+-⎪=⎪⎩①② 解②，得10t =，22t =(此时点F 和点C 重合，故舍去)
将0t =代入①，解得：n =1；
∴此时点D 的坐标为(1，0)；
若AF 和CD 为平行四边形的对角线时，
∴AF 的中点即为CD 的中点 ∴()
()212220230322t n t t -++⎧=⎪⎪⎨+--+-⎪=⎪⎩①②
解②，得10t =，22t =(此时点F 和点C 重合，故舍去)
将0t =代入①，解得：n =-3；
∴此时点D 的坐标为(-3，0)；
综上：存在，此时点D 的坐标为(4，0)或(40)或(1，0)或(-3，0)．
【点睛】
此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值和平行四边形的性质是解题关键．
2．(2020·柳州市柳林中学中考真题)如图①，在平面直角坐标系xOy 中，批物线y ＝x 2﹣4x ＋a (a ＜0)与y 轴交于点A ，与x 轴交于E 、F 两点(点E 在点F 的右侧)，顶点为M ．直线23
y x a =-与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，与直线AM 交于点D ． (1)求抛物线的对称轴；
(2)在y 轴右侧的抛物线上存在点P ，使得以P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求a 的值；
(3)如图②，过抛物线顶点M 作MN ∴x 轴于N ，连接ME ，点Q 为抛物线上任意一点，过点Q 作QG ∴x 轴于G ，连接QE ．当a ＝﹣5时，是否存在点Q ，使得以Q 、E 、G 为顶点的三角形与∴MNE 相似(不含全等)？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：(1)∴y＝x2﹣4x＋a＝(x﹣2)2＋a﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；
(2)由y＝(x﹣2)2＋a﹣4得：A(0，a)，M(2，a﹣4)，
由y＝2
3
x﹣a得C(0，﹣a)，
设直线AM的解析式为y＝kx＋a，
将M(2，a﹣4)代人y＝kx＋a中，得2k＋a＝a﹣4，解得k＝﹣2，
直线AM的解析式为y＝﹣2x＋a，
联立方程组得
2
2
3
y x a
y x a
=-+
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，解得
3
4
1
2
x a
y a
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
∴D(3
4
a，－
1
2
a)，
∴a＜0，
∴点D在第二象限，
又点A与点C关于原点对称，
∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，
即P(－3
4
a，
1
2
a)，
将点P(﹣3
4
a，
1
2
a)代入抛物线y＝x2﹣4x＋a，解得a＝
56
9
-或a＝0(舍去)，
∴a＝
56 9 -；
(3)存在，
理由如下：当a＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝(x﹣2)2﹣9，此时M(2，﹣9)，令y＝0，即(x﹣2)2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴点F(﹣1，0)E(5，0)，
∴EN＝FN＝3MN＝9，
设点Q(m，m2﹣4m﹣5)，则G(m，0)，
∴EG＝|m﹣5|QG＝|m2﹣4m﹣5|，
又∴QEG与∴MNE都是直角三角形，且∴MNE＝∴QGE＝90°，
如图所示，需分两种情况进行讨论：
i)当EG EN31
===
QG MN93时，即2
-5
-4-5
m
m m＝
1
3
，
解得m＝2或m＝﹣4或m＝5(舍去)；
当m＝2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，当m＝﹣4时，此时Q坐标为点Q1(﹣4，27)；
ii)当QG EN31
===
EG MN93
时，即
2-4-5
-5
m m
m
＝
1
3
，，
解得m＝
2
-
3
或m＝－
4
3
或m＝5(舍去)，
当m＝
2
-
3
时，Q坐标为点Q2(
2
-
3
，
17
-
9
)，
当m＝－4
3
，Q坐标为点Q3(－
4
3
，
19
9
)，
综上所述，点Q的坐标为(﹣4，27)或(
2
3
-，
17
9
-)或(
4
3
-，
19
9
)．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形的性质和判断，相似三角形的判断和性质，综合性强，能力要求高，注意“分类讨论”、“数形结合”数学思想的应用．
3．(2020·山东济南市·中考真题)如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A(﹣1，0)，点B(3，0)与y轴交于点C．在x轴上有一动
点E(m，0)(0<m<3)，过点E作直线l∴x轴，交抛物线于点M．
(1)求抛物线的解析式及C点坐标；
(2)当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若∴ACD是以∴DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
(3)如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设∴AEM的面积为S1，∴MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
【答案】
解：(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得
