第二章 反滤波
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由此可知,如已知子波,利用数学的方法求出a(t),再让a(t)
与地震记录x(t)做褶积,就可以求出反射系数序列(t) .这 样一个过程就叫做反褶积.经过这样的处理,就可以达到把地 震子波压缩成尖脉冲,从而提高地震记录纵向分辨率的目的.
由图可知,反滤波仍然是一个滤波过程,不过由于其作用恰好和某个
地震子波是一能量有一定衰减、具有一定持续时间的稳定波形，其持续时间t通常为
几十至一百毫秒左右，如若地下岩层很薄，反射波在其间传播的时间< t时，由地 震记录本身就无法区分两个不同岩性的地层。
这主要是因为大地滤波器的作用，使地震脉冲变成了有一定持续时间的子波
了，从而使本来可以清晰反映地层层序的尖脉冲序列“模糊化”了，降低了 地震记录对地层的纵向分辨能力。显然，要想利用地震记录划分岩层（主要 是区分薄层），就必须去掉大地滤波器的作用，把延续几十至一百毫秒的地 震子波压缩成原来的尖脉冲形式，地震记录变成反映反射系数序列的窄脉冲 组合，这就是反滤波要完成的工作。
第二章 反滤波(inverse filtering or deconvolution 缩写 Dec.)
第2-1节 第2-2节 第2-3节
第2-4节
第2-5节 第2-6节
第2-7节
反滤波的概念 反子波 地震子波的提取* 最小平方反滤波 预测反滤波 反滤波中的参数选择 反滤波中的假设与实际*
教学大纲要求
主要内容:反滤波的概念、反子波、子波的提取方 法、最小平方反滤波方程、预测反褶积和反滤 波参数的选择、反滤波的假设与实际。 重点： 反滤波的概念、最小平方反滤波原理及 预测原理，了解反滤波参数对滤波的影响，会 合理地设计滤波参数，正确地计算反滤波结果。 难点：最小平方反滤波方程的推导和计算
归纳:因果.稳定的最小相位序列的Z变换特点:
其零、极点都在单位圆内.
.
Z变换法计算的思路:
给定子波b(t),求其Z变换B(Z),再求A(Z)=1/ B(Z),再求反Z变换, 就可获得反子波a(t),然后再根据实际情况考察:把a(t)截断后 得到的实际输出: c(t)=aN(t)*b(t) 与期望输出t)比较，观察其误差能量 E（t)=[c(t)- t)]2
基本同上,但在实现时其实更难,因为如子波长度较长,意味着多项式的项数较多,因 式分解将是一件很不容易实现的事(计算机进行因式分解原则上可行,但实际中 由于舍入误差会带来不好的影响);
4.利用测井资料求取子波
这应该说是目前应用最多.也最有效的方法.它不要求子波满足什么条件,但 注意:必须在有井的地区才能使用该方法,而且此法对测井资料的质量有 较高的要求,更何况并非处处有井.
做法:由已知子波,求取反子波,再和地震记录褶积,最终
获得反射系数序列;
有两种方法:Z变换法和最小平方法,相比之下,后者明显
好于前者;
效果好的先决条件:子波必须是最小相位的
第2-3节 地震子波的提取*
自学,问题: 1.教材中所列举的方法各有什么限制条件?需要 什么样的记录作为输入? 2.你感觉这些方法存在什么问题?在实际生产中 能否很好获得?
下面通过具体的例子说明实际进行中如何做,会存在什么 问题.?
数例说明 例1 b(n)={1,-0.5} a(n)=(0.5)nu(n) N=2, a2(n)={1,0.5},c2(n)={1,0,-1/4} E2(n)=1/16 N=3,a3(n)={1,1/2,1/4},c3(n)={1,0,0,1/8}E3(n)=1/64 N=4,E4(n)=1/256 •••
a(t)和地震记录x(t)做褶积的过程. 现考虑子波反褶积,就是在已知子波的前提下进行反 滤波因子a(t)的求取,相当于又引入一个假设—假设条
件5:已知子波,这就是子波反褶积的先决条件.
