高三理科数学_培养优选练：中档大题分类练1 三角函数、解三角形

中档大题分类练(一) 三角函数、解三角形
(建议用时：60分钟)
一、解答题
1．(2018·河南省八市第一次测评)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，
C ，且满足cos B b ＝cos A ＋cos C a ＋c
. (1)求角B 的大小；
(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a cos C ＝(2b －c )cos A .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝2，D 为BC 的中点，AD ＝2，求△ABC 的面积．
3．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(sin C ，sin A )，且m ∥n .
(1)若cos A ＝12，b ＋c ＝6，求△ABC 的面积；
(2)求a b sin B 的取值范围．
4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足cos(A －B )＝2sin A sin B .
(1)判断△ABC 的形状；
(2)若a ＝3，c ＝6，CD 为角C 的平分线，求△BCD 的面积．
5．(2018·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， (b －c )(sin B ＋sin C )＝a (sin A －sin C )．
(1)求B 的值；
(2)若b＝3，求a＋c的最大值．
6.如图43，在△ABC中，AB＝2，cos B＝1
3，点D在线段BC上．
图43
(1)若∠ADC＝3
4π，求AD的长；
(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为4
32，求
sin∠BAD
sin∠CAD
的值．习题答案
1.答案：见解析
解析：(1)由cos B b ＝cos A ＋cos C a ＋c 及正弦定理得cos B sin B ＝cos A ＋cos C sin A ＋sin C
. 所以sin B cos A －cos B sin A ＝cos B sin C －sin B cos C ，即sin(B －A )＝sin(C －B )．所以B －A ＝C －B 或B －A ＋C －B ＝π(舍)．
所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.
(2)由b ＝2，B ＝π3及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥ac ，
得ac ≤4，所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×sin π3＝3，当且仅当a ＝c ＝2等号成立．
所以△ABC 面积的最大值为 3.
2. 答案：见解析
解析：(1)∵a cos C ＝(2b －c )cos A ，
∴sin A cos C ＝2sin B cos A －sin C cos A ，
∴sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos A ，
∴sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，
又A ＋B ＋C ＝π，
∴sin B ＝2sin B cos A ，sin B ＞0，
∴cos A ＝12，A ∈(0，π)，
∴A ＝π3.
(2)∵∠ADB ＋∠ADC ＝π，
∴cos ∠ADC ＋cos ∠ADB ＝0，
∴1＋4－b 24＋1＋4－c 24
＝0， ∴b 2＋c 2＝10，
又b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，b 2＋c 2－bc ＝4，
∴bc ＝6，∴S ＝12bc sin A ＝12×6×32＝332.
3. 答案：见解析
解析： 因为m ∥n ，所以sin 2 A ＝sin B sin C ，结合正弦定理可得a 2＝bc .
(1)因为cos A ＝12，所以b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即(b ＋c )2－3bc 2bc
＝12，解得bc ＝9. 从而△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝12×9×32＝934，故△ABC 的面积为934. (2)因为a 2
＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时，取等号)．
因为0<A <π，所以角A 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3. 由正弦定理，知0<a b sin B ＝sin A ≤32，所以a b sin B 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤0，32. 4. 答案：见解析
解析： (1)由cos(A －B )＝2sin A sin B ，得
cos A cos B ＋sin A sin B ＝2sin A sin B ，
∴cos A cos B －sin A sin B ＝0，∴cos(A ＋B )＝0， ∴C ＝90°， 故△ABC 为直角三角形．
(2)由(1)知C ＝90°，又a ＝3，c ＝6，
∴b ＝c 2－a 2＝33，A ＝30°，∠ADC ＝105°，
由正弦定理得CD sin A ＝AC sin ∠ADC
， ∴CD ＝33sin 105°×sin 30° ＝336＋24
×12
＝92－362， ∴S ＝12·CD ·a ·sin ∠BCD
＝12·92－362·3·sin π4＝27－934
. 5. 答案：见解析
解析： (1)在△ABC 中，
由正弦定理得，
(b －c )(b ＋c )＝a (a －c )，
即b 2＝a 2＋c 2－ac ，
由余弦定理，
得cos B ＝a 2＋c 2
－b 22ac ＝12，
∵B ∈(0，π)，
∴B ＝π3；
(2)由(1)知9＝a 2＋c 2－ac
＝(a ＋c )2－3ac ，
于是，(a ＋c )2－93＝ac ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22
，
解得a ＋c ≤6，当且仅当a ＝c ＝3时，取等号． 所以a ＋c 的最大值为6.
6. 答案：见解析
解析：(1)在三角形中，∵cos B ＝13，∴sin B ＝22
3.
在△ABD 中，AB
sin ∠ADB ＝AD
sin B ，
又AB ＝2，∠ADB ＝π4，sin B ＝223，∴AD ＝8
3.
(2)∵BD ＝2DC ，∴S △ABD ＝2S △ADC ，S △ABC ＝3S △ADC ， 又S △ADC ＝4
32，∴S △ABC ＝4 2.
∵S △ABC ＝1
2AB ·BC sin ∠ABC ，∴BC ＝6.
∵S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝1
2AC ·AD sin ∠CAD ，S △ABD ＝2S △ADC ，∴sin ∠BAD
sin ∠CAD ＝2·AC
AB ，
在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ， ∴AC ＝42，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝2·AC
AB ＝4 2.。