浙江省杭州学军中学西溪校区2021-2022学年高一下学期期中测试数学试题

2021-2022学年杭州学军中学西溪校区高一下学期
期中测试数学
一、单选题
1.已知集合{0,1,2}P =，{1,2,3}Q =，则P Q ⋃=()
A.{0}
B.{0,3}
C.{1,2}
D.{0,1,2,3}2.已知i 为虚数单位，复数，则z 的虚部为()
A.i
B.1
C.7i
D.7
3.已知()f x 为偶函数，且函数()()g x xf x =在[0,)+∞上单调递减，则不等式
(1)(1)2(2)0x f x xf x --+>的解集为()
A.1
(,3
-∞ B.(,1)
-∞- C.1
(,)
3
+∞ D.(1,)
-+∞4.下列判断正确的是()
A.圆锥的侧面展开图可以是一个圆面
B.底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
C.一个西瓜切3刀最多可切成8块
D.过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个
5.在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数可以表示为()ln x
x x
π≈
的结论．若根据欧拉得出的结论，估计510以内的素数的个数为(素数即质数，lg 0.4343e ≈，计算结果取整数)(
)
A.2172
B.4343
C.869
D.8686
6.在ABC 中，D 是边BC 上的一点，40C ︒∠=，60CAD ︒∠=，
BD AC =，则DBA ∠=()
A.15︒
B.30︒
C.45︒
D.60︒
7.已知1e ，2e 为单位向量，且12|2|2e e + ，若非零向量a
满足12a e a e ⋅⋅ ，则12(2)||
a e e a ⋅+
的最大值是()
A.
4
B.
2
C.
2
D.
4
8.已知a ，b ，c ∈R ，若关于x 的不等式01a c
x b x x
++-
的解集为123321[,]{}(0)x x x x x x ⋃>>>，则()
A.不存在有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=
B.存在唯一有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=
C.有且只有两组有序数组(,,)a b c ，使得211x x -=
D.存在无穷多组有序数组(,,)a b c ，使得211
x x -=二、多选题
9.在ABC 中，若3
B π
=，角B 的平分线BD 交AC 于D ，且2BD =，则下列说法正确的是(
)
A.若BD BC =，则ABC 的面积是
32
+B.
若BD BC =，则ABC 的外接圆半径是
C.若BD BC =，则
1
2
AD DC +=
D.AB BC +的最小值是
3
10.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是1AA ，1CC ，11C D 的
中点，Q 是线段11D A 上的动点，则(
)
A.存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面
B.存在点Q ，使//PQ 平面MBN
C.过Q ，M ，N 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面面积的取值范围为
D.经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为
92
π三、填空题
11.已知m ∈R ，一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个根z 是纯虚数，则
||z m +=__________.
12.已知钝角α终边上一点的坐标为(2sin 4,2cos 4)-，则α=__________
13.已知三角形ABC 的斜二侧画法的直观图是边长为2的正三角形(A B C '''如图所示)，则C
的坐标为__________
14.已知函数220.5()log (335)f x x ax a a =--+在(,1]-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是__________
15.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且2sin cos(6
b A a B π
=-
，2b =，则B =__________，若满足条件的ABC 有且仅有一个，则a 的取值范围是__________.
16.设41(0,0)x y x y +=>>，0s t >>，则2222
1
x s ys xy st t ++-的最小值为__________
四、解答题
17.已知平面向量a ，b ，c 满足||1a =
，||2b = ，2a a b =⋅ ，215016
c c b -⋅+= ，则
22
||||c a c b -+- 的最大值为__________.
18.已知函数2()cos cos 1.
222
x x x f x =
-+(1)若[0,2
x π
∈，5
()6f x =，求cos x 的值；(2)
在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos 2b A c - ，求()
f B 的取值范围．
19.如图所示，等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD ==，已知E ，F 分别为线段BC ，
AB 上的动点(,E F 可与线段的端点重合)，且满足AF x AB = ，.