一.Z变换法
求反子波最简单的方法就是利用A() = 1/ B()的Z变换A(Z) = 1/ B(Z)来完成a(t)的求取 复习: 1.最小相位时间序列的Z变换特点--零点在单位圆内 2.稳定序列的Z变换特点—其收敛域必须包括单位圆(即极点不能在 单位圆上). 3.因果序列(即物理可实现序列)的Z变换特点—收敛域为某个圆的外 部 4.因果稳定序列的Z变换特点----其极点在单位圆内.
由此可知，反滤波的目的就是：把地震子波压缩成尖脉冲，使地震记
录变成反射系数序列(t)—提高地震记录的纵向分辨率。
二.如何实现反滤波 根据反滤波的目的,我们可以这样来实现反滤波:
因为 无噪地震记录 x(t) = b(t)(t) 变换到频率域,则有: X() = B()· () 显然, () = 1/ B()·X() 如果令 A() = 1/ B() 则满足各类具体需要的反滤波 方法.
一.基本方程—最小平方(反)滤波方程 (optimum Wiener filtering equation)
最小平方反滤波的目的:把地震子波压缩成尖脉冲,从而使地震 记录能够直接反映地下反射界面的反射系数序列.
基本考虑:已知输入为地震子波b(t),要求设计一个滤波器a(t),使 得滤波后的实际输出c(t)=a(t)b(t)与期望输出—一个窄脉冲 d(t)在最小平方意义下最接近,即选取适当的a(t)使实际输出 c(t)与期望输出d(t)的误差平方和Q为最小.
由于大地滤波器的作用，子波的高频成分损失，脉冲频谱变窄，从而
使激发时产生的尖脉冲经过大滤波后其延续时间加大了。这样一来， 地震记录就变成了若干子波叠加的结果。即地震记录等于地震子波与 反射系数的褶积：
x(t) = b(t) (t) 在实际生产中往往会有一些噪声产生，因此地震记录还应包括干扰 波n(t) x(t) = b(t) (t) + n(t) 其结果是一复杂的记录形式。
再变换到时间域,有:
(t) = a(t)x(t)= a(t)b(t)(t) 其中, a(t)是A()的时间函数,且存在 a(t)b(t)=(t),也即: A() · B()=1
因为b(t)是地震子波, a(t)和b(t)之间又存在频谱互为倒
数的关系,所以人们把a(t)称为反子波,又叫做反滤波因子 (deconvolution operator)
第2-2节
反子波(子波反褶积)
注意到此我们已引入了4个假设条件: 假设条件1:地震波是在水平层状介质中传播的;
假设条件2:只考虑垂直反射的反射纵波;
假设条件3:地震子波在传播过程中保持波形不变(即是时
不变的);
假设条件4:噪声n(t)=0;
子波反褶积:已知子波b(t)求反子波a(t),再用反子波
第2-4节 最小平方(反)滤波
最小平方反滤波是地震勘探中最常用的一类反滤波方法,是维纳在1947年
最先提出来的,所以又叫做维纳(反)滤波.他是以这样的最佳准则来设计 (反)滤波器的:使(反)滤波器的实际输出与期望输出的误
差平方和为最小(即在最小平方意义下使误差能量达 到最佳)—因此又叫作最佳维纳滤波.只要我们根据实际需要改变
1.直接观测法
只适用于海上地震勘探,且还应是海水存在明显的分层. 另外,海上勘探还可以通过设在空气枪.电火花等震源附近的震源检波器直接接收 震源子波;
2.自相关法
适用于陆上勘探但要求地震记录1)所含子波是最小相位的或零相位的;2)反射系数 是白噪声的;3)所截取的记录段信噪比较高;
3.多项式求根法
第2-1节 反滤波的概念
一、为什么要进行反滤波？
理想地震记录就应是一系列反射脉冲的叠加.其中每一个脉冲
代表地下存在一个反射界面,整个反射系数序列就表示地下的 一套地层.这种理想的地震记录,可以表示为: x(t)=N0•(t)
由于震源爆炸是岩石破坏圈 和岩石塑性圈的作用， 使得震源发出的尖脉冲 到达弹性区时变成了一 个具有一定延续时间的 稳定波形b（t）（通常 称为地震子波）。地层 对震源脉冲的改造作用 就相当于一个滤波器， 通常叫做大地滤波器
在反射系数序列是白噪序列的假设条件下,可以用记录自(互)相关代替子
波自(互)相关,
xx(-s)a() = zx(s)
5.对数分解法
克服了上述方法所提出的各种假设,也不需要有井资料,一时间成了新方法, 但后来人们发现,它存在一个致命弱点—要求子波和反射系数的对数谱 序列在时间轴上截然分离(这在实际中是不容易实现的),且,也要求信噪 比较高. 综上所述,各种子波求取方法都有局限性,所以,在实际生产中还必须研究直 接利用地震记录求取反滤波因子的方法.
