【2021】高考数学苏教版一轮核心考点精准研析：7.5.1 等差与等比数列的综合问题

核心考点·精准研析
考点一 基本量的运算
1.等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则
{a n }前6项的和为( )
2.已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n ,若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( ) >0,dS 4>0 <0,dS 4<0 >0,dS 4<0 <0,dS 4>0
3.(2021·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是________.
4.设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2,a 5,a 11成等比数列,且a 11=2(S m -S n )(m>n>0,m,n ∈N *),则m+n=________.
【解析】1.选A.设等差数列{a n }的公差为d,由a 2,a 3,a 6成等比数列可
得a 32=a 2a 6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),整理可得d 2+2d=0,又公差不为
0,则d=-2,故{a n }前6项的和为S 6=6a 1+6×(6-1)2
d=6×1+
6×(6-1)2
×
(-2)=-24.
2.选B.因为数列{a n }是等差数列,a 3,a 4,a 8成等比数列, 所以(a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+7d ), 解得a 1=-5
3d,
所以S 4=2(a 1+a 4)=2(a 1+a 1+3d )=-2
3
d,
所以a 1d=-53
d 2<0,dS 4=-2
3
d 2<0.
3.设等差数列的首项为a 1,公差为d, 由a 2a 5+a 8=0,S 9=27,
得{(a 1+d )(a 1+4d )+a 1+7d =0,a 1+4d =3,
解得a 1=-5,d=2, 所以S 8=8(a 1+a 8)
2
=4(2a 1+7d)=16.
答案:16
4.设公差为d,则a 52
=a 2a 11⇒(a 1+4d)2=(a 1+d)(a 1+10d)(d ≠0),整理得
a 1=2d,由a 11=2(S m -S n ),可得 a 1+10d=2[ma 1+
m (m -1)2
d -na 1-
n (n -1)2
d],
化简得(m 2-n 2)+3(m-n)=12,
即(m-n)(m+n+3)=12,因为m>n>0,m,n ∈N *, 所以m=5,n=4,所以m+n=9. 答案:9
已知等比数列{a n }的各项都为正数,且a 3,1
2a 5,a 4成等差数列,则
a 3+a 5a 4+a 6
的
值是( ) A.
√5-1
2
B.
√5+1
2
C.
3-√52
D.
3+√52
【解析】选A.设等比数列{a n }的公比为q,由a 3,1
2
a 5,a 4成等差数列,可得a 5=a 3+a 4,即a 3q 2
=a 3+a 3q,故q 2
-q-1=0,解得q=
1+√52
或q=
1-√52
(舍
去),a 3+a 5a 4+a 6=a 3+a 3q 2a 4+a 4q 2=a 3(1+q 2)a 4(1+q 2)=1q =2√5+1=2(√5-1)(√5+1)(√5-1)=√5-12
.
等差数列、等比数列基本量的运算方法
(1)等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 考点二等差、等比数列的综合应用
【典例】设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且
a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)记数列{
1
a n
}的前n项和为T n,求使得|T n-1|<1
1000
成立的n的最小值.
【解题导思】序号题目拆解
(1) ①S n=2a n-a1
将S n=2a n-a1利用a n=S n-S n-1转化为
a n与a n-1的关系,由S n=2a n-a1,将a2、
a3用a1表示
②a1,a2+1,a3成等差数列根据关系列方程,得a1
(2) ①记数列{
1
a n
}的前n项和
为T n
由(1)写出
1
a n
的表达式,表示出T n ②求使得|T n-1|<
1
1000
成
立的n的最小值
由|T n-1|<
1
1000
解关于n的不等式
【解析】(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),
即a n =2a n-1(n ≥2).所以公比q=2. 从而a 2=2a 1,a 3=2a 2=4a 1. 又因为a 1,a 2+1,a 3成等差数列, 即a 1+a 3=2(a 2+1).
所以a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2.所以,数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,故a n =2n . (2)由(1)得1a n =1
2
n ,
所以
T n =12+122+…+12n =12[1-(12)n
]1-12
=1-12n . 由|T n -1|<
1
1 000
,得|1-
12
n -1|<
1
1 000
,即2n >1 000.
因为29=512<1 000<1 024=210,所以n ≥10. 于是,使|T n -1|<
11 000
成立的n 的最小值为10.
等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略
(1)设置中间问题:求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.
(2)注意解题细节:在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.
【误区警示】在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合. 【变式备选】
已知等差数列{a n }的各项均为正数,a 1=1,前n 项和为S n ,数列{b n }为等比数列,b 1=1,且b 2S 2=6,b 2+S 3=8.
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式. (2)求1
S 1+1
S 2
+…+1
S n
.
【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d, d>0,{b n }的公比为q,则a n =1+(n-1)d,b n =q n-1.
依题意有{q (2+d )=6,
q +3+3d =8,
解得{d =1,q =2,或{
d =-4
3q =9(舍去). 故a n =n,b n =2n-1.
