23.1.1 第2课时 正弦与余弦 ---同步课时作业 2021-2022学年沪科版数学九年级上

第2课时正弦与余弦
知识点1正弦
1.如图17所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,则sin B的值是()
图17
A.2
3B.3
5
C.3
4
D.4
5
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,则sin B的值为()
A.3
5B.4
5
C.3
7
D.3
4
3.如图18,P是锐角α的边OA上一点,且点P的坐标为(3,4),则sinα等于()
图18
A.3
5B.4
5
C.3
4
D.4
3
4.[2020·安徽模拟]在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=3
5
,BC=6,则AB的长为()
A.4
B.6
C.8
D.10
5.如图19,已知在△ABC中,∠B=90°,tan A=1
3
,BC=2.
(1)求AB的长;
(2)求sin A的值.
图19
知识点2余弦
6.如图20,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=5,AB=13,那么cos A的值为()
图20
A.5
13B.12
13
C.12
5
D.5
12
7.[2019·桐城期末]在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,则cos B的值等于()
A.3
5B.4
5
C.4
3
D.3
4
8.在△ABC中,若三边BC,CA,AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13,则cos B等于()
A.5
12B.12
5
C.5
13
D.12
13
9.[教材练习第6题变式]如图21,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,tan A=4
3
,求sin A,cos A的值.
图21
知识点3三角函数的定义
10.在Rt△ABC中,∠C为直角,AC=5,BC=12,那么下列关于∠A的三角函数值中正确的是()
A.sin A=5
13B.cos A=12
13
C.tan A=13
12D.1
tanA
=5
12
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知AC=3,BC=6,分别求∠A的各个三角函数值.
12.如图22,A为锐角α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosα的值,错误的是()
图22
A.BD
BC B.BC
AB
C.AD
AC
D.CD
AC
13.把锐角三角形ABC三边的长度都缩小为原来的1
5
得到△A'B'C',则下列关于∠A的对应角∠A'的说法,正确的是()
A.各个三角函数值不变
B.各三角函数中仅有正切不变
C.正弦值缩小为原来的1
5D.余弦值缩小为原来的1
5
14.[2019·马鞍山期末]△ABC在网格中的位置如图23所示(每个小正方形的边长均为1),AD⊥BC于点D,下列四个选项中,错误的是()
图23
A.sinα=cosα
B.tan C=2
C.sinβ=cosβ
D.tanα=1
15.[2019·杭州]在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C=.
16.[教材例3变式]如图24,正比例函数与反比例函数y=12
x
的图象在第一象限内交于点P(3,m),若OP与x轴正方向的夹角为α,求α的各个三角函数值.
图24
17.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=12
13
,求cos A,sin B和tan A的值.
18.如图25,在△ABC中,AD⊥BC于点D,如果AD=9,CD=3,E为AC的中点,求∠ADE和∠EDC 的正弦值.
图25
19.[2020·南充]如图26,点A,B,C均在正方形网格的格点上,则sin∠BAC的值为()
图26
A.√2
6B.√26
26
C.√26
13
D.√13
13
教师详解详析
1.D
2.A [解析] ∵∠C=90°,BC=4,AC=3, ∴AB=5,∴sin B=AC AB =3
5.
故选A .
3.B [解析] 要求sin α的大小,需知道直角三角形中锐角α所对的直角边和斜边的大小.由点的坐标的定义,得锐角α所对直角边的长是4,邻边长是3,再由勾股定理求出斜边长,即OP=√32+42=5,所以sin α=4
5.故选B . 4.D
5.解:(1)∵tan A=BC AB =1
3,∴AB=3BC=6.
(2)在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=6,BC=2,∴AC=√62+22=2√10, ∴sin A=BC
AC =2√
10=√10
10
. 6.A
7.A [解析] ∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,AC=4,∴BC=√52-42=3,∴cos B=BC AB =3
5.故选A .
8.C [解析] 根据△ABC 的三边满足BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13,可知△ABC 是直角三角形,再由三角函数的概念,得cos B=BC
AB =5
13.故选C .
9.[解析] 根据∠A 的正切值和AC 的长度求出BC 的长度,再根据勾股定理求出AB 的长度,然后根据正弦与余弦的定义分别求出sin A 和cos A 的值. 解:∵tan A=BC AC =4
3,AC=9, ∴BC=4
3
AC=43
×9=12,
∴AB=√AC 2+BC 2=√92+122=15. ∴sin A=BC AB =1215=4
5,cos A=AC
AB =9
15=3
5. 10.D
11.解:∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=6, ∴AB=√AC 2+BC 2=√32+62=3√5. 故sin A=BC
AB =3√5=
2√55
,
cos A=AC AB =
3√5=√5
5
,
tan A=BC AC =6
3=2.
12.C [解析] 因为AC ⊥BC ,CD ⊥AB ,所以∠B+∠BAC=∠ACD+∠BAC=90°,所以∠B=∠ACD=α,即cos α=BD BC =BC AB =CD AC
.
故选C .
13.A [解析] 缩小后的△A'B'C'与△ABC 相似,则∠A 的度数不变,即∠A'=∠A ,故∠A'的各个三角函数值不变.
14.C [解析] 由题意可知BD=AD=2,AB=2√2,CD=1,AC=√5,∴sin α=cos α=√2
2
,故选项A 正确;tan C=AD
CD =2,故选项B 正确;tan α=1,故选项D 正确;∵sin β=CD AC =√5
5,cos β=AD AC =2√5
5,∴sin β≠cos β,
故选项C 错误.故选C . 15.
√32或2√55
[解析] 若∠B=90°,设AB=x ,则AC=2x ,所以BC=√(2x )2-x 2=√3x ,所以
cos C=BC AC =√3x 2x
=√3
2;若∠A=90°,设AB=x ,则AC=2x ,所以BC=√(2x )2+x 2=√5x ,所以
cos C=AC
BC =
√5x
=
2√55
.综上所述,cos C 的值为√32
或2√55
.
16.解:过点P 作x 轴的垂线,垂足为A. 把x=3代入反比例函数y=12
x 的表达式中, 求出y=4,∴OA=3,P A=4. 根据勾股定理,得OP=5. ∴sin α=4
5,cos α=3
5,tan α=4
3.
17.解:设∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c. ∵sin A=a c =1213,
∴设a=12k ,c=13k ,则b=√c 2-a 2=5k , ∴cos A=b
c =5k
13k =5
13,sin B=b
c =5
13,tan A=a b =12k 5k =12
5.
18.解:在Rt △ACD 中,AC=√AD 2+CD 2=√92+32=3√10. ∵DE 是Rt △ACD 中斜边AC 上的中线, ∴AE=DE=CE ,
∴∠ADE=∠CAD ,∠EDC=∠C ,
∴sin ∠ADE=sin ∠CAD=CD AC =3
√
10=√1010
,sin ∠EDC=sin C=AD AC =3√
10
=3√1010
.
19.B [解析] 如图,过点B 作BD ⊥AC 于点D ,则∠ADB=90°.设每个小正方形的边长均为1.根据勾股定理得AB=√22
+32=√13,易得
BD=√2
2,∴在
Rt △ABD 中,sin ∠BAC=BD
AB =
√22
√
13=√26
26
.故选B .。