最小平方法的基本思想: 已知子波,现要找一个二项的反滤波因子,使得该滤波器的实际 输出与期望输出之间的误差平方和为最小——这种使实际输出
与期望输出之间的误差在最小平方意义下达到最小的反滤波方法就叫做 最小平方反滤波法,利用此法求出的反子波,就叫做最小平方反子波. 数例说明
本节小结 子波反褶积,要求已知子波的反褶积方法;
确定性方法—要求知道地震子波
存在问题: 子波一般很难准确确定;
子波的截取问题
统计方法不要求已知子波,但通常都只能在某些假设条件下求得最佳反滤波因子, 一旦条件不被满足,则达不到好的效果.
.
a)声波测井曲线;b)从a推出的反射系数序列;c)对b做了深-时转换后的反射系数 序列;d)包含一次反射波c和多次波的脉冲应;e)d和子波褶积后获得的合成地震记 录.一维地震模型(正演),意味着从a)得到e;反褶积,从e产生d;而一维反演则意味 着从d的到c.在a和b上识别出对应于c图上0.5秒处的大脉冲.脉冲响应d是一次反 射波c和各类多次波的组合
例1
b’(n)={-0.5,1} a’(n)=-(2)nu(n) N=2, a’2(n)={-2,-4},c’2(n)={1,0,-4} E’2(n)=16 N=3,a’3(n)={-2,-4,-8}, C’3(n)={1,0,0,-8} E’3(n)=64 N=4,E’4(n)=256 •••
相同的期望输出，相同的计算步骤,获得的结果却截然不同,
原因就在于给出的子波形状不同(也即其相位不同).很显然, 在期望输出为零延迟的尖脉冲时，只有当子波是最小相位 时,其反子波才是衰减序列,其截断序列才能近似等于其本 身,最后的反滤波效果才会好,而且截断项数越多,效果越好; 若子波是最大相位的,其反子波是一发散序列,随着截断的 项数增加,反滤波效果越来越差.
由此可见,要想子波反褶积效果好,还必须要求子波是最
小相位的.
通过例子可以知道Z变换 法求取反子波,不光要 求子波已知,而且还要 求子波必须是最小相 位的,否则,不可能获得 好的反滤波结果;在满 足上述假设条件的前 提下,截取的反子波长 度越长,效果越好,当然 计算时间也就越长.
二.最小平方法(Least Square LS法) 引入该方法的原因:Z变换法虽然简单,但实际计算并不容易,特别是现实生产 中的地震子波往往都不只是两点序列,这样我们要能很快从一个较复杂的 Z变换多项式推出其反变换是很不容易的,所以必须引入新的方法.
最后推出方程:
bb(-s)a() = db(s)
(s=0,1,2,,m) (2-64)
这就是所谓的维纳滤波方程,也叫做最小平方(反)滤波方程 ----基本方程
由于方程两边的系数都只与子波的相关函数有关,而不直接与子 波相关联,所以可以利用某些假设条件从地震记录本身求出相 关函数,而不必需要已知子波,这样对我们求反滤波是一重大 突破,免去了求取子波的麻烦.
滤波过程的作用相反,所以就叫做反滤波.
由于滤波和反滤波在数学上都是通过褶积来实现的,所以,又可以把
反滤波叫做反褶积(deconvolution)
三.地震勘探中的反滤波方法 由上述讨论可以知道,研究反滤波,就是研究如何设计一个反滤波器来抵消
大地滤波器的作用,通常有两类方法:确定性方法和统计方法.
