山西高二高中数学开学考试带答案解析

山西高二高中数学开学考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.集合，
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.设，是两个非零向量( )
A ．若，则
B ．若，则
C ．若，则存在实数，使得
D ．若存在实数，使得，则
3.有两枚质地均匀的骰子，一枚红色骰子有两个面是1，其余面是2，3，4，5，另一枚蓝 色骰子有两面是2，其余面是3，4，5，6，则两个骰子向上点数相同的概率为（ ）
4.等差数列则数列
的前9项的和
等于（）
A ．
B ．
C ．
D ．198
5.使得函数有零点的一个区间是 ( )
A ． (0，1)
B ． (1，2)
C ． (2，3)
D ． (3，4)
6.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。

现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x²；②f （x ）=2x ；③
；④f （x ）="ln|x" |。

则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为( ) A ．①② B ．③④
C ．①③
D ．②④
7.设函数，则下列结论错误的是（ ）
A ．的值域为
B ．是偶函数
C ．
不是周期函数
D ．
不是单调函数
8.右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（）
A．B．
C．D．
9.若是方程的解，是的解，则的值为（）
A．B．C．D．
10.在这三个函数中，当时，
使恒成立的函数的个数是（）
A．个B．个C．个D．个
11.设函数的最小正周期为π，
，则( )
A．在单调递减B．在单调递减
C．在单调递增D．在单调递增
12.设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(λ∈R)，(μ∈R)，且
,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则
下面说法正确的是( )
A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
13.设，. 在中，正数的个数是（）
A．25.B．50.C．75.D．100.
14.设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数
h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为( )
A．5B．6C．7D．8
二、填空题
1.若两个等差数列、的前项和分别为、，对任意的都有
，则=
2.已知函数的定义域为，且函数的定义域存在，则实数的取值范围是。

3.已知，求的最小值为
4.已知函数（a为常数）.若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范围是 .
5.在平行四边形ABCD中，∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别
是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是
三、解答题
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
（1）若sin C + sin（B－A）=" sin" 2A，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的面积S = 3，且c =，C =，求a，b的值．
2.设平面内的向量，，，点是直线上的一个动点，且，求
的坐标及的余弦值.
3.函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。

（Ⅰ）求的值及函数的值域；
（Ⅱ）若，且，求的值。

4.设定义在上的函数满足：对任意，都有，且当时，.
⑴求的值；
⑵判断并证明函数的单调性；
⑶如果，解不等式.
5.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。

（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。

山西高二高中数学开学考试答案及解析
一、选择题
1.集合，
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】解：因为，,则
，选C
2.设，是两个非零向量( )
A ．若，则
B ．若，则
C ．若，则存在实数，使得
D ．若存在实数，使得，则
【答案】C
【解析】解：因为 A ．若，则，不一定成立，如果有零向量 B ．若，则 ，不成立。

C ．若，则存在实数，使得，成立 D ．若存在实数，使得，则，模长不定大小，因此错误
3.有两枚质地均匀的骰子，一枚红色骰子有两个面是1，其余面是2，3，4，5，另一枚蓝 色骰子有两面是2，其余面是3，4，5，6，则两个骰子向上点数相同的概率为（ ）
【答案】B
【解析】解：因为两枚质地均匀的骰子，一枚红色骰子有两个面是1，其余面是2，3，4，5，另一枚蓝色骰子有两面是2，其余面是3，4，5，6，则两个骰子向上点数相同的概率，选B
4.等差数列则数列
的前9项的和
等于（）
A ．
B ．
C ．
D ．198
【答案】B
【解析】解：因为等差数列，则数列
的前9项的和
等于
，
选B
5.使得函数有零点的一个区间是 ( )
A ． (0，1)
B ． (1，2)
C ． (2，3)
D ． (3，4)
【答案】C
【解析】解：因为f(x)是递增函数，并且f(2)<0,f(3)>0，因此零点的一个区间是(2，3) ，选C
6.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。

现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x²；②f （x ）=2x ；③
；④f （x ）="ln|x" |。

则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为( )
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
【答案】C
【解析】解：由等比数列性质知a n a n+2=a n+12，
①f(a n )f(a n+2)=a n 2a n+22=(a n+12) 2=f 2（a n+1），故正确；
②f(a n )f(a n+2)=2a n 2a n+2= 2a n +a n+2≠22a n+1=f 2（a n+1），故不正确； ③f(a n )f(a n+2)=f 2（a n+1），故正确；
④f （a n ）f （a n+2）=ln|a n |ln|a n+2|≠ln|a n+1|2=f 2（a n+1），故不正确； 7.设函数，则下列结论错误的是（ ）
A ．的值域为
B ．是偶函数
C ．
不是周期函数
D ．
不是单调函数
【答案】C
【解析】解：因为函数
，那么可知函数的值域为{0,1}，是偶函数，其不是单调函数，因此选
C.
8.右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，
表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】解：根据已知条件可知，框图表示用模拟方法估计圆周率的程序框图，那么结合条件结构和循环结构可知，满足题意的白框中填写，选D 9.若是方程
的解，
是
的解，则
的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】解：因为利用同底数的指数函数与对数函数化为反函数，那么可知关于直线y=x 对称，那么可知=3，选C
10.在这三个函数中，当时，
使恒成立的函数的个数是（）
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【解析】解：因为在这三个函数中，当时，
使的函数为凸函数，那么三个函数都满足，选D
11.设函数的最小正周期为π，
，则( )
A．在单调递减B．在单调递减
C．在单调递增D．在单调递增
【答案】A
【解析】解：因为函数的最小正周期为π，说明是偶函数，则w=2,，进而结合三角函数性质可知选A
12.设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(λ∈R)，(μ∈R)，且
,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则
下面说法正确的是( )
A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D
【解析】解：因为解：由已知可得（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），以λ=c，μ=d，代入
，若C是线段AB的中点，则c=，代入（1）d不存在，故C不可能是线段AB的中，A
错误；同理B错误；若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误
故选D
13.设，. 在中，正数的个数是（）
A．25.B．50.C．75.D．100.
【答案】D
【解析】解：因为设，. 在正数的个数是100.选D
14.设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数
h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】解：因为解：因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3．
所以当x∈[1，2]时2-x∈[0，1]，f（x）=f（2-x）=（2-x）3，
当x∈[0，]时，g（x）=xcos（πx）；当x∈时，g（x）=-xcosπx，
注意到函数f（x）、g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0），f（1）=g（1），g（）=g（）=0作出函数f
（x）、g（x）的大致图象，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间
上各有一个零点，共有6个零点，故选B
二、填空题
1.若两个等差数列、的前项和分别为、，对任意的都有
，则=
【答案】
【解析】解：因为两个等差数列、的前项和分别为、，对任意的都有
，结合等差中项性质可知=
2.已知函数的定义域为，且函数的定义域存在，则实数的取值范围
是。

