知识讲解高考总复习算法与程序框图 (1)

高考总复习：算法与程序框图
编稿：孙永钊审稿：张林娟
【考纲要求】
1.算法的含义、程序框图
（1）了解算法的含义，了解算法的思想；
（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环。

2.基本算法语句
理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。

【知识网络】
【考点梳理】
考点一、算法
1．算法的概念
（1）古代定义：指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。

（2）现代定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。

（3）应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。

2．算法的特征：
①指向性：能解决某一个或某一类问题；
②精确性：每一步操作的内容和顺序必须是明确的；算法的每一步都应当做到准确无误，从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确.“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.
③有限性：必须在有限步内结束并返回一个结果；算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.
④构造性：一个问题可以构造多个算法，算法有优劣之分。

3．算法的表示方法：
（1) 用自然语言表示算法: 优点是使用日常用语, 通俗易懂；缺点是文字冗长, 容易出现歧义；（2) 用程序框图表示算法：用图框表示各种操作，优点是直观形象, 易于理解。

要点诠释：泛泛地谈算法是没有意义的，算法一定以问题为载体。

考点二：程序框图
1. 程序框图的概念：
程序框图又称流程图，是最常用的一种表示法，它是描述计算机一步一步完成任务的图表，直观地描述程序执行的控制流程，最便于初学者掌握。

2.程序框图常用符号：图形符号名称含义
开始/结束
用于表示算法的开始与结束
框
输入/输出
用于表示数据的输入或结果的输出
框
处理框描述基本的操作功能，如“赋值”操作、数
学运算等
判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标
明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
流程线表示流程的路径和方向
连接点用于连接另一页或另一部分的框图
注释框框中内容是对某部分流程图做的解释说明
3.画程序框图的规则：
(1)使用标准的框图的符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
(3)除判断框图外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点。

判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；
(4)一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有几种不同的结果；
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

4.算法的三种基本逻辑结构：
（1)顺序结构：由若干个按从上到下的顺序依次进行的处理步骤（语句或框）组成。

这是任何一个算法都离不开的基本结构。

（2)条件结构：算法流程中通过对一些条件的判断，根据条件是否成立而取不同的分支
流向的结构。

它是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。

（3)循环结构：根据指定条件，决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为循环结构。

考点三：基本算法语句
程序设计语言由一些有特定含义的程序语句构成，与算法程序框图的三种基本结构相对应，任何程序设计语言都包含输入输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句。

以下均为BASIC语言。

1.输入语句
这个语句的一般格式是：INPUT “提示内容”；变量
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。

每次运行程序时，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。

INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：
INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
要点诠释：
①“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。

②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开，但最后的变量的后面不需要。

2.输出语句
它的一般格式是：PRINT “提示内容”；表达式
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。

输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息；
（2）输出数值计算的结果。

3.赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。

它的一般格式是：变量=表达式赋值语句中的“=”叫做赋值号。

赋值语句的作用：
先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值
等于表达式的值。

要点诠释：
①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。

如：2=X是错误的。

②赋值号左右不能对换。

如“A=B”与“B=A”的含义运行结果是不同的。

③不能利用赋值语句进行代数式的演算。

（如化简、因式分解、解方程等）。

④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

4.条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。

它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE格式）
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。

在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF-THEN格式）
IF 条件 THEN
语句
END IF
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。

要点诠释：条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。

需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。

5.循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。

对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构，即WHILE语句和
UNTIL语句。

（1）WHILE语句的一般格式是：
WHILE 条件
循环体
WEND
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。

WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。

当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。

这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。

因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。

（2）UNTIL语句的一般格式是：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
要点诠释：当型循环在进行循环前对控制条件进行判断，当条件满足时就反复循环，不满足就停止；直到型循环在进行一次循环后，对控制条件进行判断，当条件不满足时就反复循环，满足就停止。

1．算法与框图是新课标教材中新增的内容，但也曾与其它板块知识结合出现在前几年的各类考试中，其思想方法渗透在高中数学课程的其他相关内容中。

考题应考查算法的思想，基本结构为主，多以选择题、填空题的形式呈现。

2．根据本章知识的特点，复习中应加强对算法思想的理解，了解算法的基本逻辑结构，掌握算法基本语句的使用。

3．仔细审题．在画流程图时首先要进行结构的选择，套用公式．若求只含有一个关系的解析式的函数的函数值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断后才能执行后继步骤的，就必须引入选择结构；如果问题里涉及了许多重复的步骤，且数之间有相同的规律，就可引入变量，应用循环结构．当然应用循环结构里边一定要用到顺序结构与选择结构．循环结构有两种：直到型和当型，两种都能解决问题．
【典型例题】
类型一：算法的含义
【例1】已知球的表面积是16π，要求球的体积，写出解决该问题的一个算法. 【思路点拨】先根据表面积算出球的半径，再根据球的体积公式求出球的体积，将上面步骤分解并分别写出即可得到算法。