与地震记录x(t)做褶积,就可以求出反射系数序列(t) .这 样一个过程就叫做反褶积.经过这样的处理,就可以达到把地 震子波压缩成尖脉冲,从而提高地震记录纵向分辨率的目的.
由图可知,反滤波仍然是一个滤波过程,不过由于其作用恰好和某个
地震子波是一能量有一定衰减、具有一定持续时间的稳定波形，其持续时间t通常为
几十至一百毫秒左右，如若地下岩层很薄，反射波在其间传播的时间< t时，由地 震记录本身就无法区分两个不同岩性的地层。
这主要是因为大地滤波器的作用，使地震脉冲变成了有一定持续时间的子波
了，从而使本来可以清晰反映地层层序的尖脉冲序列“模糊化”了，降低了 地震记录对地层的纵向分辨能力。显然，要想利用地震记录划分岩层（主要 是区分薄层），就必须去掉大地滤波器的作用，把延续几十至一百毫秒的地 震子波压缩成原来的尖脉冲形式，地震记录变成反映反射系数序列的窄脉冲 组合，这就是反滤波要完成的工作。
第二章 反滤波(inverse filtering or deconvolution 缩写 Dec.)
第2-1节 第2-2节 第2-3节
第2-4节
第2-5节 第2-6节
第2-7节
反滤波的概念 反子波 地震子波的提取* 最小平方反滤波 预测反滤波 反滤波中的参数选择 反滤波中的假设与实际*
教学大纲要求
主要内容:反滤波的概念、反子波、子波的提取方 法、最小平方反滤波方程、预测反褶积和反滤 波参数的选择、反滤波的假设与实际。 重点： 反滤波的概念、最小平方反滤波原理及 预测原理，了解反滤波参数对滤波的影响，会 合理地设计滤波参数，正确地计算反滤波结果。 难点：最小平方反滤波方程的推导和计算
归纳:因果.稳定的最小相位序列的Z变换特点:
其零、极点都在单位圆内.
.
Z变换法计算的思路:
给定子波b(t),求其Z变换B(Z),再求A(Z)=1/ B(Z),再求反Z变换, 就可获得反子波a(t),然后再根据实际情况考察:把a(t)截断后 得到的实际输出: c(t)=aN(t)*b(t) 与期望输出t)比较，观察其误差能量 E（t)=[c(t)- t)]2
基本同上,但在实现时其实更难,因为如子波长度较长,意味着多项式的项数较多,因 式分解将是一件很不容易实现的事(计算机进行因式分解原则上可行,但实际中 由于舍入误差会带来不好的影响);
4.利用测井资料求取子波
这应该说是目前应用最多.也最有效的方法.它不要求子波满足什么条件,但 注意:必须在有井的地区才能使用该方法,而且此法对测井资料的质量有 较高的要求,更何况并非处处有井.
做法:由已知子波,求取反子波,再和地震记录褶积,最终
获得反射系数序列;
有两种方法:Z变换法和最小平方法,相比之下,后者明显
好于前者;
效果好的先决条件:子波必须是最小相位的
第2-3节 地震子波的提取*
自学,问题: 1.教材中所列举的方法各有什么限制条件?需要 什么样的记录作为输入? 2.你感觉这些方法存在什么问题?在实际生产中 能否很好获得?
下面通过具体的例子说明实际进行中如何做,会存在什么 问题.?
数例说明 例1 b(n)={1,-0.5} a(n)=(0.5)nu(n) N=2, a2(n)={1,0.5},c2(n)={1,0,-1/4} E2(n)=1/16 N=3,a3(n)={1,1/2,1/4},c3(n)={1,0,0,1/8}E3(n)=1/64 N=4,E4(n)=1/256 •••
a(t)和地震记录x(t)做褶积的过程. 现考虑子波反褶积,就是在已知子波的前提下进行反 滤波因子a(t)的求取,相当于又引入一个假设—假设条
件5:已知子波,这就是子波反褶积的先决条件.