-1-b+c=0
-9+3b+c=0
⎧
⎨
⎩
，解得
b=2
c=3
⎧
⎨
⎩
，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，
当x＝0时，y＝3，故点C(0，3)；
(2)当m＝1时，点E(1，0)，设点D的坐标为(1，a)，
由点A、C、D的坐标得，AC，
同理可得：AD CD，
①当CD＝AD a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝(舍去负值)；
故点D 的坐标为(1，1)或(1
)；
(3)∴E (m ，0)，则设点M (m ，﹣m 2＋2m ＋3)，
设直线BM 的表达式为y ＝sx ＋t ，则2
-m +2m+3=sm+t 0=3s+t ⎧⎨⎩，解得：1s=-m+13t=m+1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 故直线BM 的表达式为y ＝﹣1m+1x ＋3m+1
， 当x ＝0时，y ＝3m+1，故点N (0，3m+1)，则ON ＝3m+1
； S 1＝12
⨯AE ×y M ＝12×(m ＋1)×(﹣m 2＋2m ＋3)， 2S 2＝ON •x M ＝3m+1
×m ＝S 1＝12×(m ＋1)×(﹣m 2＋2m ＋3)， 解得m ＝﹣2
舍去负值)， 经检验m
＝﹣2是方程的根，
故m
＝﹣2．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．
4．(2020·青海中考真题)如图1(注：与图2完全相同)所示，抛物线
212
y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． (1)求抛物线的解析式．
(2)设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积(请在图1中探索)
(3)设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标(请在图2中探索)
【答案】
解：(1)根据题意，抛物线21
2y x bx c =-++经过B 、D 两点，
点D 为(2-，5
2-)，点B 为(3，0)，
则2215
(2)2221
3302b c b c ⎧-⨯--+=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩，解得：1
3
2
b c =⎧⎪
⎨=⎪⎩，
∴抛物线的解析式为213
22y x x =-++；
(2)∴22131(1)2222
y x x x =-++=--+， ∴点M 的坐标为(1，2) 令213022
x x -++=， 解得：11x =-，23x =，
∴点A 为(1-，0)；
令0x =，则32y =
， ∴点C 为(0，3
2
)； ∴OA =1，OC =3
2，
过点M 作ME ∴AB 于点E ，如图：
∴2ME =，1OE =，2BE =， ∴111()222
ABMC S OA OC OC ME OE BE ME =•++•+•四边形， ∴131313791(2)122222222442ABMC
S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=++=四边形； (3)根据题意，点Q 在y 轴上，则设点Q 为(0，y )，
∴点P 在抛物线上，且以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
如图所示，可分为三种情况进行分析：
①AB 为对角线时，则11PQ 为对角线；
由平行四边形的性质，
∴点E 为AB 和11PQ 的中点，
∴E 为(1，0)，
∴点Q 1为(0，y )，
∴点P 1的横坐标为2；
当2x =时，代入21322
y x x =-++， ∴32y =
， ∴点13(2,)2
P ； ②当BQ 2是对角线时，AP 也是对角线，
∴点B (3，0)，点Q 2(0，y )，
∴BQ 2中点的横坐标为3
2，
∴点A 为(1-，0)，
∴点P 2的横坐标为4，
当4x =时，代入21322
y x x =-++， ∴52
y =-， ∴点P 2的坐标为(4，52-
)； ③当AQ 3为对角线时，BP 3也是对角线；
∴点A 为(1-，0)，点Q 3(0，y )，
∴AQ 3的中点的横坐标为12
-， ∴点B (3，0)，
∴点P 3的横坐标为4-，
当4x =-时，代入21322
y x x =-++， ∴212
y =-， ∴点P 3的坐标为(4-，212
-)； 综合上述，点P 的坐标为：3(2,
)2或(4，52-)或(4-，212-)． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析．
5．(2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题)已知抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C (0，﹣3)，顶点D 的坐标为(1，﹣4)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在y轴上找一点E，使得∴EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：(1)∴抛物线的顶点为(1，﹣4)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2﹣4，
将点C(0，﹣3)代入抛物线y＝a(x﹣1)2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
