基金使用计划

建模实例：基金使用计划模型
某校基金会有一笔数额为M 元的基金, 打算将其存入银行或购买国库券. 当前银行存款及各期国库券的利率见表3-17. 假设国库券每年至少发行一次, 发行时间不定. 取款政策参考银行的现行政策.
校基金会计划在n 年内每年用部分本息奖励优秀师生, 要求每年的奖金额大致相同, 且在n 年末仍保留原基金数额. 校基金会希望获得最正确的基金使用计划, 以提高每年的奖金额. 请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案, 并对M = 5000万元, n = 10年给出具体结果：
① 只存款不购国库券； ② 可存款也可购国库券；
③ 学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆, 基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%.
表 3-17
摘要
本文研究了关于基金使用计划的问题，主要目的在于设计资金的合理安排方法，实现在一定条件下，使用有限的资金合理投资，到达最大的利润。

并且我们建立了相应的数学模型对该问题进行分析求解。

对于第一问，我们在不影响奖学金发放的情况下，对利率较小的银行存款进行排除，对每年的资金来源进行分析，列出所有可能发生的情况，然后建立一个线性方程组，求出最大奖学金额度，方程组如下：
,1,2,3,5i i i i i S x x x x =+++
1,1(1)(1)
i i W r x A
i =+⨯-=
1,121,2(1)(12)(2)
i i i W r x r x A
i -=+⨯++⨯-=
1,121,232,3
(1)(12)(13)(3,4)
i i i i W r x r x r x i --=+⨯++⨯++⨯=
1,121,232,354,5(1)(12)(13)(15)(5,6,7,8,9,10)
i i i i i W r x r x r x r x A
i ---=+⨯++⨯++⨯++⨯-=
使用
Lingo软件对其进行编程求解，最后的得出最大奖学金额数为109.8169()
Z=万元。

然而对于第二问，情况与第一问相似，但是又存在不同点，校方允许了购买国库券这种投资方式。

经过分析发现，由于国库券的发行不稳定，会产生三种不同的情况。

所以我们对这三种情况分别进行分析，运用第一题的思路，根据题目要求同样建立了一个线性方程组〔具体方程组见下文〕。

同样也是使用
Lingo软件对其进行编程求解。

最后得出在第一种情况下，校方每年能够
发放的最大奖学金额数为
146.8578()
Z=万元；而第二种方案的最大奖学金额数为
127.5222()
Z=万元；最后第三种方案的最大奖学金额数为131.7896()
Z=万元第三问比较简单，校方要求第三年的奖金能够多出20%，但是因为没有规定是只存款不购国库券还是可存款也可购国库券，所以又要分成两个情况去讨论。

我们对第一问和第二问中的方程组加以改良〔改良方案见下文〕，将方程组中第三年支出的奖金额数上调20%，就能够得到满意的答案。

最后，还是通过使用
Lingo软件对其进行编程求解，在第一种情况下，得出的最大奖学
金额数为
107.5524()
Z=万元，而第三年百年校庆时的奖学金为129.0629()
Z=万元；而
在第二种情况下，得出的最大奖学金额数为
124.8507()
Z=万元，而第三年百年校庆时的
奖学金为
149.8208() Z=万元。

关键词：线性方程组
Lingo求解最优化方案
⑴问题的重述
某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。

当前银行存款及各期国库券的利率见下表。

假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。

取款政策参考银行的现行政策。

校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。

校基金会希望获得最正确的基金使用计划，以提高每年的奖金额。

请你帮助校基金会在如下的情况下设计出基金的最合理的使用方案，并且对于500010
M n
==
万元，年给出具体结果：
1、只存款不购国库券；
2、可存款也可购国库券。