一.Z变换法
求反子波最简单的方法就是利用A() = 1/ B()的Z变换A(Z) = 1/ B(Z)来完成a(t)的求取 复习: 1.最小相位时间序列的Z变换特点--零点在单位圆内 2.稳定序列的Z变换特点—其收敛域必须包括单位圆(即极点不能在 单位圆上). 3.因果序列(即物理可实现序列)的Z变换特点—收敛域为某个圆的外 部 4.因果稳定序列的Z变换特点----其极点在单位圆内.
由此可知，反滤波的目的就是：把地震子波压缩成尖脉冲，使地震记
录变成反射系数序列(t)—提高地震记录的纵向分辨率。
二.如何实现反滤波 根据反滤波的目的,我们可以这样来实现反滤波:
因为 无噪地震记录 x(t) = b(t)(t) 变换到频率域,则有: X() = B()· () 显然, () = 1/ B()·X() 如果令 A() = 1/ B() 则满足各类具体需要的反滤波 方法.
一.基本方程—最小平方(反)滤波方程 (optimum Wiener filtering equation)
最小平方反滤波的目的:把地震子波压缩成尖脉冲,从而使地震 记录能够直接反映地下反射界面的反射系数序列.
基本考虑:已知输入为地震子波b(t),要求设计一个滤波器a(t),使 得滤波后的实际输出c(t)=a(t)b(t)与期望输出—一个窄脉冲 d(t)在最小平方意义下最接近,即选取适当的a(t)使实际输出 c(t)与期望输出d(t)的误差平方和Q为最小.
由于大地滤波器的作用，子波的高频成分损失，脉冲频谱变窄，从而
使激发时产生的尖脉冲经过大滤波后其延续时间加大了。这样一来， 地震记录就变成了若干子波叠加的结果。即地震记录等于地震子波与 反射系数的褶积：
x(t) = b(t) (t) 在实际生产中往往会有一些噪声产生，因此地震记录还应包括干扰 波n(t) x(t) = b(t) (t) + n(t) 其结果是一复杂的记录形式。
再变换到时间域,有:
(t) = a(t)x(t)= a(t)b(t)(t) 其中, a(t)是A()的时间函数,且存在 a(t)b(t)=(t),也即: A() · B()=1
因为b(t)是地震子波, a(t)和b(t)之间又存在频谱互为倒
数的关系,所以人们把a(t)称为反子波,又叫做反滤波因子 (deconvolution operator)
第2-2节
反子波(子波反褶积)
注意到此我们已引入了4个假设条件: 假设条件1:地震波是在水平层状介质中传播的;
假设条件2:只考虑垂直反射的反射纵波;
假设条件3:地震子波在传播过程中保持波形不变(即是时
不变的);
假设条件4:噪声n(t)=0;
子波反褶积:已知子波b(t)求反子波a(t),再用反子波
第2-4节 最小平方(反)滤波
最小平方反滤波是地震勘探中最常用的一类反滤波方法,是维纳在1947年
最先提出来的,所以又叫做维纳(反)滤波.他是以这样的最佳准则来设计 (反)滤波器的:使(反)滤波器的实际输出与期望输出的误
差平方和为最小(即在最小平方意义下使误差能量达 到最佳)—因此又叫作最佳维纳滤波.只要我们根据实际需要改变
1.直接观测法
只适用于海上地震勘探,且还应是海水存在明显的分层. 另外,海上勘探还可以通过设在空气枪.电火花等震源附近的震源检波器直接接收 震源子波;
2.自相关法
适用于陆上勘探但要求地震记录1)所含子波是最小相位的或零相位的;2)反射系数 是白噪声的;3)所截取的记录段信噪比较高;
3.多项式求根法
第2-1节 反滤波的概念
一、为什么要进行反滤波？
理想地震记录就应是一系列反射脉冲的叠加.其中每一个脉冲
代表地下存在一个反射界面,整个反射系数序列就表示地下的 一套地层.这种理想的地震记录,可以表示为: x(t)=N0•(t)
由于震源爆炸是岩石破坏圈 和岩石塑性圈的作用， 使得震源发出的尖脉冲 到达弹性区时变成了一 个具有一定延续时间的 稳定波形b（t）（通常 称为地震子波）。地层 对震源脉冲的改造作用 就相当于一个滤波器， 通常叫做大地滤波器
在反射系数序列是白噪序列的假设条件下,可以用记录自(互)相关代替子
波自(互)相关,
xx(-s)a() = zx(s)
5.对数分解法
克服了上述方法所提出的各种假设,也不需要有井资料,一时间成了新方法, 但后来人们发现,它存在一个致命弱点—要求子波和反射系数的对数谱 序列在时间轴上截然分离(这在实际中是不容易实现的),且,也要求信噪 比较高. 综上所述,各种子波求取方法都有局限性,所以,在实际生产中还必须研究直 接利用地震记录求取反滤波因子的方法.