(2)由(1)知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴B(3，0)，A(﹣1，0)，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C(0，﹣3)，
∴AC，
设点E(0，m)，则AE CE＝|m+3|，∴∴ACE是等腰三角形，
∴①当AC＝AE
∴m＝3或m＝﹣3(点C的纵坐标，舍去)，
∴E(3，0)，
②当AC＝CE＝|m+3|，
∴m＝﹣3，
∴E(0，﹣3或(0，﹣3)，
③当AE＝CE|m+3|，
∴m＝﹣4 3
，
∴E(0，﹣4
3 )，
即满足条件的点E的坐标为(0，3)、(0，﹣3)、(0，﹣3)、(0，﹣4
3 )；
(3)如图，存在，∴D(1，﹣4)，
∴将线段BD向上平移4个单位，再向右(或向左)平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，
∴点Q的纵坐标为4，
设Q(t，4)，
将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，
∴t＝1+或t＝1﹣，
∴Q (1+，4)或(1﹣，4)，
分别过点D ，Q 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，
∴抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的右边的交点B 的坐标为(3，0)，且D (1，﹣4)，
∴FB ＝PG ＝3﹣1＝2，
∴点P 的横坐标为(1+)﹣2＝﹣1+或(1﹣)﹣2＝﹣1﹣，
即P (﹣1+，0)、Q (1+，4)或P (﹣1﹣，0)、Q (1﹣，4)．
【点睛】
此题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 6．(2020·江苏宿迁市·中考真题)二次函数2 3y ax bx =
++的图象与x 轴交于A (2，0)，B (6，0)两点，与y 轴交于点C ，顶
点为E ． (1)求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标；
(2)如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标；
(3)如图②，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接OP ，取OP 中点Q ，连接QC ，QE ，CE ，当∴CEQ 的面积为12时，求点P 的坐标．
【答案】
(1)将A (2，0)，B (6，0)代入23y ax bx =++，
得423036630a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得142
a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴二次函数的解析式为21234
y x x =-+； ∴()2211234144
y x x x =-+=--， ∴E (4，1-)；
(2)如图1，图2，连接CB ，CD ，由点C 在线段BD 的垂直平分线CN 上，得CB =CD ，
设D (4，m )，
当0x =时，212334
y x x =-+=， ∴C (0，3)，
∴2CD =2CB ，由勾股定理可得：
()2243m +-=2263+，
解得m =3
∴满足条件的点D 的坐标为(4，3或(4，3)； (3)如图3，设CQ 交抛物线的对称轴于点M ，
设P (n ，21234n n -+)，则Q (12n ，21382
n n -+)， 设直线CQ 的解析式为
3y kx =+，则21313822n n nk -+=+， 解得1324k n n
=--， 于是直线CQ 的解析式为：13234
y n x n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 当4x =时，131242354
y n n n n ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝⎭，
∴M (4，125n n --)，ME =12 51n n --+=12 4n n
--， ∴S ∴CQE =S ∴CEM +S ∴QEM =11121 412222
Q ME x n n n ⎛⎫⋅=--⨯= ⎪⎝⎭， ∴24600n n --=，
解得10n =或6n =-，
当10n =时，P (10，8)，
当6n =-时，P (6-，24)．
综合以上可得，满足条件的点P 的坐标为(10，8)或(-6，24)．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．
7．(2020·四川绵阳市·中考真题)如图，抛物线过点A (0，1)和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B
0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F ，四边形BDEF 为平行四边形．
(1)求点F 的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当∴P AB 面积最大时，求点P 的坐标及∴P AB 面积的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．
【答案】
解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)， ∴A (0，1)，B
0)，
设直线AB 的解析式为y ＝kx +m ，
∴m 0m 1+==⎪⎩
，解得1