3、学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。

⑵基本假设
假设学校基金在第一年初到位；
假设学校每年发放奖金的时间都是在每年末；
假设通货膨胀率忽略不计；
假设每次都能按需购买到国库券；
假设银行储蓄年利率和国库券年利率在十年内基本不变；
假设国库券每次发行都有二年期、三年期、五年期.
⑶符号说明
M表示基金数；A表示每年发放的奖金额；
x i0表示第i年用于活期存款的资金；r0表示活期存款的税后年利率；
x i1表示第i年用于半年期存款的资金；r1表示半年期存款的税后年利率；
x i2表示第i年用于一年期存款的资金；r2表示一年期存款的税后年利率；
x i3表示第i年用于二年期存款的资金；r3表示二年期存款的税后年利率；
x i4表示第i年用于三年期存款的资金；r4表示三年期存款的税后年利率；
x i5表示第i年用于五年期存款的资金；r5表示五年期存款的税后年利率；
y i1表示第i年用于购买二年期国库券的资金；R1表示二年期国库券的年利率；
y i2表示第i年用于购买三年期国库券的资金；R2表示三年期国库券的年利率；
y i3表示第i年用于购买五年期国库券的资金；R3表示五年期国库券的年利率；
其余符号在文中直接说明.
⑷银行法规和国库券政策说明
根据1992年国务院颁发的《储蓄管理条例》和《国库券条例》有以下规定：
①我国现行储蓄存款利息计算一般是以单利计算；
②半年活期按180天计算；
③未到期的定期储蓄存款, 全部提前支取的, 按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息；部分提前支取的, 提前支取部分按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息, 其余部分到期时按存单开户日挂牌公告的定期储蓄存款利率计付利息．
④国库券按期归还本金．国库券利息在归还本金时一次付给, 不计复利．
⑸模型分析, 建立与求解
由于问题要求在每年得到的奖金额尽量多, 因此我们在进行投资时应遵循一个基本原则：尽量选择利息率高的投资方式.
模型Ⅰ：只存款不购买国库券的投资模型
分析：①由于只需在每年末发放奖金, 根据基本原则, 可以不考虑活期存款和半年期存款．②每年末回收的资金可以分成两部分, 一部分用于发放该年的奖金, 另一部分用于第二年的投资．依次下去, 直到第n年末, 回收的资金除去所发该年的奖金外, 刚好等于最初的基金M .
记
X ( i ) = x i2 + x i3 + x i4 + x i5 , i = 1, 2, … , n.
W ( i )= (1 + r2) x( i-1) , 2 + (1 + 2 r3) x( i-2) , 3 + (1 + 3 r4) x( i-3) , 4 + (1 + 5 r5) x( i-5) , 5- A.
假设每年发放的奖金额基本相等, 就可以建立问题①的线性规划模型：
max A,
X (1 )= M,
X (2 )= (1 + r2) x12- A,
X (3 ) = (1 + r2) x22 +(1 + 2 r3) x13- A,
X (4 ) = (1 + r2) x32 +(1 + 2 r3) x23 + (1 + 3 r4) x14- A,
X (5 )= (1 + r2) x42 +(1 + 2 r3) x33 + (1 + 3 r4) x24- A,
X (6)= W ( 6),
… … …
X ( i )= W ( i ),
… … …
X ( n - 4)= W (n - 4),
x( n-3) , 2 + x( n-3) , 3 + x( n-3) , 4 = W (n - 3),
x( n-2) , 2 + x( n-2) , 3 + x( n-2), 4 = W (n - 2),
x( n-1) , 2 + x( n-1), 3 = W (n - 1),
x n2 = W (n ),
W (n +1) = M.
x ij ≥0, A≥0.
当M = 5000万, n = 10年时, 代入模型Ⅰ, 利用数学软件lindo求解得：每年最高奖金额A为：109.817万元．投资方案如表3-18.