(2)由(1)知S n =1+2+…+n=12
n(n+1), 所以1
S n =
2
n (n+1)=2(1n -1
n+1
),所以1S 1+1S 2
+…+1S n
=2[(1-1
2
)+
(12
-13)+…+(1n
-1
n+1
)]
=2(1-
1n+1
)=
2n
n+1
.
已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1=12
,前n 项和为S n ,且a 4+S 4,a 5+S 5,a 6+S 6成等差数列. (1)求等比数列{a n }的通项公式.
(2)对n ∈N *,在a n 与a n+1之间插入3n 个数,使这3n +2个数成等差数列,记插入的这3n 个数的和为b n ,求数列{b n }的前n 项和T n .
【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q,a 4+S 4,a 5+S 5,a 6+S 6成等差数列, 所以a 5+S 5-a 4-S 4=a 6+S 6-a 5-S 5, 即2a 6-3a 5+a 4=0,所以2q 2-3q+1=0. 因为q ≠1,所以q=1
2,
所以等比数列{a n }的通项公式为a n =1
2
n . (2)由题意得b n =
a n +a n+1
2
·3n =34·(32
)n
,
T n =34·32-(32)n+11-3
2
=94[(32
)n
-1].
考点三 求数列的通项公式
命 题 精 解 读 考什么:数列的通项公式
怎么考:(1)由a n 与S n 的关系求通项a n (2)由递推公式求通项a n (3)构造新数列求a n
新趋势:以数列为载体,与函数或不等式等综合考查
学 霸 好 方 法 1.求数列的通项公式a n
(1)形如a n+1=a n +f(n)的数列,常用累加法 (2)形如a n+1=a n f(n)的数列,常可采用累乘法
(3)形如a n+1=ba n +d(其中b,d 为常数,b ≠0,1)的数列,常用构造法 2.交汇问题
与函数或不等式等交汇时,经常先构造出新的等差或等比数列求
解,然后再求a n
由a n 与S n 的关系求通项a n
【典例】(2021·全国卷Ⅰ改编)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则a n =________.
【解析】因为S n =2a n +1,当n ≥2时,S n-1=2a n-1+1, 所以a n =S n -S n-1=2a n -2a n-1,即a n =2a n-1. 当n=1时,a 1=S 1=2a 1+1,得a 1=-1.
所以数列{a n }是首项a 1为-1,公比q 为2的等比数列,所以a n =-1×
2
n -1
=-2
n -1
.
答案:-2n-1
S n 与a n 关系问题的求解思路如何
提示:根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. ①利用a n =S n -S n-1(n ≥2)转化为只含S n ,S n-1的关系式 ②利用S n -S n-1=a n (n ≥2)转化为只含a n ,a n-1的关系式
由递推公式求数列通项
【典例】1.设数列{a n }满足a 1=3,a n+1=a n +1n (n+1)
,则通项公式
a n =________.
【解析】原递推公式可化为a n+1=a n +1
n -1n+1
,
则
a 2=a 1+11-1
2
,a 3=a 2+12-1
3
,a 4=a 3+13-1
4
,…,a n-1=a n-2+
1n -2-
1
n -1
,a n =a n-1+
1
n -1
-
1n
,以上(n-1)个式子的等号两端分别相加得,a n =a 1+1-1
n
,故a n =4-1n
.
答案:4-1n
2.在数列{a n }中,a 1=1,a n =n -1n
a n-1(n ≥2),则数列{a n }的通项公式为
________. 【解析】因为a n =n -1n
a n-1(n ≥2),
所以a n-1=
n -2n -1
a n-2,a n-2=n -3n -2
a n-3,…,a 2=1
2
a 1.
以上(n-1)个式子相乘得
a n =a 1·12·23·…·n -1n =a 1n =1
n
.
当n=1时,a 1=1,上式也成立.所以a n =1n
(n ∈N *
).
答案:a n =1
n
(n ∈N *)
(1)形如a n+1=a n +f(n)的数列,选择何种方法求通项公式 提示:累加法
(2)形如a n+1=a n f(n)的数列,选择何种方法求通项公式 提示:累乘法
【误区警示】利用累乘法求通项公式时,易出现两个方面的问题:一是在连乘的式子中只写到a 2
a 1,漏掉a 1而导致错误;二是根据连乘求出a n 之
后,不注意检验a 1是否成立.
构造等差、等比数列求通项a n
【典例】1.已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +2,则数列{a n }的通项公式为____________.
【解析】因为a n+1=3a n +2,所以a n+1+1=3(a n +1), 所以
a n+1+1a n +1
=3,
所以数列{a n +1}为等比数列,公比q=3,又a 1+1=2, 所以a n +1=2·3n-1,所以a n =2·3n-1-1(n ∈N *). 答案:a n =2·3n-1-1(n ∈N *)
2.已知数列{a n }满足:a n+2=3a n+1-2a n ,a 1=2,a 2=4,n ∈N *. 求证:数列{a n+1-a n }为等比数列,并求数列{a n }的通项公式.