k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 的解析式为y
+1，
∴点F
的横坐标为3，
∴F
1＝﹣13，
∴F 点的坐标为
1
3)，
又∴点A 在抛物线上，
∴c ＝1，
对称轴为：x
＝﹣2b a =
∴b ＝﹣，
∴解析式化为：y ＝ax 2﹣ax +1， ∴四边形DBFE 为平行四边形．
∴BD ＝EF ，
∴﹣3a +1＝163a ﹣8a +1﹣(﹣13
)， 解得a ＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2+1；
(2)设P (n ，﹣n 2++1)，作PP '∴x 轴交AC 于点P '，
则P '(n ，﹣3n +1)，
∴PP '＝﹣n 2，
S ∴ABP ＝12OB •PP '272+n ＝﹣22n ⎛ ⎝，
∴当n ∴ABP ，此时P 4712)．
(3
)∴2131y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩
， ∴x ＝0或x
∴C
43
)， 设Q
，m )，
①当AQ 为对角线时，
∴R (
73
m +)， ∴R 在抛物线y
＝2(x --+4上，
∴m +73
＝﹣2⎛ ⎝+4， 解得m ＝﹣
443， ∴
Q 443⎫-⎪⎭，
R 373⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当AR 为对角线时，
∴R
73
m -)， ∴R 在抛物线y
＝2(x --+4上，
∴m
﹣273=-+4，
解得m ＝﹣10，
∴Q ，﹣10)，R 373
-)．
综上所述，Q 443⎫-⎪⎭，R 373⎛⎫- ⎪⎝⎭；或Q 10)，R 373-)． 【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
8．(2020·广西中考真题)如图，已知抛物线y ＝a (x +6)(x ﹣2)过点C (0，2)，交x 轴于点A 和点B (点A 在点B 的左侧)，抛物线的顶点为D ，对称轴DE 交x 轴于点E ，连接EC ．
(1)直接写出a 的值，点A 的坐标和抛物线对称轴的表达式；
(2)若点M 是抛物线对称轴DE 上的点，当∴MCE 是等腰三角形时，求点M 的坐标；
(3)点P 是抛物线上的动点，连接PC ，PE ，将∴PCE 沿CE 所在的直线对折，点P 落在坐标平面内的点P ′处．求当点P ′恰好落在直线AD 上时点P 的横坐标．
【答案】
(1)∴抛物线y ＝a (x +6)(x ﹣2)过点C (0，2)，
∴2＝a (0+6)(0﹣2)，
∴a ＝﹣16
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣1
6
(x+6)(x﹣2)＝﹣
1
6
(x+2)2+
8
3
，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；
(2)如图1，由(1)知，抛物线的对称轴为x＝﹣2，
∴E(﹣2，0)，
∴C(0，2)，
∴OC＝OE＝2，
∴CE＝，∴CED＝45°，
∴∴CME是等腰三角形，
∴①当ME＝MC时，
∴∴ECM＝∴CED＝45°，
∴∴CME＝90°，
∴M(﹣2，2)，
②当CE＝CM时，
∴MM1＝CM＝2，
∴EM1＝4，
∴M1(﹣2，4)，
③当EM＝CE时，
∴EM2＝EM3＝
∴M2(﹣2，﹣，M3(﹣2，)，
即满足条件的点M的坐标为(﹣2，﹣2)或(﹣2，4)或(﹣2，)或(﹣2，﹣)；
(3)如图2，
由(1)知，抛物线的解析式为y＝﹣1
6
(x+6)(x﹣2)＝﹣
1
6
(x+2)2+
8
3
，
∴D(﹣2，8
3 )，
令y＝0，则(x+6)(x﹣2)＝0，∴x＝﹣6或x＝2，
∴点A(﹣6，0)，
∴直线AD的解析式为y＝2
3
x+4，
过点P作PQ∴x轴于Q，过点P'作P'Q'∴DE于Q'，∴∴EQ'P'＝∴EQP＝90°，
由(2)知，∴CED＝∴CEB＝45°，
由折叠知，EP'＝EP，∴CEP'＝∴CEP，
∴∴PQE∴∴P'Q'E(AAS)，
∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，
设点P(m，n)，
∴OQ＝m，PQ＝n，
∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m+2，
∴点P'(n﹣2，2+m)，
∴点P'在直线AD上，
∴2+m＝2
3
(n﹣2)+4①，
∴点P在抛物线上，
∴n ＝﹣16
(m +6)(m ﹣2)②，
联立①②解得，m ＝132-(舍)或m ＝132
-+，
即点P 的横坐标为132
-．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，结合等腰三角形、全等三角形等几何图形，熟练运用数形结合利用几何关系寻找等量关系是解题的关键．
9．(2020·甘肃兰州市·中考真题)如图，抛物线
24y ax bx =+-经过A (－3，6)，B (5，－4)两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，
AC ，BC ． (1)求抛物线的表达式；
(2)求证：AB 平分CAO ∠；
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】
解:(1)将A (-3，0)，B (5，-4)两点的坐标分别代入，
得9340,25544a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得1,65,6a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
故抛物线的表达式为y ＝215466
