高数下11-习题课An

f(x ,y,z)d S f[x ,y,z(x ,y)]1zx 2zy2 dx

D xy
(dS面积元素)
R (x,y,z)dxd fy[x,y,z(x,y)]d ( x)dy

D x y
(dxdy投影元素)
其中
L P Q d R x d L d ( y P czo Q c s o R c s) o d
S
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计算上的联系
f(x,y)db[y2(x)f(x,y)d]d y(x d面 积 )
D
a y1(x)
f(x ,y ,z)d V b dy x 2 (x )dz2 y (x ,y )f(x ,y ,z)dz

a y 1 (x ) z1 (x ,y () dV体积元素)
PdydQ z dzdxRdxdy

(PcosQcos Rcos)dS
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理论上的联系
1. 定积分与不定积分的联系
b
f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x )) a 牛顿--莱布尼茨公式
2. 二重积分与曲线积分的联系
第十一章 曲线积分与曲面 积分习题课
1. 主要内容 2. 例题 3. 各种积分之间的联系
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一、主要内容
1、曲线积分 （1）概念
第一类 f (M)ds
L
第二类 f (M)dx, f (M)dy, f (M)dz
L
L
L
（2）两类曲线积分的联系
ds

t0
ds
(co ,cso ,cso )dss
(dx,d,yd)z
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（3）计算
直接计算法 ——化为对L的定位参数的定积分。 第一类：从小参数到大参数； 第二类：从起点参数到终点参数。 注意： 先化简； 第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲线积分的联系； 用Green公式及其推论、Stokes公式*及其推 论.
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2、曲面积分
f(M)d f(x, y,z)dV
曲线积分 R2或R3上（有向）,曲线
f(M)d f(M)ds. f(M )df(M )d.x
曲面积分 R3上（有向）S曲, 面
f(M)d f(x, y,z)dS.
S
f(M )df(x,y,z)dx.dy
或
b
dx
f(x,y,z)dy,dz
a
Dx
或 dxzd2(x,yy)f(x,y,z)d,z
D xy
z1(x,y)
f(x,y)d sbf[x,y(x)]1y2dx
L
a
（ds弧长元素）
f(x,y)d xbf[x,y(x)d ](x d投 x 影) 元
L
a
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L 为 由 (a,0)到 (0 ,0)的 上 半 圆 周 x2y2a,x y0.
解 Pexcoysm Qex cosy
y
x y
有 P Q 但PQm M
y x y x
IL O A O A AM O A o
x
A(a,0)
思路:
ILPdxQdy
I
(x,y) PdxQd非y闭
(x0,y0)

P
Q
P

闭合 I (QP)dxdy
Q
D x y
ILPdQ x d 0y闭合 y x y x 非闭 补充曲线再用公式
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例 1计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y其 L
z x2 y2 被 平 面 z1,z2所 截 部 分 外
对称性
解 I z2dxdy

(x2 y2)dxdy [D x: y 1 x 2y 2 4]
Dxy
2d2r2rdr 15 .
0
1
2
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例5求I (8y1)xdydz2(1y2)dzdx4yzdx,dy

：曲线z y1
x0
(1y3)绕y轴 z 的旋转曲面,
法向量与y轴正向夹角恒大于2. 解 旋转面方y程 1为 z2x2
3

* *
x
(8y14y4y)dv2
(132)dzdx

*
dv 16(dzdx)23234.
中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx.
解 由于 P 2x Q 2 x y
y
x
1
2
A
有 P Q ,
y x
故 原 1x 2 d式 x1 (1 y4)doy
0
0
23 .
15
x
1
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例 2计 算 I(exsiyn m )dy x (exco y s m )d, y L
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx(xy)dxd
PdxQdyRdz

斯托克斯公式
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附、 各种积分之间的联系图
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
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c o s 1,c o s1,co 1 s.
1

3
3
3
I {1[f(x,y,z)x]
1
oy
13[2f(x ,y,z)y]1[f(x ,y,z) xz] 1 d }S
133 (xyz)dS方程
13
3


dS

1 2
.
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例4求I ydydzxdzdxz2dxd,y为 锥 面
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3、Green公式、Gauss公式、Stokes公式 （1）建立了不同维数积分间的联系
注意：定向。 （2）公式及其推论在计算曲线积分、曲 面积分中的应用
注意：条件。
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二、例题
例 1计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y其 L
中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
(
D
Qx Py )dxdy0
mdxdy
D
m 8
a
2
.
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例3 求I [f(x, y,z)x]dydz[2f(x, y,z)y]
dzdx[f(x, y,z)z]dxd,y其中f(x, y,z)CΣ，
解Σ为 平的 面 xy法 z 1n 在 向 第 (1, 四 量 1,1 卦 ),限 为 部分z的 ．上
（1）概念
第一类 f (M)dS

第二类 f(M)dyd,z f(M)dzd,x


f (M)dx d.y

（2）两类曲面积分的联系
dS n 0
dS
(co ,cso ,c so )d sS
(dy,dz,ddxx)dy
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（3）计算 直接计算法 第一类：化为对某两个直角坐标（的定位参 数）的二重积分； 第二类：将对x、y的曲面积分化为对x、y的二 重积分。 注意： 先化简；第二类与定向有关。 间接计算法 用两类曲面积分的联系； 用高斯公式*及其推论。

Dzx
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三、 各种积分之间的联系
积分概念的联系
n
f(M )dl i0m i1f(M i)i,
定积分 R上 区[a间 ,b],
f(M)d
b
f(x)dx.

a
二重积分 R2上区D 域,
f(M)d f(x, y)d.
D
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三重积分 R3上区 域,
QP
D(xy)d
xd LP yd Q x(d 沿 L y的
正 )
格林公式
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3. 三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd d
4. 曲面积分与曲线积分的联系
高斯公式
R Q