最小平方法的基本思想: 已知子波,现要找一个二项的反滤波因子,使得该滤波器的实际 输出与期望输出之间的误差平方和为最小——这种使实际输出
与期望输出之间的误差在最小平方意义下达到最小的反滤波方法就叫做 最小平方反滤波法,利用此法求出的反子波,就叫做最小平方反子波. 数例说明
本节小结 子波反褶积,要求已知子波的反褶积方法;
确定性方法—要求知道地震子波
存在问题: 子波一般很难准确确定;
子波的截取问题
统计方法不要求已知子波,但通常都只能在某些假设条件下求得最佳反滤波因子, 一旦条件不被满足,则达不到好的效果.
.
a)声波测井曲线;b)从a推出的反射系数序列;c)对b做了深-时转换后的反射系数 序列;d)包含一次反射波c和多次波的脉冲应;e)d和子波褶积后获得的合成地震记 录.一维地震模型(正演),意味着从a)得到e;反褶积,从e产生d;而一维反演则意味 着从d的到c.在a和b上识别出对应于c图上0.5秒处的大脉冲.脉冲响应d是一次反 射波c和各类多次波的组合
例1
b’(n)={-0.5,1} a’(n)=-(2)nu(n) N=2, a’2(n)={-2,-4},c’2(n)={1,0,-4} E’2(n)=16 N=3,a’3(n)={-2,-4,-8}, C’3(n)={1,0,0,-8} E’3(n)=64 N=4,E’4(n)=256 •••
相同的期望输出，相同的计算步骤,获得的结果却截然不同,
原因就在于给出的子波形状不同(也即其相位不同).很显然, 在期望输出为零延迟的尖脉冲时，只有当子波是最小相位 时,其反子波才是衰减序列,其截断序列才能近似等于其本 身,最后的反滤波效果才会好,而且截断项数越多,效果越好; 若子波是最大相位的,其反子波是一发散序列,随着截断的 项数增加,反滤波效果越来越差.
由此可见,要想子波反褶积效果好,还必须要求子波是最
小相位的.
通过例子可以知道Z变换 法求取反子波,不光要 求子波已知,而且还要 求子波必须是最小相 位的,否则,不可能获得 好的反滤波结果;在满 足上述假设条件的前 提下,截取的反子波长 度越长,效果越好,当然 计算时间也就越长.
二.最小平方法(Least Square LS法) 引入该方法的原因:Z变换法虽然简单,但实际计算并不容易,特别是现实生产 中的地震子波往往都不只是两点序列,这样我们要能很快从一个较复杂的 Z变换多项式推出其反变换是很不容易的,所以必须引入新的方法.
最后推出方程:
bb(-s)a() = db(s)
(s=0,1,2,,m) (2-64)
这就是所谓的维纳滤波方程,也叫做最小平方(反)滤波方程 ----基本方程
由于方程两边的系数都只与子波的相关函数有关,而不直接与子 波相关联,所以可以利用某些假设条件从地震记录本身求出相 关函数,而不必需要已知子波,这样对我们求反滤波是一重大 突破,免去了求取子波的麻烦.
滤波过程的作用相反,所以就叫做反滤波.
由于滤波和反滤波在数学上都是通过褶积来实现的,所以,又可以把
反滤波叫做反褶积(deconvolution)
三.地震勘探中的反滤波方法 由上述讨论可以知道,研究反滤波,就是研究如何设计一个反滤波器来抵消
大地滤波器的作用,通常有两类方法:确定性方法和统计方法.