【中小学资料】北京市石景山区2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)

2015-2016学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．下列命题中，真命题是（）
A．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
B．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行
C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线
D．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行
2．直线y=﹣2x+b一定通过（）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
3．某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（）
A．左前 B．右前 C．左后 D．右后
4．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为
（）
A．B．C．D．
5．已知命题p，q，那么“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）
A．2πB．4πC．8πD．16π
7．抛物线y2=8x上到其焦点F距离为4的点有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）
A．平行 B．垂直
C．相交成60°角D．异面且成60°角
9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
10．某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下
种产品？（）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题共4小题，每小题3分，共12分．
11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为．
12．过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的方程为．
13．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的长轴长为．
14．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x2+y2=1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O 的距离S P的定义如下：若P与O重合，S P=r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，S P=AP的长度（如图）．
（1）直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为；
（2）若线段MN上存在点T，使得：
①点T在⊙O内；
②∀点P∈线段MN，都有S T≥S P成立．则线段MN的最大长度为．
三、解答题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点P．
（Ⅰ）若直线l平行于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程；
（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程．
16．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：A1D⊥AE；
（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．
17．如图，有一个正方体的木块，E为棱AA1的中点．现因实际需要，需要将其沿平面D1EC 将木块锯开．请你画出前面ABB1A1与截面D1EC的交线，并说明理由．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E 为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小．
19．课本上的探索与研究中有这样一个问题：
已知△ABC的面积为S，外接圆的半径为R，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，用解析
几何的方法证明：．
小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：
（1）在△ABC所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；
（2）用表示△ABC三个顶点坐标的字母来表示△ABC的外接圆半径、△ABC的三边和面积；（3）根据上面得到的表达式，消去表示△ABC的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．
在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：
（Ⅰ）为了△ABC的三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式；你选择第种建系方式．
（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程：
（1）设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+ =0；
（2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横坐标为，进而可以求出D= ；
（3）外接圆的方程为．
20．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．
2015-2016学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．下列命题中，真命题是（）
A．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直
B．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行
C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线
D．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】利用平面与平面垂直的判定定理判断A的正误；利用特例判断B的正误；直线与平面平行的性质定理判断C的正误，直线与平面的位置关系判断即可．
【解答】解：一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，满足平面与平面垂直的判定定理，所以A正确．
若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行，例如正方体的上面的来与底面是平行的．侧面与底面是垂直的，所以B不正确．
若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线，也有异面直线，所以C 不正确；
若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行，不满足平面与平面平行的判定定理．
所以不正确．
故选：A．
2．直线y=﹣2x+b一定通过（）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【考点】确定直线位置的几何要素．
【分析】利用直线的斜率即可判断出结论．
【解答】解：∵斜率k＜0，
∴直线y=﹣2x+b一定通过第二、四象限．
故选：B．
3．某建筑由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图所示，最高一层的房间在什么位置（）
A．左前 B．右前 C．左后 D．右后
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】根据主视图和侧视图，结合三视力长对正，宽相等的原则，可得最高一层的房间的位置．