y x x =--． (2)证明：∴AO =3，OC =4，
∴AC
=2
234+=5．
取D (2，0)，则AD =AC =5．
由两点间的距离公式可知BD =
22(52)(40)-+--=5．
∴C (0，-4)，B (5，-4)，
∴BC =5．
∴BD =BC ．
在∴ABC和∴ABD中，AD=AC，AB=AB，BD=BC，
∴∴ABC∴∴ABD，
∴∴CAB=∴BAD，
∴AB平分∴CAO；
(3)存在．如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．
抛物线的对称轴为x=5
2
，则AE=
11
2
．
∴A(-3，0)，B(5，-4)，
∴tan∴EAB=1
2
．
∴∴M′AB=90°．∴tan∴M′AE=2．∴M′E=2AE=11，
∴M′(5
2
，11)．
同理：tan∴MBF=2．
又∴BF=5
2
，
∴FM=5，
∴M(5
2
，-9)．
∴点M的坐标为(5
2
，11)或(
5
2
，-9)．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的
定义，求得FM 和M ′E 的长是解题的关键
10．(2020·辽宁葫芦岛市·中考真题)如图，抛物线
29(0)4
=++≠y ax x c a 与x 轴相交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C ，作直线BC ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC 上方的抛物线上存在点D ，使2∠=∠DCB ABC ，求点D 的坐标；
(3)在(2)的条件下，点F 的坐标为70,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭，点M 在抛物线上，点N 在直线BC 上，当以,,,D F M N 为顶点的四边形是
平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．
【答案】
解：(1)：抛物线294
y ax x c =++经过点(1,0),(0,3)A B - 9043a c c ⎧-+=⎪∴⎨⎪=⎩，解得343
a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
∴抛物线的解析式为239344
y x x =-++ (2)过点C 作//CE x 轴交抛物线于点E ，则ECB ABC =∠∠
过点C 作DCE
ABC ∠=∠交抛物线于点D 过点D 作DH CE ⊥于点H ，则90DHC ∠=︒
2DCB DCE ECB ABC ∴∠=∠+∠=∠
90,DHC COB DCH ABC ∠=∠=︒∠=∠ DCH CBO ∴∽
DH CH CO BO
∴= 设点D 的横坐标为t ，则239,344D t t t ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭
(0,3)C
23944
DH t t ∴=-+ ∴点B 是239344
y x x =-++与x 轴的交点 2393044
x x ∴-++=， 解得124,1x x ==-
B ∴的坐标为(4,0)4OB ∴=，
2394
434
t t t -+∴= 解得10t =(舍去)，22t =
∴点D 的纵坐标为：23993442t t -++= 则点D 坐标为92,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
(3)设直线BC 的解析式为：y kx b =+，
将C (0,3)，B (4，0)分别代入得，
304b k b =⎧⎨=+⎩，解得334b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩
， ∴直线BC 的解析式为：334
y x =-+， 设3(,3)4N n n ，
①当FD 为平行四边形的边时，
如图，当N 点在M 点左侧时，
则M N D F M N D F x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩即23(3)14M M x n y n -=⎧⎪
⎨
--+=⎪⎩
整理得2344M M x n y n =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，即3(2,4)4M n n , 故239()()3442244
3n n n -+++=-++， 解得：6
n
，
此时12,N N ⎛ ⎝⎭⎝⎭； 同理当N 点在M 点右侧时可得3(2,2)4M n n ， 故23222439()()344
n n n =-+-+-+-， 解得66
43
n ，
此时344,,43434N N ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； ①当FD 为平行四边形的对角线时，
则M N D F M N D F x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩,即0229733(3)52244M M x n n y n n =+-=-⎧⎪⎨=+
--+=+⎪⎩
故239()()34352244n n n +---=++，整理得2
320n ，
该方程无解．
综上所述：12,3,,33434N N ⎛⎛--+ ⎝⎭⎝⎭，344,4,3434N N ⎛⎛+-- ⎝⎭⎝⎭
．
【点睛】
本题考查二次函数综合，分别考查了求二次函数解析式，相似三角形的性质，和二次函数与平行四边形问题．(1)中直接代入点的坐标即可，难度不大；(2)中能正确作辅助线，构造相似三角形是解题关键；(3)中能分类讨论是解题关键，需注意平行四边形对边平行且相等，可借助这一点结合图象表示M 点坐标．