BE yBC =
(1)求AE DF ⋅
关于x ，y 的关系式并确定x ，y 的取值范围；
(2)若AE DF ⊥ ，判断是否存在恰当的x 和y 使得y
x
取得最大值？若存在，求出该最大值
及对应的x 和y ；若不存在，请说明理由．
20.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，120ADC ∠=︒，124BB AB ==，M ，
N 分别为BC ，1AA 的中点
.
(1)证明：//BN 平面1;
AMD (2)平面1AMD 将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的体积为1V ，较小的体积为2V ，
求
1
2
V V 的值.21.已知函数
，
(1)
解不等式：
(2)是否存在实数t
，使得不等式
对任意的
及任意锐角θ都成立，若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由。

答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由并运算的性质得{0,1,2,3}.P Q ⋃=故选.
D 2.【答案】B
【解析】解：因为2(3)(2)6327z i i i i i i =-+=+--=+，所以z 的虚部为1.故选.
B 3.【答案】B
【解析】解：因为()f x 为偶函数，所以()()g x xf x =为奇函数，又()g x 在[0,)+∞上单调递减，所以()g x 在R 上单调递减，
所以由(1)(1)2(2)0x f x xf x --+>，得(1)(1)2(2)x f x xf x --<，即(2)(1)g x g x >-，由()g x 在R 上单调递减，所以12x x -<-，得1x <-，即(,1).x ∈-∞-故选.
B 4.【答案】C
【解析】解：A ：圆锥的侧面展开图为扇形，不可以是一个圆面，所以错误；
B ：底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥，其顶点在底面的射影不一定为底面的中心，所以不一定是正三棱锥，所以错误；
:C 一个西瓜切3刀等价于一个正方体被3个平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数，
故C 正确；
:D 当两点为球的直径端点时，过两不同点的大圆有无数个，所以错误．
故选.
C 5.【答案】D
【解析】解：由题意可知：，
由对数的性质可得：1
ln10lg e
=
，即44210ln 2100.4343243438686.e =⨯⨯≈⨯⨯=⨯=故选.
D
6.【答案】B
【解析】解：40C ︒
∠= ，60CAD ︒
∠=，80ADC ︒
∴∠=，在ADC ∆中，由正弦定理：
sin sin AC AD
ADC C
=∠，
即sin 80sin 40AC AD ︒︒=，即sin 80sin 40AC AD ︒
︒
=，在ABD ∆中，由正弦定理：
sin sin BD AD
BAD DBA
=
∠∠sin(80)sin BD AD
DBA DBA
︒
∴
=-∠∠，BD AC = ，sin(80)sin AC DBA AD DBA ︒-∠∴=∠，sin(80)sin 802cos 402sin 50sin sin 40DBA DBA ︒︒
︒︒︒
-∠∴===∠，即sin(80)2sin 50sin DBA DBA
︒︒-∠=∠，将四个选项分别代入，可知30DBA ︒∠=时，上式成立.
故选.
B 7.【答案】D
【解析】解：由题意，可设1(1,0)e = ，2(cos ,sin )e αα= ，则122(12cos ,2sin )e e αα+=+
，
由12|2|2e e + ，可得22(12cos )4sin 4αα++
，整理得1
cos 4
α- ，设(cos ,sin )a r r ββ=
，0r >，
由12a e a e ⋅⋅
，可得(cos ,sin )(1,0)(cos ,sin )(cos ,sin )r r r r ββββαα⋅⋅
，即cos cos cos sin sin r r r ββαβα+ ，故cos cos()βαβ- ，
当cos cos()βαβ=-时，2()k k Z βαβπ=-=∈或2()k k Z βαβπ=-++∈，即22()k k Z βαπ=+∈或2()k k Z απ=∈，1
cos 4
α-
，2()k k Z απ∴=∈不合题意，故cos cos()βαβ=-时，22()k k Z βαπ=+∈，
而12(2)2cos cos cos sin sin 2cos cos()||a e e r r r a r
ββαβαβαβ⋅+++==+-
，cos cos()βαβ- ，12(2)
3cos()||a e e a αβ⋅+∴-
，当22()k k Z βαπ=+∈时，“=”成立，此时3cos()3cos(2)3cos k αββπβ-=-=，
21cos cos(22)cos 22cos 14k αβπββ=-==--
，故23cos 8β ，即66
cos 44
β- ，故12(2)363cos()3cos ||4
a e e a αββ⋅+-=
，故选.D 8.【答案】D
【解析】解：根据题意得0x >，于是不等式化为：2
0.
x bx a c x ++- 因为解集为123[,]{}x x x ⋃，所以1x ，3x 是方程2(1)0x b x a c +++-=的两个不同的根，且2x ，3x 是方程20x bx c ++=的两个不同的根，根据韦达定理得
131x x b +=--，23.
x x b +=-所以212313()()(1)1x x x x x x b b -=+-+=----=，于是只要
的所有(,,)a b c 就可以了.