【解析】算法如下： 第一步，s ＝16π. 第二步，计算4S R π
=
第三步，计算3
43
R V π=
第四步，输出V .
【总结升华】给出一个问题，设计算法应该注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法，此问题涉及到的各种情况； (2)将此问题分成若干个步骤； (3)用简练的语句将各步表述出来. 举一反三：
【变式1】设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法.图中给出程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是( )
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】当I ＜13成立时，只能运算 1×3×5×7×9×11.故选A.
【变式2】写出找出1至1 000内7的倍数的一个算法. 解答：算法1： S1 令A=0;
S2 将A 不断增加1，每加一次，就将A 除以7，若余数为0，则找 到了一个7的倍数，将其输出; S3 反复执行第二步，直到A=1 000结束. 算法2：
S ＝1
I ＝3
While I ＜ ① S ＝S ×I I ＝I ＋2 End While Print S End
S1 令k=1; S2 输出k ·7的值;
S3 将k 的值增加1，若k ·7的值小于1 000，则返回S2，否则结束. 算法3： S1 令x=7; S2 输出x 的值;
S3 将x 的值增加7，若没有超过1 000，则返回S2，否则结束. 类型二：程序框图
【例2】写出解方程0ax b +=（a b R ∈、）的相应程序及程序框图。

【思路点拨】因为a b R ∈、，解方程0ax b +=时需要先对最高次项的系数a 是否为0进行判断。

若0a ≠，则方程的解为b x a
=-
； 若0a =，则需要再次判断b 是否为0， 若0b =，则方程的解为全体实数， 若0b ≠，则方程无实数解。

据此可以用条件语句来实现。

【解析】程序： INPUT “a,b=”；a,b IF a<>=0 THEN
PRINT “原方程的根为”；x ELSE
IF b<>=0 THEN PRINT “方程无实数根” ELSE
PRINT “方程的根为全体实数” END IF END IF END 程序框图：
【总结升华】在写出算法时，应当对所要解决的问题有深入、全面的了解；条件分支结构的运用与分类讨论的数学思想密切相连；设计算法时，什么地方要进行分类讨论，什么地方就要用条件分支结构。

举一反三：
【变式1】写出用二分法求函数()y f x =在区间[1,2]的零点（精确到0.01）的程序框图及相应程序。

【解析】 程序： a=1 b=2 DO
IF ()02
a b
f += THEN EXIT ELSE IF ()()02
a b
f a f +< THEN
ELSE 2
a b
a +=
输出2
a b +
END IF
LOOP UNTIL 0.01b a -< PRINT
2
a b
+ 程序框图：
【例3高清视频算法与程序框图例题2】执行如图所示的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( )
【思路点拨】 根据程序框图(算法流程图)分析出该程序框图的功能进行求解． 【总结升华】 识别运行算法框图和完善算法框图是高考的热点． 解答这一类问题，
第一，要明确算法框图的顺序结构、选择结构和循环结构； 第二，要识别运行算法框图，理解框图所解决的实际问题； 第三，按照题目的要求完成解答．对算法框图的考查常与数列和 函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景． 类型三：条件结构
【例3】已知函数2
23
(0)2
(0)
x x y x x ->⎧=⎨+≤⎩，写出求该函数的函数值的算法并画出程序
框图。

【思路解析】分析算法→写出算法→选择合适的逻辑结构→画出程序框图。

开
结
2
a b a +=
0.01
b a -<1,2
a b ==()0
2
a b f +=是
2
a b +输出
()(
)02
a b
f a f +<否
2
a b b +=
是
否
是
否
【解析】算法如下： 第一步：输入x ；
第二步：如果(0)x >，那么使23y x =-， 否则2
2y x =+； 第三步：输出y 。

程序框图如下：
【总结升华】求分段函数值的算法应用到条件结构，因此在程序框图的画法中需要引入判断框，要根据题目的要求引入判断框的个数，而判断框内的条件不同，对应的框图中的内容或操作就相应地进行变化.
举一反三：
【变式1】阅读如图的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写( ) A.i ＜3？ B.i ＜4？ C.i ＜5？ D.i ＜6？
【解析】i ＝1，s ＝2－1＝1； i ＝3，s ＝1－3＝－2；
i ＝5，s ＝－2－5＝－7.所以选D.
【变式2】写出解方程2
0ax x b ++=的一个算法，并画出程序框图。

【解析】 算法步骤：
第一步：判断a 是否等于0 如果0a =，则解得x b =-； 如果0a ≠，则执行第二步； 第二步：计算14ab ∆=-；
第三步：若0∆<，则原方程无实数根；否则，0∆≥，有11x --∆=21x -+∆
=； 第四步：输出方程无实数根的信息或1x 、2x 。