11．(2020·辽宁阜新市·中考真题)如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点()30A -,
，()10B ,，交y 轴于点C ．点(),0P m 是x 轴上的一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；
②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：(1)把(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++中，得
093,01.b c x c =-+⎧⎨=++⎩ 解得2,3.
b c =⎧⎨=-⎩ ∴223y x x =+-．
(2)设直线AC 的表达式为y kx b =+，把(3,0),(0,3)A C --代入y kx b =+．
得，03,3.k b b =-+⎧⎨-=⎩解这个方程组，得1,3.
k b =-⎧⎨=-⎩ ∴3y x =--．
∴点(),0P m 是x 轴上的一动点，且PM x ⊥轴．
∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-．
∴()2(3)23MN m m m =---+-
23m m =--
2
3924m ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭． ∴10a =-<，
∴此函数有最大值． 又∴点P 在线段OA 上运动，且3302
-<-< ∴当32m =-时，MN 有最大值94．
②∴点(),0P m 是x 轴上的一动点，且PM x ⊥轴．
∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-．
∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--
(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN =MC ，如图，
∴C (0，-3)
∴MC =
∴23m m --整理得，432670m m m ++=
∴20m ≠，
∴2
670m m ++=，
解得，13m =-，23m =-
∴当3m =-CQ =MN =2，
∴OQ =-3-(2)=1-
∴Q (0，1-)；
当m =3-时，CQ =MN =-2，
∴OQ =-3-(-2)=1
∴Q (0，1)；
(ii )若MC
=，如图，
则有23m m --整理得，432650m m m ++=
∴20m ≠，
∴2
650m m ++=， 解得，11m =-，25m =-
当m =-1时，MN =CQ =2，
∴Q (0，-1)，
当m =-5时，MN =-10＜0(不符合实际，舍去)
综上所述，点Q 的坐标为123(0,1),(0,1),1)Q Q Q --
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．
12．(2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题)如图1，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(1，0)，与y 轴交
于点C((0，﹣3)．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
(3)如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∴P AB＝2∴ACO，求点P的坐标．
【答案】
解：(1)∴抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A(1，0)，与y轴交于点C(0，﹣3)，
∴
01
3
b c
c
=++
⎧
⎨
=-
⎩
，解得：
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；
(2)∴抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，∴点B(﹣3，0)，
∴点B(﹣3，0)，点C(0，﹣3)，
∴OB＝OC＝3，
∴∴OBC＝∴OCB＝45°，
如图1，当点D在点C上方时，
∴∴DBC ＝15°，
∴∴OBD ＝30°，
∴tan ∴DBO ＝OD BO
∴OD ＝3×3
∴CD ＝3
若点D 在点C 下方时，
∴∴DBC ＝15°，
∴∴OBD ＝60°，
∴tan ∴DBO ＝OD BO
∴OD ＝，
∴DC ＝﹣3，
综上所述：线段CD 的长度为3或﹣3；
(3)如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF∴AC，
∴点A(1，0)，点C(0，﹣3)，
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC
∴OE＝OA，∴COE＝∴COA＝90°，OC＝OC，
∴∴OCE∴∴OCA(SAS)，
∴∴ACO＝∴ECO，CE＝AC，
∴∴ECA＝2∴ACO，
∴∴P AB＝2∴ACO，
∴∴P AB＝∴ECA，
∴S∴AEC＝1
2
AE×OC＝
1
2
AC×EF，
∴EF
，
∴CF＝
5
，
∴tan∴ECA＝EF
CF
＝
3
4
，
如图2，当点P 在AB 的下方时，设AO 与y 轴交于点N ， ∴∴P AB ＝∴ECA ，
∴tan ∴ECA ＝tan ∴P AB ＝ON AO ＝34
， ∴ON ＝34
， ∴点N (0，
34)， 又∴点A (1，0)，
∴直线AP 解析式为：y ＝34x ﹣34
， 联立方程组得：23344
23