【解析】因为a n+2-a n+1a n+1-a n =3a n+1-2a n -a n+1
a n+1-a n
=2,
所以数列{a n+1-a n }是公比为2,首项为2的等比数列, 所以a n+1-a n =2n ,
累加可知:a n -a 1=2+22+…+2n-1=2n -2(n ≥2), a n =2n (n ≥2),当n=1时,a 1=2满足上式, 所以a n =2n (n ∈N *).
(1)形如a n+1=ba n +d(其中b,d 为常数,b ≠0,1)的数列,其基本思路是什么
提示:等号两边同时加上一个数使{a n +λ}成等比数列. (2)形如a n+1=
pa n
qa n +r
(p,q,r 是常数)的数列,构造新数列时是怎样变形的
提示:求倒数
1a n+1
=qa n +r pa n
=q p +
r
pa n
,再用构造法.
(3)形如a n+2=pa n+1+qa n (p,q 是常数,且p+q=1)的数列,如何求通项 提示:等号两边同时加上a n+1的倍数使{a n+1+λa n }成等比数列.
1.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n+1=3S n (n ≥1),则a 6= ( ) ×44 ×44+1 +1
【解析】选=1,a 2=3S 1=3,a 3=3S 2=12=3×41,a 4=3S 3=48=3×42,a 5=3S 4=192=3×43,a 6=3S 5=768=3×44.
【一题多解】选A.当n ≥1时,a n+1=3S n ,则a n+2=3S n+1, 所以a n+2-a n+1=3S n+1-3S n =3a n+1,即a n+2=4a n+1,
所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列,又a 2=3S 1=3a 1=3,
所以a n ={1(n =1),
3×4n -2
(n ≥2),
所以当n=6时,a 6=3×46-2=3×44.
2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n+1,则S n = ( ) B.(32)
n -1
C.(23
)
n -1
D.
1
2n -1
【解析】选B.由已知S n =2a n+1得S n =2(S n+1-S n ),即2S n+1=3S n ,S n+1S n
=32
,而
S 1=a 1=1,所以S n =(32)
n -1
.
3.设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1=a n +n+1(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为________.
【解析】由题意得a 2=a 1+2,a 3=a 2+3,…,a n =a n-1+n(n ≥2),以上各式相加,得a n =a 1+2+3+…+n.又因为a 1=1,所以a n =1+2+3+…+n=n 2+n 2
(n ≥2),因为
当n=1时也满足上式,所以a n =n 2+n 2
(n ∈N *).
答案:a n =
n 2+n 2
4.设数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2n a n ,则通项公式a n =________. 【解析】由a n+1=2n a n ,得a n a n -1
=2n-1(n ≥2),
所以
a n =a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 2a 1
·a 1
=2n-1·2n-2·…·2·1=21+2+3+…+(n-1)=2n (n -1)2.
又a 1=1适合上式,故a n =2n (n -1)2.
答案:2
n (n -1)2
1.在数列{a n }中,a 1=3,且点P n (a n ,a n+1)(n ∈N *)在直线4x-y+1=0上,求数列{a n }的通项公式.
【解析】因为点P n (a n ,a n+1)(n ∈N *)在直线4x-y+1=0上, 所以4a n -a n+1+1=0,即a n+1=4a n +1,
得a n+1+13=4(a n +13), 所以{a n +13}是首项为a 1+13=103,公比为4的等比数列,所以a n +13=103·4n-1,故a n =103·4n-1-13
. 【变式备选】
在数列{a n }中,a 1=1,数列{a n+1-3a n }是首项为9,公比为3的等比数列.
(1)求a 2,a 3.
(2)求数列{a n
3n }的前n 项和S n .
【解析】(1)因为数列{a n+1-3a n }是首项为9,公比为3的等比数列,所以a n+1-3a n =9×3n-1=3n+1,
所以a 2-3a 1=9,a 3-3a 2=27,所以a 2=12,a 3=63.
(2)因为a n+1-3a n =3n+1,所以a n+13n+1-a n 3n =1, 所以数列{a n
3n
}是首项为13,公差为1的等差数列, 所以数列{a n
3n }的前n 项和S n =n 3+n (n -1)2=3n 2-n 6.
2.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n+2=3S n -S n+1+3,n ∈N *.
(1)证明:a n+2=3a n .
(2)求S 2n .
【解析】(1)由条件,对任意n ∈N *,有
a n+2=3S n -S n+1+3,
则对任意n ∈N *,n ≥2,有a n+1=3S n-1-S n +3. 两式相减,得a n+2-a n+1=3a n -a n+1,
即a n+2=3a n,n≥2,
又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1.故对一切n∈N*,a n+2=3a n.
=3.
(2)由(1)知,a n≠0,所以a n+2
a n
于是数列{a2n-1}是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列{a2n}是首项
a2=2,公比为3的等比数列.
因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.
于是S2n=a1+a2+…+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=(1+3+…+3n-1)+2×(1+3+…+3n-1)
=3×(1+3+…+3n-1)=3×(3n-1)
.
2。