9.【答案】ACD
【解析】解：①因为BD 为角B 的平分线，3
ABC π
∠=，所以6
ABD CBD π∠=∠=
，若2BD BC ==，则512
ACB BDC π∠=∠=，则5.1234
BAC ππππ∠=--=
由正弦定理得
sin sin BC AB
BAC ACB
==∠∠
，
5sin sin
sin()sin cos sin cos 124646644
ACB πππππππ+∠==+=+=，
则51124
AB π+==⨯=+
，113sin (122222
ABC S AB BC ABC +=
⋅∠=⨯+⨯⨯= ，故A 选项正确．②若2BD BC ==，由A 选项知4A π=
，由正弦定理得2sin 2
a R A ===，所以ABC
的外接圆半径是，故B
选项错误．
③若2BD BC ==，由A 选项知6
ABD CBD π∠=∠=，由正弦定理得
sin sin 6AD AB ADB π=∠，sin sin 6
DC BC
BDC π=
∠，因为ADB BDC π∠+∠=，所以sin sin ADB BDC ∠=∠，
所以
12
AD AB DC BC +==，故C 选项正确．④设BAD θ∠=，则23BCD πθ∠=-，6BDC πθ∠=+，56
ADB π
θ∠=-，因为
sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，sin sin BD BC
BCD BDC
=∠∠，
所以52sin(
)2sin()2sin()2sin()666622sin sin sin()sin()33
AB BC ππππθθθθππθθθθ-++++=
+
=+--2(sin cos sin cos )2(sin cos sin cos )666622sin sin cos sin cos 33
ππππ
θθθθππθθθ++=
+
-1
)cos 1
tan sin tan 22
tan θθθθθ
++=
+=++
，令1tan t θ=
，因为5(0,)6πθπ-∈，2(0,)3
π
θπ-∈，所以2(0,
)3π
θ∈
，所以(,0)(0,)3
t ∈-⋃+∞，
所以(1)
533333AB BC t t t +++=++
=++=++
43
3434383
3(1)3333
=++++=，
当且仅当43
3
3(1)3+=
3t =
或时取等号，
所以3πθ=
或5(6
π
θ=舍去)，所以AB BC +的最小值是3，故D 选项正确．
故选.
ACD 10.【答案】AB
【解析】解：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接11,A B CD ，
因为N ，P 分别是111,CC C D 的中点，所以1//A B PN ，所以1,,,A B N P 四点共面，即当Q 与1A 重合时，B ，N ，P ，Q 四点共面，故选项A 正确；连接11,PQ A C ，当Q 是11D A 的中点时，因为1111//,//PQ A C A C MN ，所以//PQ MN ，因为PQ ⊂/面BMN 且MN ⊂面BMN ，所以//PQ 面BMN ，故选项B 正确；
对于C 、由正方体的对称性可知所得截面面积为2QMN S ，
当Q 与1D 重合时，截面面积最大，为2QMN S = ，
当Q 与1A 重合时，截面面积最小，为2QMN S =
故截面面积的取值范围为，故选项C 错误；分别取11,BB DD 的中点E ，F ，构造长方体MADF EBCN -，则经过C ，M ，B ，N 四点的球即为长方体MADF EBCN -的外接球，设所求外接球的直径为2R ，
则长方体MADF EBCN -的体对角线即为所求的球的直径，即2222(2)9R AB BC CN =++=，
经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为24R 9ππ=，故D 选项错误；
故选.