y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩， 解得：1110x y =⎧⎨=⎩或22943916x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴点P 坐标为：(﹣9
4，﹣3916
) 当点P 在AB 的上方时，同理可求直线AP 解析式为：y ＝﹣
34x +34， 联立方程组得：2334423
y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，
解得：1110x y =⎧⎨=⎩或221545716x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴点P 坐标为：(﹣154，5716
)， 综上所述：点P 的坐标为(﹣154，5716)，(﹣94，﹣3916
)． 【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，求出tan ∴ECA =tan ∴P AB =34
是本题的关键． 13．(2020·四川眉山市·中考真题)如图1，抛物线
2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC 的面积最大时，求点P 的坐标；
(3)如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：(1)由题意得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++
(2)设点P 的坐标为()2,23m m m -++，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G ，
点()3,0B ，()0,3C ，
∴直线BC 的解析式为：3y x =-+，
∴点G 为(),3m m -+，
23PG y m m ∴==-+．
()221133273322228
PBC S PG OB m m m ∆⎛⎫=⋅=-+⨯=--+ ⎪⎝⎭， ∴当32m =
时，PBC S ∆最大，此时点P 坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭． (3)存在点N 满足要求．
2223(1)4y x x x =-++=--+，
∴顶点M 为()1,4，
∴直线MC 的表达式为：3y x ．设直线MC 与x 轴交于点E ，则点E 为()3,0-，
4DE DM ∴==，45CMD ∴∠=︒．
设满足要求的点N 坐标为()1,n ，则4MN n =-．
过点N 作NG ME ⊥于点G ，则NG
n ==-，
NG NA =，22NG NA ∴=，而224NA n =+，
2
24n n ⎫∴-=+⎪⎪⎭
， 整理得2880n n +-=，
解得4n =-±
∴存在点N 满足要求，点N 坐标为(1,4-+或(1,4--．
【点睛】 本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法可求抛物线的解析式，三角形面积公式，二次函数的最值，抛物线的顶点坐标，两点间的距离公式，以及方程思想的应用，综合性较强．
14．(2020·辽宁营口市·中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3过点A (﹣3，0)，B (1，0)，与y 轴交于点C ，顶点为点D ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∴PBC＝∴BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接P A交抛物线于点N，∴P AB＝∴BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∴ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
【答案】
解：(1)y＝ax2+bx﹣3＝a(x+3)(x﹣1)，
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；
(2)由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为(0，﹣3)、(﹣1，﹣4)，
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；
tan∴BCO＝1
3
，则cos∴BCO
①当点P(P′)在点C的右侧时，
∴∴P′AB＝∴BCO，
故P′B∴y轴，则点P′(1，﹣2)；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN∴BC于点N，
∴∴PBC＝∴BCO，
∴∴BCH为等腰三角形，则
BC＝2CH•cos∴BCO＝2×CH
=
解得：CH＝5
3
，则OH＝3﹣CH＝
4
3
，故点H(0，﹣
4
3
)，
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝4
3
x﹣
4
3
②，
联立①②并解得：
5
8 x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
故点P的坐标为(1，﹣2)或(﹣5，﹣8)；
②∴∴P AB＝∴BCO，而tan∴BCO＝1 3，
故设直线AP的表达式为：y＝1
3
x s
+，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y＝1
3
x+1，
联立①③并解得：
4
3
13
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，故点N(