表3-18〔单位：万元〕
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i20 0 0 0 0 0 0 0 x i30 0 0 0 0 0 0 0 —x i40 0 0 0 0 0 0 ——x i5————〔“—”表示该年不能投资该种投资形式, 下同〕
模型Ⅱ：可存款也可购国库券的投资模型
分析：根据基本原则, 我们应优先考虑买国库券．〔对于国库券每年发行时间都在年初的特殊情况, 其求解模型类似模型Ⅰ, 在这里我们不作讨论．〕由于每年发行国库券的时间和
发行的次数不定〔每年至少发行一次〕, 为了不使用于购买国库券的那部分资金闲置, 我们设立如下的解决方案：
以二年期国库券为例：由于在年初投放资金时不能购买国库券, 我们先将购买国库券的资金全部用于半年期存款, 如果在该半年内发行了国库券, 我们就将资金全部取出购买国库券, 在国库券到期的那年将本息全部用于半年期存款, 到期后转入活期存款；如果在该半年内没有发行国库券, 我们将半年到期的自己全部用于活期存款, 用于购买下半年一定会发行的国库券, 国库券到期之后再全部转入活期存款．因此, 我们将其运转周期定为三年, 在这三年里, 不管国库券什么时候发行, 该部分资金一定有两年是用于存国库券, 有半年用于存半年期, 还有半年是存活期．即采用活期、半年期、国库券的“组合式”投资．同理, 三年期国库券, 五年期国库券的周期分别为四年, 六年．那么, 该部分资金在这几年里的收益为：
收益= 本金×(1 + 年数×国库券年利率)×(1 + 半年年利率÷2 ) ×(1 + 活期年利率÷2 )
记
X ( i ) = x i2 + x i3 + x i4 + x i5 , i = 1, 2, … , n.
W ( i )= (1 + r2) x( i-1) , 2 + (1 + 2 r3) x( i-2) , 3 + (1 + 3 r4) x( i-3) , 4 + (1 + 5 r5) x( i-5) , 5- A.
p1= (1 + 2R 1) (1 + r0/2) (1 + r1/2) = 1.06394,
p2= (1 + 3R 2) (1 + r0/2) (1 + r1/2) = 1.10008,
p3= (1 + 5R 5) (1 + r0/2) (1 + r1/2) = 1.17125.
资金的回收与再投资与模型Ⅰ相似, 可以建立问题②的线性规划模型：
max A,
X (1 )+ y11 + y12 + y13 = M,
X (2 )+ y21 + y22 + y23 = (1 + r2) x12- A,
X (3 ) + y31 + y32 + y33 = (1 + r2) x22 + (1 + 2 r3) x13- A,
X (4 ) + y41 + y42 + y43 = (1 + r2) x32 + (1 + 2 r3) x23 + (1 + 3 r4) x14 + p1 y11 - A,
X (5 )+ y51 + y52 + y53 = (1 + r2) x42 + (1 + 2 r3) x33 + (1 + 3 r4) x24 + p1 y21 + p2 y12- A,
X (6)+ y61 + y62 = W ( 6) + p1 y31 + p2 y22 ,
x72 + x73 + x74 + y71 + y72 = W ( 7) + p1 y41 + p2 y32 + p3 y13 ,
x82 + x83 + x84 + y81 = W ( 8) + p1 y51 + p2 y42 + p3 y23 ,
x92 + x93 = W ( 9) + p1 y61 + p2 y52 + p3 y33 ,
x10, 2 = W (10) + p1 y71 + p2 y62 + p3 y43 ,
W (11) + p1 y81 + p2 y72 + p3 y53 = M.
x ij ≥0, y ij ≥0, A≥0.
当M = 5000万时, 代入模型Ⅱ, 利用数学软件lindo求解得：每年奖金额A为：127.521万元．投资方案如表3-19.