AB
11.【答案】
2
【解析】解：由题意可设复数z bi =，b ∈R 且0b ≠，
z 是一元二次方程22(21)10x m x m --++=的复数根，
22()(21)10bi m bi m ∴--++=，即22(1)(21)0b m m bi -++--=，
2210
(21)0
b m m b ⎧-++=∴⎨-=⎩，解得12m =，254b =，2b =±，
2z i ∴=±
，122z m i +=±，||2z m ∴+==故答案为：2
12.【答案】42
π
-
【解析】解：由题意，得因为α为钝角则4.2
πα=-
13.【答案】
【解析】解：在直观图中，在x '轴上取点D '，使得//D C y '''轴，如下图：
则2,45,120A C C D A D A C ︒︒''=∠'''=∠'''=，15
D C A ︒
∠'''=由正弦定理可得sin sin sin C D A C A D D A C C D A D C A
''''''
'''''''''
==∠∠∠，又
，
可得
236222D C ''=
⨯=，26231422
D A -''=⨯=-，故将直观图还原为平面图如下图：
由图可知，
14.【答案】2
[,1)
3
【解析】解：设22()335g x x ax a a =--+，由题意知，函数()g x 在(,1]-∞上是减函数，
则
，解得213a <
，所以a 的取值范围是2
[,1),3故答案为2[,1).3
15.【答案】
6
π
【解析】解：由题意，2sin cos()6
b A a B π
=-，由正弦定理可知，2sin 2sin b A a B =，所以有2sin cos(6
a B a B π=-，整理得31
2sin sin 22B B B =+，
解之得3
tan 3
B =
，由，所以6
B π=
；又2b =，则由2sin cos()6
b A a B π
=-
可求得4sin a A =，因为满足条件的ABC 有且仅有一个，
所以1
sin sin sin 12
A B A ==或 ，从而可求出02a < 或4a =，
故答案为
6
π；16.
【答案】
【解析】解：因为
，
当且仅当2x y =时，即11
,36
x y ==时，取等号.而
当且仅当2t s =时，取等号)
故则2222
22
145x s ys s xy st t s
+++- (当且仅当1
1,36
x y ==
，2t s =，2255s =时，取等号)
故22221
x s ys xy st t ++-的最小值为17.【答案】
21
8
【解析】解：设OA a = ，OB b = ，OC c =
，则
因为2a a b =⋅ ，即
，
所以
，因此OA AB ⊥，
所以.3
BOA π∠=
以O 为坐标原点，OA
的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，如下：
设，，则
因为215
016c c b -⋅+= ，所以22153016
x y x y +--+=，
即
，因此点C 在以
，半径为
1
4
的圆上运动，所以1
3.44
x 又因为
，
所以由13
44x 得22||||c a c b -+- 的最大值为125212.
488
-⨯+=18.【答案】解：(1)
，
由，，可得
，[,663
x πππ
-
∈-，所以，，
所以.
(2)
因为2cos 2b A c - ，由正弦定理可得，
，从而可得，
，即
，
因为，所以，，所以，
所以.
19.【答案】解：(1)由等腰梯形的性质可知60BAD ∠=︒，
即||||cos 1AB AD AB AD BAD ⋅=⋅∠=
，又DF AF AD x AB AD =-=- ，
1()(1)22
y AE AB BE AB yBC AB y AB AD AB AB y AD
=+=+=+-++=-+
则()[(1)]4 1.
22
y y AE DF xAB AD AB y AD xy x ⋅=--+=-+-- 由F ，E 分别为线段AB ，BC 上动点，故[0,1]x ∈，[0,1].
y ∈(2)由AE DF ⊥ 可得4102y AE DF xy x ⋅=-+--= ，则2
2(4)
y x y +=-，
又0101y x ⎧⎨⎩
解得11
[,]42x ∈，[0,1].
y ∈故
2(4)
2
y y y x y -=
+，令2y t +=，则2y t =-，即12()2(8)y f t t x t ==-+-，[2,3]t ∈20.【答案】(1)证明：连接1A D ，交1AD 于点E ，连接NE ，ME ，
因为N ，E 分别为1AA ，1A D 的中点，所以//NE AD ，且1
2
NE AD =，因为M 为BC 的中点，所以//BM AD ，且11
22
BM BC AD =
=，所以//NE BM ，且NE BM =，所以四边形BNEM 为平行四边形，所以//BN ME ，因为BN ⊂/平面1AMD ，ME ⊂平面1AMD ，故//BN 平面1.