【答案】
【解析】解：因为已知函数的定义域为，且函数的定义域存在，则实数
的取值范围是
3.已知，求的最小值为
【答案】
【解析】解：因为，求
4.已知函数（a为常数）.若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范围是 .
【答案】(-¥, 1]
【解析】解：因为已知函数（a为常数）.若在区间[1,+¥)上是增函数，则a的取值范围是(-¥, 1] 5.在平行四边形ABCD中，∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别
是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是
【答案】[2, 5]
【解析】解：因为在平行四边形ABCD中，∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别
是边BC、CD上的点，且满足，那么利用向量的数量积公式可知的范围是[2, 5]。

三、解答题
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
（1）若sin C + sin（B－A）=" sin" 2A，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的面积S = 3，且c =，C =，求a，b的值．
【答案】（1）△ABC为直角三角形或等腰三角形（2）
【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用。

（1）根据三角形内角和定理，得到sinC=sin（A+B），代入已知等式，展开化简合并，得sinBcosA=sinAcosA，
最后讨论当cosA=0时与当cosA≠0时，分别对△ABC的形状的形状加以判断，可以得到结论
（2）结合三角形的面积公式和余弦定理得到结论。

解（1）由题意得 sin（B + A）+ sin（B－A）=" sin" 2A，
sin B cos A =" sin" A cos A，即 cos A（sin B－sin A）= 0，
cosA = 0 或 sin B =" sin" A．…… 3分
因A，B为三角形中的角，于是或B = A．
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．…… 5分
（2）因为△ABC的面积等于 3，所以，得 ab = 12．
由余弦定理及已知条件，得 a2 + b2－ab = 13．
联立方程组解得或…………… 10分
2.设平面内的向量，，，点是直线上的一个动点，且，求
的坐标及的余弦值.
【答案】，
【解析】本题考查了向量共线的条件，向量的坐标运算，数量积的坐标表示，向量的模的求法及利用数量积计算夹角的余弦，本题综合性强，运算量大，谨慎计算是正确解题的关键
（1）设.
∵点在直线上，
∴与共线，而，
∴，即，有
∴又，那么得到坐标，进而求解夹角的余弦值。

解：设.
∵点在直线上，
∴与共线，而，
∴，即，有. ……………… 4分
∵，，
∴，
即. 又，∴，
所以，，此时. ……………………8分
.
于是.
∴………………12分
3.函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象
与轴的交点，且为正三角形。

（Ⅰ）求的值及函数的值域；
（Ⅱ）若，且，求的值。

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题
（1）将f（x）化简为f（x）=利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）因为，由（Ⅰ）有
，即
解方程得到。

解：（Ⅰ）由已知可得，
又正三角形的高为，从而
所以函数的周期，即
函数的值域为………………………………………..6分
（II）因为，由（Ⅰ）有
，即
由，知
所以故………………………9分
……………………12分
4.设定义在上的函数满足：对任意，都有，且当时，.
⑴求的值；
⑵判断并证明函数的单调性；
⑶如果，解不等式.
【答案】⑴⑵函数在上为增函数⑶不等式的解集为
【解析】本试题主要是考查了抽象函数的单调性的运用
（1）∵对于任意的，都有
∴时∴
（2）运用定义法设且∵，得到
（3）
∵∵∴
∴∴从而结合已知关系式化简求解。

解⑴∵对于任意的，都有
∴时∴………………………4分
⑵设且∵
∴∵∴∵当时∴
∴∴∴函数在上为增函数．………8分
⑶∵∵∴
∴∴
∴∴∴
解得所以不等式的解集为………………………12分
5.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。

（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）时，取得最大值
【解析】本试题主要是考查了关系式的递推运用，以及数列单调性的综合运用。

（1）因为，对与n赋值，然后可知结论。

（2）设，数列的前项和为，分析通项公式的特点可知，数列为等差数列，然后分情况讨论得
到和式。

解：
（Ⅰ）取，得①
取，得②
由②①，得③
（1）若，由①知
（2）若，由③知④
由①、④解得，；或
综上可得，；或；或
……………………………5分
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知
当时，有，
所以，即，
所以
令，则
所以数列是单调递减的等差数列（公差为），从而
当时，，
故时，取得最大值，且的最大值为
………………………….12分。