【原创】2019-2020学年上学期高二寒假精练4 必修5测试(文) 学生版

日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的影子长为（ ）

2
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A．15.5 尺
B．12.5 尺
C．10.5 尺
D． 9.5 尺
3．已知△ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，且 a 积为 3 ，则 c （ ）
2n 11．【答案】（1） an 2n 1；（2） Sn 2n 1 ．
【解析】（1）设数列{an}的公差为 d ，
∵ a1 1，且 a3 1 是 a2 1与 a4 2 的等比中项，
∴ (a3 1)2 (a2 1)(a4 2) ，∴ (2 2d)2 (2 d)(3 3d) ，
当且仅当 2x 8 ，即 x 2 时，等号成立． x
二、填空题
9．【答案】12

7
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【解析】由题 4 1 ( 4 1 ) [4 (x y)] 4 (4 4 y x 1) 4 (5 2 4 y x ) 12 ，
xy xy 3
3 xy
3
xy
当且仅当 4 y x 即 x 2y 时取等号． xy
10．【答案】 π ， 2 3
【解析】∵ 2cos2 A 3 sin 2A 2 ，可得 cos 2A 3 sin 2A 1，∴ sin(2A π ) 1 ， 62
∵ 0 A π ，可得 2A π 5π ，可得 A π ．
2ac
2a 2a 4
7．【答案】D
【解析】依题，
2019 2
(a1

a2019 )

6057

a1

a2019

a2
a2018

6，
1 a2
4
a2018

1 6 (a2
1 a2018 )( a2

4 )
a2018

1 (5 6
4a2 a2018

a2018 ) a2
3． 2
当且仅当 a2 2 ， a2018 4 时取等．
15.5 1
，
所以冬至的日影子长为15.5 尺．
3．【答案】C
【解析】因为 cosC 4 ，所以 sin C 3 ，由 S 1 ab sin C ，可得 b 2 ，
5
5
2
根据余弦定理， c2 a2 b2 2ab cos C 29 20 4 13 ，所以 c 13 ． 5
4．【答案】B
【解析】设{an}的公比为 q(q 0, q 1) ，根据题意可知 a3 a2 a1 ，得 q2 q 1 0 ，
∴ d 2 或 d 1，当 d 1时， a3 1 0 ，与 a3 1 是 a2 1与 a4 2 的等比中项矛
盾，舍去，∴数列{an}的通项公式为 an 2n 1．
（2） bn

2 an an 1

2 (2n 1)(2n 1)

11 ， 2n 1 2n 1
∵ sin C 0 ，∴ cos A 1 ，∴ A π ．
2
3
（2）∵ S△ABC

1 2
AD BC

1 bc sin 2
A，
由 BC 6 ， A π ，∴ 3AD 3 bc ，∴ AD 3 bc ，
3
4
12
由余弦定理得 36 b2 c2 2bc cos π b2 c2 bc 2bc bc bc（当且仅当 b c 时等 3
C． 1 2
D．1
7．设正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 S2019

6057 ，则
1 a2

4 a2018
的最小值为
（）
A．1
B． 2 3
C． 13 6
D． 3 2
8．要制作一个容积为 4 m3 ，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平
方米 20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是（ ）
寒假精练 4
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必修 5 测试
典题温故
1．已知△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a cos B (2c b) cos A ．
（1）求角 A 的大小； （2）若 AD 为 BC 边上的高， a 6 ，求 AD 的取值范围． 【答案】（1） A π ；（2） 0 AD 3 3 ．
（2）设 bn

2 an an 1
，求数列{bn}的前 n 项和 Sn ．
12．在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c ，且 3ccos A (2b 3a)cosC ． （1）求角 C ； （2）若 A π ，△ABC 的面积为 3 ， D 为 AB 的中点，求 sin BCD 的值．
Sn

2 1 3

2 35

2 57


2
(2n 1)(2n 1)

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ．
解得 q 5 1 ，而 a3 a4 1 5 1 ．
2
a4 a5 q
2
5．【答案】A
x y 1 0 【解析】因为约束条件 x 2 y 8 0 ，作出可行域如下图所示，
x 0

6
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A． 80 元
B．120 元
C．160 元
D． 240 元
二、填空题
9．已知 x 0 ， y 0 且 x y 3 ，则 4 1 的最小值为_______． 4 xy
10．已知△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足

3
【解析】（1）由 a cos B (2c b) cos A，得 a cos B bcos A 2c cos A ，
根据正弦定理有 sin Acos B cos Asin B 2sin C cos A ，
∴ sin(A B) 2sin C cos A，即 sin C 2sin C cos A ．
2．【答案】A
【解析】从冬至日起，日影长依次记为 a1 ， a2 ， a3 ，
， a12 ，
根据题意，有 a1 a4 a7 37.5 ，根据等差数列的性质，有 a4 12.5 ，
而
a12