AMD
(2)解：延长DC ，AM 交于点Q ，则C ，M 分别为DQ ，AQ 的中点，4DQ =，2CQ =，
再连接1D Q ，交1CC 于点P ，则P 为1CC 的中点，2PC =，连接MP ，
所以平面1AMD 将该直四棱柱分成两部分，其中体积较小的部分为三棱台1.ADD MCP -因为三棱台1ADD MCP -的体积等于三棱锥1D ADQ -的体积减去三棱锥P MCQ -的体积，所以12ADD MCP V V -=三棱台1D ADQ P MCQ
V V --=-三棱锥三棱锥11111
sin120sin1203232AD DQ DD MC CQ PC =⨯⨯︒⨯-⨯︒⨯83373
333
=
-=又直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为11111sin12083ABCD A B C D V AD DC DD -=⨯⨯= 直四棱柱所以1111
123173333ABCD A B C D V V V -=-=-=直四棱柱，故1217
.
7
V V =21.【答案】解：(1)()()()()g x f x f x g x -=--=-
，
为R 上的奇函数，又()x x g x e e -=-为R 上的增函数，
于是2222(12)(4)0(12)(4)124230g x g x g x g x x x x x -+-<⇔-<-⇔-<-⇔--<，
13x ∴-<<，故原不等式的解集为
，
(2)假设存在正实数t ，使得该不等式对任意的1
(,)2
x ∈-+∞及任意锐角θ都成立，
原不等式
22
2[82(21)sin 24cos (21)4cos ][8sin 2ln (21)4(2sin )2
g t x t x t g f x t θ
θθθθ⇔+-+-++-+222
(1sin )[ln 22ln(21)]]02(21)sin 24cos (21)2
t f x g t x t x θ
θθ-+⋅⋅++⇔+-+ 4cos ][4(2sin )(1sin )[ln 22ln(21)]
t g t t f x θθθ-+++⋅⋅++
222
8sin2ln(21)](21)sin24cos(21)4cos
2
f x x t x t
θ
θθθ
-+⇔+-+-
22
4(2sin)(1sin)2(21)8(21)sin2(21)sin2
t t x x x
θθθθ+++⋅⋅+-+⇔+
8(21)sin2
xθ
++ 222
4(2sin)(1sin)2(21)4cos(21)
2
t t x t x
θ
θθ
+++⋅⋅++
+
222
4cos8sin21)(21)2(1sin2cos)(21)
2
t x t x
θ
θθθ
+⇔+++++
4(2sin cos),0
t t
θθ
+++
不等式不可能成立，故
2
1
04sin2)(21)(2sin cos)(21)2(2sin
t x x
t
θθθθ
>⇔+++++++
2
8sin cos1(21)28sin cos1 cos))21 2sin cos212sin cos
x x
t x t
θθθθ
θ
θθθθ
++
+⇔+⇔++ +++++
2
21
x
+
+
，
因为该不等式对任意的
1
(,)
2
x∈-+∞
都成立，
min
8sin cos12
)(21)
2sin cos21
x
t x
θθ
θθ
∴+++
+++
，
故
8sin cos1
2sin cos t
θθ
θθ
+
++
而
8sin cos112(2sin cos)
))
2sin cos4sin cos
t t
θθθθ
θθθθ
++
+⇔+
++
，
该不等式对任意锐角θ
都成立，所以min
1sin cos)
4sin cos
t
θθ
θθ
++
+，
令sin cos)
4
uπ
θθθ
=+=+，则
2
2(2sin cos)2(2)
4sin cos22
u
u
θθ
θθ
+++
=
-
，u∈
设
2
2(2)
22
u
y
u
+
=
-
，令2,(3,2
u s s
+=∈
则
2
6
28
y
s
s
=
+-
，而
6
28
s
s+-
在(3,2
单调递增，故
6
0282
s
s
<+--
，
所以，
11
t++，又0
t>，
2 1.
2
t
∴。