【解答】解：由已知中的三视图可得：
主视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在左边；
侧视图的左边是三层的，可得最高一层的房间在后面，
故最高一层的房间在左后面，
故选：C．
4．双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为，
可得=，即，解得e2=，e=．
故选：A．
5．已知命题p，q，那么“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系便可判断由“p∧q为真命题”能得到“p∨q为真命题”，而“p∨q为真命题”得不到“p∧q为真命题”，从而得出正确选项为A．
【解答】解：若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，∴p∨q为真命题；
若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，而如果p，q中只有一个为真命题，则得不到p∧q为真命题；
∴“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．
故选：A．
6．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）
A．2πB．4πC．8πD．16π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】棱长为2的正方体的内切球的半径r=1，由此能求出其表面积．
【解答】解：棱长为2的正方体的内切球的半径r==1，
表面积=4πr2=4π．
故选B．
7．抛物线y2=8x上到其焦点F距离为4的点有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，判断焦点到顶点的距离，然后推出结果．
【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标（2，0），焦点到顶点的距离为2，所以抛物线上到其焦点F距离为4的点有2个．
故选：B．
8．将正方体的纸盒展开如图，直线AB、CD在原正方体的位置关系是（）
A．平行 B．垂直
C．相交成60°角D．异面且成60°角
【考点】异面直线的判定．
【分析】以AB所在平面为底面，将右侧正方形折起为右边的平面，因为DE∥AB，所以∠CDE 即为直线AB，CD所成的角，在△CDE中求解即可．
【解答】解：如图，直线AB，CD异面．因为DE∥AB，
所以∠CDE即为直线AB，CD所成的角，
因为△CDE为等边三角形，故∠CDE=60°
故选D．
9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】连接AE，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，然后再在三角形EDF中求出此角即可．
【解答】解：连接AE，因为几何体是正方体，可知BA⊥平面AA1D1D，
得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，
设棱长为2，
AE==，
直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为： =．
故选：C．
10．某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下
种产品？（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图，找完全子图的顶点集，即可判断答案．
【解答】解：作图：以产品为顶点，能够允许存放在同一仓库的产品用边相连画图，
找完全子图的顶点集：例如：①{1，4，7}，{3，6，8}，{2，5}，②{2，4，6，8}，{1，7}，{3，5}，
每个顶点集中元素可以放在同一仓库，需要3间仓库，
故选：B
二、填空题共4小题，每小题3分，共12分．
11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为∃x∈R，x2﹣x+1≤0．
【考点】命题的否定．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．
故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．
12．过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4 ．
【考点】圆的标准方程．
【分析】求出圆的圆心与半径，即可写出圆的标准方程，
【解答】解：过点（0，2）且与两坐标轴相切的圆的圆心（2，2），半径为：2．
圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．
13．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆的对
称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的长轴长为2+2．
【考点】圆锥曲线的综合．
【分析】设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程解得p即可．由题意知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），可得c．对于椭圆，2a=|MF1|+|MF2|，可得结论．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将M（1，2）代入方程得p=2．
∴抛物线的方程为y2=4x．
由题意知椭圆的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．
∴c=1．
对于椭圆，2a=|MF1|+|MF2|=+=2+2．
故答案为：2+2．
14．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x2+y2=1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O 的距离S P的定义如下：若P与O重合，S P=r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，S P=AP的长度（如图）．
（1）直线2x+2y+1=0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为1﹣；
（2）若线段MN上存在点T，使得：
①点T在⊙O内；
②∀点P∈线段MN，都有S T≥S P成立．则线段MN的最大长度为 4 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）根据点到的坐标和新定义进行求解即可．
（2）根据点T在⊙O内，得到S T≤1，然后根据不等式S T≥S P成立，的S P≤1，即可得到结论．
【解答】解：（1）作出对应的图象如图：
由图象可知当直线与2x+2y+1=0垂直时对应的交点P，此时P到⊙O的距离最长，
此时OP==，则AP=1﹣OP=1﹣．
（2）∵点T在⊙O内，∴S T≤1，
∵S T≥S P成立，∴S P≤1，
∴当线段MN过原点时，MN的最大长度为1+2+1=4，
故答案为：4．
三、解答题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点P．
（Ⅰ）若直线l平行于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程；
（Ⅱ）若直线l垂直于直线l1：4x﹣y+1=0，求l的方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】联立，解得交点P．
（Ⅰ）设直线l：4x﹣y+m=0，把（2，1）代入可得m，即可得出；
（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，把点P（2，1）代入上述方程n，即可得出．
【解答】解：联立，解得P（2，1）．
（Ⅰ）设直线l：4x﹣y+m=0，把（2，1）代入可得：4×2﹣1+m=0，m=﹣7．
∴l的方程为：4x﹣y﹣7=0；
（Ⅱ）设直线l的方程为：x+4y+n=0，
把点P（2，1）代入上述方程可得：2+4+n=0，解得n=﹣6．
∴x+4y﹣6=0．