程序框图：
类型四：循环结构
【例4】设计算法求111112233499100
++++⨯⨯⨯⨯的值，并画出程序框图。

【思路点拨】（1）这是一个累加求和问题，共99项相加；
（2）设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法。

【解析】算法如下：
第一步：令S=0，1;i =
第二步：若99i ≤成立，则执行第三步；
否则，输出S ，结束算法；
第三步：1;(1)
S S i i =++ 第四步：1i i =+，返回第二步。

程序框图：
方法一：当型循环程序框图：
方法二：直到型循环程序框图：
【总结升华】利用循环结构表示算法，一定要先确定是利用当型循环结构，还是直到型开
结
是 否
14ab ∆=-0∆<112x a --∆=212x a
-+∆
=a b
输入、0
a =x b
=-是 否 12x x 输出、x
输出输出“无实根”
循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环。

举一反三：
【变式】设计一个计算10个数的平均数的算法，并画出程序框图.
【解析】算法步骤如下：
第一步，令S ＝0.
第二步，令I ＝1.
第三步，输入一个数G .
第四步，令S ＝S ＋G.
第五步，令I ＝I ＋1.
第六步，若I ＞10，转到第七步，
若I ≤10，转到第三步.
第七步，令A ＝S/10.
第八步，输出A .
据上述算法步骤，程序框图如图.
类型五：输入、输出、赋值语句的应用
【例5】阅读程序框图(如下图)，若输入m ＝4，n ＝6，
则输出a
＝ ，i ＝ .
【解析】a ＝12，i ＝3.
【点拨】赋值语句是一种重要的基本语句，也是程序必不可少的重要组成部分，使用赋值语句，要注意其格式要求.
【例6】阅读下列程序，并回答问题．
（1）程序 （2）程序
（1）中若输入1，2，则输出的结果为
________； （2）中若输入3，2，5，则输出的结果为________． 【答案】（1）1，―2，―1（2）C=―3 【解析】 分别将输入的值代入程序中逐步计算即可，要注意赋值前后变量值的变化． （1）阅读程序，由a=1，b=2，c=a ―b 可得c=―1；又根据语句b=a+c ―b ，可得b=―2； 所以程序运行后的结果为：1，―2，―1．
（2）阅读程序，由A=3，B=2，C=5，A=A+B ，可得A=5， INPUT a ，b
c=a ―b b=a+c ―b PRINT a ，b ，
c INPUT A ，B ，C A=A+B B=B －A C=C ／A*B PRINT “C=”
；C
又根据语句B=B ―A ，可得B=―3，
又C=C ／A*B ，所以输出结果为C=―3．
【点评】赋值语句在给变量赋值时，先计算赋值号右边的式子然后赋值给赋值号左边的变量；另外可以给一个变量先后多次赋不同的值，但变量的取值只与最后一次赋值有关．解决此类问题时要时刻把握某个变量在该程序中充当的角色，时刻关注其值的改变情况． 举一反三：
【变式】写出下列语句描述的算法的输出结果．
（1） （2） （3） 【答案】（1）16 （2）a=1 b=2 c=3（3）a=20 b=30 c=20 【解析】 （1）∵a=5，b=3，42a b c +==，∴d=c 2=16． （2）∵a=1，b=2，c=a+b ，∴c=3．又将a+c ―b 赋值给b ，∴b=1+3－2=2． （3）由b=20及a=b 知a=20，由c=30及b=c 知b=30，由a=30及c=a 知c=20． 类型五：循环语句的应用 【例6】设计算法求112⨯＋123⨯＋134⨯＋…＋199100
⨯的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序.
【解析】这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法.程序框图如下图所示：
程序如下：
s ＝0
k ＝1
DO
s ＝s ＋1/(k* (k ＋1))
k ＝k ＋1
LOOP UNTIL k ＞99
PRINT s
END
语句编写程序解决问题时，一定要注意格式和条件的表述方法，WHILE 语句是当条件满足时执行循环体，UNTIL 语句是当条件不满足时执行循环体.
(2)在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和、累乘求积等问题中应注意考虑利用循环语句来实现.
(3)在循环语句中，也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套的这些a=5 b=3 c=(a+b)/2 d=c*c PRINT “d=”；d a=1 b=2 c=a+b b=a+c ―b PRINT “a=，b=，c=”；a ，b ，c a=10 b=20 c=30 a=b b=c c=a
PRINT “a=，b=，c=”；a ，b ，
语句，保证语句的完整性，否则就会造成程序无法执行.
举一反三：
【变式】下图是输出某个有限数列各项的程序框图，则该框图所输出的最后一个数据是.
【解析】由程序框图可知，当N＝1时，A＝1；N＝2时，A＝1
3
；N＝3时，A＝
1
5
，…，
即输出各个A值的分母是以1为首项以2为公差的等差数列，故当N＝50时，A＝
1
1(501)2 +-⨯＝
1
99
，即为框图最后输出的一个数据.故填
1
99
.
类型五：求最大公约数
【例7】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数；
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.
【解析】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数：
1 764＝840×2＋84，
840＝84×10＋0.
所以840与1 764的最大公约数是84.
