2019-2020学年新培优同步人教A版数学必修二课件：4.2.3 直线与圆的方程的应用

从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新概念,
进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,以确
定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实现应用问题向数学
问题的转化.
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(2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型.
根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识
建立方程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的
数学化,即建立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则需要建立适当
的平面直角坐标系,设出圆的方程,为求解方程或计算做准备.
(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,
求得结果.
(4)翻译成具体问题.
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题型一
题型二
题型一
用坐标法证明几何问题
【例1】 如图,在半径为1的圆O上任取点C为圆心,作一圆与圆O的直径
AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F.求证:EF平分CD.
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题型一
题型二
证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中点O为原点建立平面直角坐标
系,如图所示,则圆O的方程为x2+y2=1.①
设圆 C 的圆心为 C(x1,y1),
则可得圆 C 的方程为(x-x1)2+(y-y1)2= 12 ,
即 x2+y2-2x1x-2y1y+12 = 0. ②
①-②,得 2x1x+2y1y-1−12 = 0. ③
③式就是直线 EF 的方程.
设 CD 的中点为 H,其坐标为 1 ,

212 + 21 · 21 − 1 − 12 = 212 +
坐标法解决.建立适当的直角;(2)常选特殊点作为直角坐标系的原
点;(3)尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的平面直角坐标系,会简化
运算过程.
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题型一
题型二
【变式训练2】 一座圆形拱桥,当水面在l位置时,拱顶离水面2 m,水面
1
2
12
, 将H 代入③式,得
− 1 − 12 = 12 +
12 − 1 = 0, 即CD 的中点 H 在 EF 上.
故 EF 平分 CD.
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题型一
题型二
反思1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:
点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数
4.2.3
直线与圆的方程的应用
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1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题.
2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题.
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直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的
几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.②
当水面下降1 m时,设点A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A'的坐标(x0,-3)
代入方程②,解得 x0= 51.
所以水面下降 1 m 后,水面的宽为 2x0=2 51 m.
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第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.
这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”,又简称为“一建二算三
译”.
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解决与圆相关的实际问题的步骤
剖析:解决此类问题的基本步骤如下:
(1)阅读理解,认真审题.
做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领悟
题型二
解:如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点
建立平面直角坐标系,则点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).
设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为点A,B,P在圆拱所在的圆上,所以
= 0,
182 -18 + = 0,
182 + 18 + = 0,解得 = 48,
问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何问题的结论.
2.用坐标法解决实际问题的关键是把它转化为数学问题.
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题型一
题型二
【变式训练1】
如图,Rt△ABC的斜边长为定值2m,以斜边的中点O为圆心作半径为n
的圆,直线BC交圆于P,Q两点,求证:|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
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题型一
题型二
题型二
实际应用问题
【例2】 某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36 m,拱高OP是
6 m,在建造时,每隔3 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长.(精确到0.01
m)
(参考数据 2≈1.414, 3≈1.732)
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题型一
宽为12 m,问:水面下降1 m后,水面宽多少米?
解以拱桥的拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平面直
角坐标系.
设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B(A在B的右侧),则由已知得A(6,-2).
设圆的半径为r m,则C(0,-r),
即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①
将点A的坐标(6,-2)代入①,解得r=10,
= -324.
62 + 6 + = 0,
故圆拱所在的圆的方程是x2+y2+48y-324=0.
将点P2的横坐标x=6代入上式,解得
y=-24+12 6≈5.39(m)(负值舍去).
答:支柱A2P2的长约为5.39 m.
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题型一
题型二
反思在实际问题中,遇到有关直线和圆的问题,通常建立坐标系,利用
证明:如图,以O为坐标原点,以直线BC为x轴,建立平面直角坐标系,于
是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).
设A(x,y),由已知,点A在圆x2+y2=m2上.
|AP|2+|AQ|2+|PQ|2
=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+4n2
=2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).