16．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：A1D⊥AE；
（Ⅱ）求二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由
B1D⊥平面ACE，求出DE=，由此利用向量法能证明A1D⊥AE．
（Ⅱ）求出平面AEC的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，
AA1=2AB=2，E是DD1上的一点，且满足B1D⊥平面ACE，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
A1（1，0，2），D（0，0，0），A（1，0，0），B1（1，1，2），C（0，1，0），
设E（0，0，t），0≤t≤2，
=（﹣1，﹣1，﹣2），=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，t），
∵B1D⊥平面ACE，∴=1﹣2t=0，解得t=，
∴=（﹣1，0，﹣2），=（﹣1，0，），∴，
∴A1D⊥AE．
解：（Ⅱ） =（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），
设平面AEC的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，1，2），
又平面ADE的法向量=（0，1，0），
设二面角D﹣AE﹣C的平面角为θ，
则cosθ===．
∴二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．
17．如图，有一个正方体的木块，E为棱AA1的中点．现因实际需要，需要将其沿平面D1EC 将木块锯开．请你画出前面ABB1A1与截面D1EC的交线，并说明理由．
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】取AB中点F，连结EF，则EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．
【解答】解：取AB中点F，连结EF，则EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．
理由如下：
连结A1B，∵E为棱AA1的中点，F是AB中点，
∴EF∥A1B，
又∵A1B∥D1C，
∴EF∥D1C，
∴直线EF与直线D1C确定一个平面α，
∵直线D1C与直线外一点E都在平面α内，
∴平面α与平面D1EC重合，
∴EF即为所求的面ABB1A1与截面D1EC的交线．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E 为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，则OE∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的大小．
【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵四边形ABCD为正方形，E为PD中点，
∴OE∥PB，
∵OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
∴PB∥平面AEC．
解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=2，E为PD中点．
∴B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2），
设平面PBC的法向量=（x，y，z），
则，取z=1，得=（1，1，1），
设平面PCD的法向量=（a，b，c），
则，取b=1， =（0，1，1），
设二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，
则cosθ===．
∴二面角B﹣PC﹣D的大小为arccos．
19．课本上的探索与研究中有这样一个问题：
已知△ABC的面积为S，外接圆的半径为R，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，用解析
几何的方法证明：．
小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：
（1）在△ABC所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；
（2）用表示△ABC三个顶点坐标的字母来表示△ABC的外接圆半径、△ABC的三边和面积；（3）根据上面得到的表达式，消去表示△ABC的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．
在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：
（Ⅰ）为了△ABC的三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式；你选择第①种建系方式．
（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程：
（1）设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+ Ey+F =0；
（2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心的横
坐标为，进而可以求出D= ﹣m﹣n ；
（3）外接圆的方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0 ．
【考点】圆的标准方程；圆的一般方程．
【分析】选择坐标系，利用待定系数法，即可得出结论．
【解答】解：设△ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则D=﹣m﹣n，
∴方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+Ey+F=0，
代入（0，p），（n，0），可得，
∴F=mn，E=﹣p﹣，
∴外接圆的方程为x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．
故答案为：①；Ey+F；；﹣m﹣n；x2+y2+（﹣m﹣n）x+（﹣p﹣）y+mn=0．
20．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：
y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为，得出a2=4b2，再根据M（4，
1）在椭圆上，解方程组得b2=5，a2=20，从而得出椭圆的方程；
（II）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而△＞0，解得﹣5＜m＜5；
（III）设出A（x1，y1），B（x2，y2），对（II）的方程利用根与系数的关系得：
．再计算出直线MA的斜率k1=，MB的斜率为
k2=，将式子K1+K2通分化简，最后可得其分子为0，从而得出k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补，命题得证．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，
∵椭圆的离心率为，
∴a2=4b2，
又∵M（4，1），
∴，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为．…
（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得
5x2+8mx+4m2﹣20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B
∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5．…
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得：．
上式的分子=（x1+m﹣1）（x2﹣4）+（x2+m﹣1）（x1﹣4）
=2x1x2+（m﹣5）（x1+x2）﹣8（m﹣1）
=
所以k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…。