表3-19〔单位：万元〕
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i20 0 0 0 0 0 0 0 x i30 0 0 0 0 0 0 0 —x i40 0 0 0 0 0 0 ——x i50 0 0 0 0 0 ————y i10 0 0 0 0 0 0 0 ——y i20 0 0 0 0 ———y i30 —————
在资金到位后第３年要举行百年校庆, 希望这一年的奖金额比其他年度多20%的投资方案分两种情况.
①在只存款不购国库券时, 利用模型Ⅰ解得：每年奖金额A为：107.552万元．投资方案如表3-120.
表3-20〔单位：万元〕
②在可存款也可购国库券时, 用模型Ⅱ解得：每年奖金额A为：124.849万元．投资方案如表3-21.
⑹模型优化
在上述两种模型中, 我们都认为每年年末所回收的资金全部用来投资和发奖金, 没有剩余．但在实际情况中, 每年年末用来投资和发放奖金的可能要比每年回收的资金少．因此, 可以将上述两个模型中的“=”改成“≤”用数学软件lindo解得另一组最优解：A = 109.817万元〔与模型Ⅰ结果相同〕投资方案如表3-22.
根据线性规划问题解的性质：假设有两组最优解, 设这两组最优解为x (1) 和x (2), 则对于任意λ (0≤λ≤1), x = λx (1) + (1 - λ )x (2)都为模型的最优解. 即说明模型有多种不同的投资方案.
现对模型Ⅰ在M = 5000万, n = 10年的情况下进行验证．当λ = 0.5时, 投资方案如表3-23.
表3-23〔单位：万元〕
将以上结果代入模型Ⅰ中检验, 结果与实际相符合, 说明该模型是可行的．
⑺模型Ⅱ的误差分析
关于年度中国库券实际发行有如下几种情况：
①年度中发行国库券, 之前和到期之后均以活期方式存储；
②上半年度中发行国库券, 之前存活期, 之后存半年期和活期；
③下半年度中发行国库券, 之前存半年期和活期, 之后存活期；
④恰好在年度中点发放国库券, 之前之后均存两个半年期．
显然, 模型Ⅱ所采用的“结合式”计息与实际发行的计息存在误差．假定该年预留给第i项国库券的资金为C, 分别考察前三种情况的收益p：
①p = C (1 + N i R i ) (1 + mr0/360) [1 + (360 -m ) r0/360].；
②p = C (1 + N i R i ) (1 + r1/2) (1 + mr0/360) [1 + (180 -m) r0/360].
③p = C (1 + N i R i ) (1 + r1/2) (1 + mr0/360) [1 + (180 -m) r0/360].
④p = C (1 + N i R i ) (1 + r1/2)2.
式中N i为期限(N1=2, N2 =3, N3 =5 ), m为天数. 经计算, 四种方式与模型Ⅱ所采用的计息方式的相对误差d≤0.0000039.
⑻对模型的评价和改良
本文所阐述的模型是以每年奖金额最大为目标的投资方案的优化, 它适用于制定某一定量的资金在n年内的投资计划．
模型建立运用线性规划的方法, 可理解性强, 应用广泛．
模型Ⅰ不仅适用于只存款不购买国库券的情况, 还适用于既存款又购买国库券的情况, 但它要求每次国库券购买时间都在年初．在这种情况下, 只需将存二年期、三年期、五年期存款的资金拿来买国库券即可．模型Ⅱ运用总体思维的方式将活期、半年期和国库券合起来看作一个整体进行投资, 防止了考虑国库券的发行时间不确定这个因素, 简化了模型的建立条件, 但该模型不适用于某一次国库券购买时间在年初和年度中点的情况, ．改良方向：可以将模型Ⅰ与模型Ⅱ综合起来, 建立一个动态的规划模型, 将该问题划分为假设干个互相联系的阶段, 在它的每一个阶段都需要做出决策, 并且在一个阶段的决策确定以后, 常影响下一个阶段的决策, 从而影响整个过程的决策．由于每个阶段有多种可供选择的决策, 因而就形成有许多策略可供我们选择, 对应于不同的策略会有不同的结果．在允许选择的策略中, 选择一个最优策略, 使在预定的条件下到达最好的效果．。