4
3
，
13
9
)；
设∴AMN的外接圆为圆R，
当∴ANM＝45°时，则∴ARM＝90°，设圆心R的坐标为(m，n)，
∴∴GRA+∴MRH＝90°，∴MRH+∴RMH＝90°，
∴∴RMH＝∴GAR，
∴AR＝MR，∴AGR＝∴RHM＝90°，
∴∴AGR∴∴RHM(AAS)，
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M(m+n，n﹣m﹣3)，
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝(m+n)2+2(m+n)﹣3③，
由题意得：AR＝NR，即(m+3)2＝(m﹣4
3
)2+(
13
9
)2④，
联立③④并解得：
2
9
10
9
m
n
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
故点M(﹣4
3
，﹣
35
9
)．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识等，其中(2)①，要注意分类求解，避免遗漏．
15．(2020·山东烟台市·中考真题)如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，
抛物线对称轴为直线x＝1
2
，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE∴OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐
标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：(1)设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为(2t，0)、(﹣t，0)，
则x＝1
2
＝
1
2
(2t﹣t)，解得：t＝1，
故点A、B的坐标分别为(2，0)、(﹣1，0)，
则抛物线的表达式为：y＝a(x﹣2)(x+1)＝ax2+bx+2，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
(2)对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C(0，2)，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D(m，﹣m2+m+2)，则点F(m，﹣m+2)，则DF＝﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)＝﹣m2+2m，
∴﹣1＜0，故DF有最大值，此时m＝1，点D(1，2)；
(3)存在，理由：
点D(m，﹣m2+m+2)(m＞0)，则OD＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O ，D ，E 为顶点的三角形与∴BOC 相似， 则DE OB OE OC =或OC OB ，即DE OE ＝2或12，即22m m m
-++＝2或12，
解得：m ＝1或﹣2(舍去)或14+或14
(舍去)，
故m ＝1 【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．
16．(2020·四川雅安市·中考真题)已知二次函数20y ax bx c a =++≠（）
的图象与x 轴交于()()3010A B -，，，两点，与y 轴交于点(0,3)C -，
(1)求二次函数的表达式及A 点坐标；
(2)D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；
(3)M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M N B O 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标(不写求解过程)．
【答案】
解：(1)将B (1，0)，(0,3)C -带入函数关系式得，
02+c 3a c =+⎧⎨=-⎩，解得：13
a c =⎧⎨=-⎩， ∴二次函数表达式为：223y x x =+-；
(2)当点D 到直线AC 的距离取得最大值时，
∴A (-3，0)，(0,3)C -，
设直线AC 的表达式为：y =kx +n ，，将A 和C 代入，
33o k n n =-+⎧⎨-=⎩
，解得：13k n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的表达式为y =-x -3，将直线AC 向下平移m (m ＞0)个单位，得到直线l ，
当直线l 与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D ，此时点D 到直线AC 的距离最大， 此时直线l 的表达式为y =-x -3-m ，
联立：2233y x x y x m
⎧=+-⎨=---⎩，得：230x x m ++=，
令∴=23410m -⨯⨯=，解得：m =
94， 则解方程：29304
x x ++=，得x =32-， ∴点D 的坐标为(32-，154
-)； (3)∴M 在抛物线对称轴上，设M 坐标为(-1，t )，
当OB 为平行四边形的边时，
如图1，可知MN 和OB 平行且相等，
∴点N (-2，t )或(0，t )，代入抛物线表达式得：
解得：t=-3，
∴N(-2，-3)或(0，-3)；
当OB为平行四边形对角线时，
线段OB的中点为(1
2
，0)，对角线MN的中点也为(
1
2
，0)，
∴M坐标为(-1，t)，
可得点N(2，-t)，代入抛物线表达式得：4+4-3=-t，
解得：t=-5，
∴点N的坐标为(2，-5)，。