4.5
，设其公差为 d
，则有
aa11
3d 12.5 11d 4.5
，解得
ad1
两式相减得：
2Tn 3 32 33
3n1 3n (n 1) 6 3 (3n1 1) 3n (n 1) 31

3n (3
2n) 2
15

Tn

3n (2n
3) 4
15
，
显然当 n
1时，T1
3 符合上式，∴Tn

3n (2n 3) 15 4
【答案】（1） an
3, 3n1,
n 1 n 2 ；（2）Tn
3n (2n 3) 15 ． 4

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【解析】（1）由 a1 a2 3，得 3p m 6 ， 2(a1 a2 ) 9 p m 12 ，
8．【答案】C
【解析】由题意知，体积V 4 m3 ，高 h 1 m ，所以底面积 S 4 m2 ，
设底面矩形的一条边长是 x m ，则另一条边长是 4 m ， x
又设总造价是 y 元，则 y 20 4 10 (2x 8) 80 20 2x 8 160 ，
x
x
5 ， cos C
4 ，△ABC 的面 5
A． 11
B． 2 3
C． 13
D． 14
4．各项都是正数的等比数列{an} 中，a2
，1 2
a3
，a1
成等差数列，则
a3 a4

a4 a5
的值为（
）
A． 5 1 2
B． 5 1 2
C． 1 5 2
D． 5 1 或 1 5
2
2
x y 1 0
目标函数 z 3x y 可化为函数 y 3x z ，
由图可知，当直线 y 3x z 过 A(0,1) 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为1．
6．【答案】B 【解析】因为 sin2 B 2sin Asin C ，所以根据正弦定理可得 b2 2ac ，
因为 b 2a ，所以 b c 2a ，所以根据余弦定理可得 cos B a2 c2 b2 a2 1 ．
5．若变量
x
，
y
满足约束条件

x

2
y

8

0
，则
z

3x

y
的最小值为（
）
x 0
A．1
B． 3
C． 4
D． 9
6．在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 b 2a ，sin2 B 2sin Asin C ，
则 cos B （
A． 1 8
） B． 1 4
．
经典集训
一、选择题 1．当 a b c 时，下列不等式恒成立的是（ ）
A． ab ac
B． a c b c
C． ab bc
D． (a b) c b 0
2．《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、 谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的
6

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13．设 y ax2 (1 a)x a 2 ． （1）若不等式 y 2 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）解关于 x 的不等式 y a 1（ a R ）．

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【答案与解析】
一、选择题 1．【答案】D 【解析】选项 A，必须满足 a 0 ，故不恒成立；
选项 B， c 0 时，结论不成立；
选项 C， b 0 时，结论不成立；
选项 D，∵ a b c ，∴ a b 0 ，又∵ c b 0 ，∴D 正确．
3
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2cos2 A
3 sin 2A 2 ， b 1， S△ABC
3 ，则 A 2
，
bc
．
sin B sin C
三、简答题
11．已知数列{an}是等差数列，首项 a1 1，且 a3 1 是 a2 1与 a4 2 的等比中项．
（1）求数列 {an } 的通项公式；
号成立）．
∴ 0 bc 36 ，∴ 0 AD 3 3 ．
2．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 2Sn 3n p m ，（其中 p 、 m 为常数）， 又 a1 a2 3．
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）设 bn log3 an ，求数列{an bn}的前 n 项和Tn ．
66
3
∵ b 1， S△ABC
3 1 bc sin A 1 1 c
22
2
3 ，∴ c 2 ， 2
∴由余弦定理可得 a b2 c2 2bc cos A 3 ，∴ b c a 3 2 ． sin B sin C sin A 3 2
三、简答题
log3 an

1, n
1,
n 1
，
n2
当 n 1时，T1 a1b1 3 ，
当 n 2 时，Tn a1b1 a2b2 a3b3 anbn 31 31 32 2 3n1 (n 1) ， 3Tn 32 1 32 1 33 2 3n1 (n 2) 3n (n 1) ，
ห้องสมุดไป่ตู้
解得 p 1， m 3 ，即 2Sn 3n 3 ①，
当 n 2 时， 2Sn1 3n1 3 ②，
① ②得 2an 3n 3n1 ，即 an 3n1(n 2) ，
3, n 1
∵ a1 3不满足上式，∴ an
3n1,
．
n2
（2）依题意得 bn