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数：
556－440＝116，
440－116＝324，
324－116＝208，
208－116＝92，
116－92＝24，
92－24＝68，
68－24＝44，
44－24＝20，
24－20＝4，
20－4＝16，
16－4＝12，
12－4＝8，
8－4＝4.
所以440与556的最大公约数是4.
【总结升华】(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法用较大的数除以较小的数，直到大数被小数除尽结束运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是用两数中较大的数减去较小的数，直到所得的差和较小数相等为止，这个
较小数就是这两个数的最大公约数.一般情况下，辗转相除法步骤较少，而更相减损术步骤较多，但运算简易，解题时要灵活运用.
(2)两个以上的数求最大公约数，先求其中两个数的最大公约数，再用所得的公约数与其他各数求最大公约数即可.
举一反三：
【变1】求147,343,133的最大公约数.
【解析】先求147与343的最大公约数.
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98，
98－49＝49，
所以147与343的最大公约数为49.
再求49与133的最大公约数.
133－49＝84，
84－49＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7.
所以147,343,133的最大公约数为7.
类型六：秦九韶算法
【例8】用秦九韶算法写出求多项式f (x )＝1＋x ＋0.5x 2＋0.016 67x 3＋0.041 67x 4＋0.008 33x 5在x ＝－0.2时的值的过程.
【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．
（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++．
（2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++
++0．当x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ．
【解析】先把函数整理成f (x )＝((((0.008 33x ＋0.041 67)x ＋0.166 67)x ＋0.5)x ＋1)x ＋1， 按照从内向外的顺序依次进行.
x ＝－0.2，
a 5＝0.008 33，
v 0＝a 5＝0.008 33； a 4＝0.041 67，
v 1＝v 0x ＋a 4＝0.04； a 3＝0.016 67，
v 2＝v 1x ＋a 3＝0.008 67； a 2＝0.5，
v 3＝v 2x ＋a 2＝0.498 27； a 1＝1，
v 4＝v 3x ＋a 1＝0.900 35； a 0＝1， v 5＝v 4x ＋a 0＝0.819 93；
所以f (－0.2)＝0.819 93.
【总结升华】秦九韶算法是多项式求值的最优算法，特点是：
(1)将高次多项式的求值化为一次多项式求值；
(2)减少运算次数，提高效率；
(3)步骤重复实施，能用计算机操作.
秦九韶算法的原理是
01(1,2,3,,)n
k k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩．
在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心． 举一反三：
【变式】用秦九韶算法计算多项式65432()654327f x x x x x x x =++++++在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（ ）
A ．10
B ．9
C ．12
D ．8
【答案】 C
【解析】()(((((65)4)3)2)1)7f x x x x x x x =++++++．
∴加法6次，乘法6次，
∴6+6=12（次），故选C ．
类型七：进位制
【例9】（1）试把十进制数136转化为二进制数；
（2）试把十进制数1 234转化为七进制数．
【思路点拨】将k 进制数转换为十进制数，关键是先写成幂的积的形式再求和，将十进制数转换为k 进制数，用“除k 取余法”，余数的书写是由下往上，顺序不能颠倒，k 进制化
为m 进制(k ，m ≠10)，可以用十进制过渡
【解析】（1）由于136=2×68+0，
68=2×34+0．
34=2×17+0．
17=2×8+1．
8=2×4+0．
4=2×2+0．
2=2×1+0．
1=2×0+1．
所以136=（2）．
（2）1234=7×176+2，
176=7×25+1．
25=7×3+4．
3=7×0+3．
所以1234=3412（7）．
【总结升华】（1）应注意搞清每一次除法中的被除数、除数，当商为零时停止除法，把每步所得的余数倒着排成一个数，就是相应的二进制数．
（2）十进制数转化为七进制数与转化为二进制数的方法类似，要认真体会其原理． 举一反三：
【变式1】把十进制数89化为三进制数.
【解析】具体的计算方法如下：
89＝3×29＋2，
29＝3×9＋2，
9＝3×3＋0，
3＝3×1＋0，
1＝3×0＋1，
所以89(10)＝10 022(3).
【变式2】在十进制中，0123
2004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在五进制中数码2 004折合成十进制为（ ）
A ．29
B ．254
C ．602
D ．2 004
【答案】B
【解析】0123
200445050525254=⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B ．。