2012四川高考数学理--答案

2012年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
72
分析：由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是，计算出答案即可得出正确选项
解答：解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是T
r
r+1=x
故展开式中x2的系数是=21
故选D
点评：本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键
2．（2012•四川）复数=（）
解答：
解：由题意得，
故选B
3．（2012•四川）函数在x=3处的极限是（）
解答：
解：∵=x+3；
∴f（x）=（）=6；
而f（x）=[ln（x﹣2）]=0．
即左右都有极限，但极限值不相等．
故函数在x=3处的极限不存在．
故选：A．
点评：本题主要考察函数的极限及其运算．分段函数在分界点处极限存在的条件是：两段的极限都存在，
4．（2012•四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED
则sin∠CED=（）
．B．C．D．
：计算题。

分析：
由题意，可得∠CED=∠AED﹣∠AEC，根据图象可得tan∠AED=1，tan∠AEC=，从而有
tan∠CED=tan（∠AED﹣∠AEC）===，再由三角函数的定义即
可求出sin∠CED选出正确选项
解答：解：由题设及图知∠CED=∠AED﹣∠AEC，
又正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1
∴tan∠AED=1，tan∠AEC=
∴tan∠CED=tan（∠AED﹣∠AEC）===
由图知，可依EC所在直线为X 轴，以垂直于EC的线向上的方向为Y轴建立坐标系，又∠CED 锐角，由三角函数的定义知，∠CED终边一点的坐标为（3，1），此点到原点的距离是
故sin∠CED==
故选B
5．（2012•四川）函数的图象可能是（）
．B．C．D．
所给的各个选项，排除不符合条件的选项，从而得到结论．
解答：
解：函数可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数是增函数，图象过点（0，1﹣），
且1＞1﹣＞0，故排除A、B．
当1＞a＞0时，函数是减函数，图象过点（0，1﹣），
且1﹣＜0，故排除C，
故选D．
7．（2012•四川）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件
是（）
．B．C．D．
且
件
解答：
解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，
故选C
8．（2012•四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，．B．C．
点M的坐标，由此可求|OM|．
解答：解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，
∴2+=3
∴p=2
∴抛物线方程为y2=4x
∵M（2，y0）
∴
∴|OM|=
故选B．
点评：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．
9．（2012•四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、
B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是
300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、
B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司
共可获得的最大利润是（）
以及目标函数求出利润的最大值即可．
解答：解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为y元
则根据题意可得，z=300x+400y
作出不等式组表示的平面区域，如图所示
作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，
由可得x=y=4，此时z最大z=2800
点评：本题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准
10．（2012•四川）如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂
线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上
到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A、P两点间的球面
距离为（）
．B．C．D．
分析：由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．
解答：解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，
因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=，E为BQ的中点，AE=
=，
AP==，
AP2=OP2+OA2﹣2OP•OAcos∠AOP，，
cos∠AOP=，∠AOP=arccos，
A、P两点间的球面距离为，
故选A．
11．（2012•四川）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互
：综合题。

分析：
方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况，
利用列举法可解．
解答：
解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种
情况：
（1）当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0，1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；
（2）当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2，0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；
以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；
（3）同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；
（4）当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；
共有16条．
综上，共有23+23+16=62种
故选B．
12．（2012•四川）设函数f（x）=2x﹣cosx，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）
+…+f（a5）=5π，则=（）
．C．D．
由f（x）=2x﹣cosx，又{a n}是公差为的等差数列，可求得f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=10a3﹣cosa3（1++），由题意可求得a3=，从而可求得答案．
∵{a n}是公差为的等差数列，
∴a1+a2+…+a5=5a3，由和差化积公式可得，
cosa1+cosa2+…+cosa5=（cosa1+cosa5）+（cosa2+cosa4）+cosa3
=[cos（a3﹣×2）+cos（a3+×2）]+[cos（a3﹣）+cos（a3+）]+cosa3
=2cos cos+2cos
cos+cosa3
=2cosa3•+2cosa3•cos（﹣）+cosa3
=cosa3（1++），
∵f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，
∴cosa3=0，故a3=，
∴
=π2﹣（﹣）•
=π2﹣
=．
故选D．
本题考查数列与三角函数的综合，求得cosa3=0，继而求得a3=是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．）13．（2012•四川）设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，则（∁U A）∪
（∁U B）={a，c，d}．
14．（2012•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，
则异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．
分析：
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M 与DN所成的角．
解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，
则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）
•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．
15．（2012•四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB
的周长最大时，△FAB的面积是3．
解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF=2．
此时直线x=m=c=1；
把x=1代入椭圆的方程得：y=±．
∴AB=3．
所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．
故答案为：3．
16．（2012•四川）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1，[﹣0.3]=﹣1．设
a为正整数，数列{x n}满足x1=a，，现有下列命题：
①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；
③当n≥1时，；
④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则．
其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的编号）
可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误
解答：解：①当a=5时，x1=5，
，
，
∴①正确．
②当a=8时，x1=8，
∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2…为摆动数列，故②错误；
③当n=1时，x1=a，∵a﹣（）=＞0，∴x1=a＞成立，
假设n=k时，，
则n=k+1时，，∵＞＞﹣
∴≥[﹣]＞
∴对任意正整数n，当n≥1时，；③正确；
④∵≥x k，
由数列①②规律可知一定成立
故正确答案为①③④
三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤．）
17．（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A
和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布
列及数学期望Eξ．
：计算题。

分析：（Ⅰ）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则
∴；
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3
P（ξ=0）=；P（ξ=1）=；
P（ξ=2）==；P（ξ=3）=；
∴ξ的分布列为
ξ0 1 2 3
P
18．（2012•四川）函数f（x）=6cos2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所
示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x0）=，且x0∈（﹣），求f（x0+1）的值．
分析：
（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2sin（ωx+），利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）由，知x0+∈（﹣，），由，可求得即sin（x0+）=，利用两角和的正弦公式即可求得f（x0+1）．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得，f（x）=3cosωx+sinωx
=2sin（ωx+），
又正三角形ABC的高为2，从而BC=4，
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，ω=，
∴数f（x）的值域为[﹣2，2]…6分
（Ⅱ）∵f（x0）=，由（Ⅰ）有f（x0）=2sin（x0+）=，
即sin（x0+）=，由，知x0+∈（﹣，），
∴cos（x0+）==．
∴f（x0+1）=2sin（x0++）=2sin[（x0+）+]=2[sin（x0+）cos
+cos（x0+）sin]
=2（×+×）
=…12分
19．（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平
面PAB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．
分析：解法一（Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．可以证出∠OCP为直线PC 与平面ABC所成的角．不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．
（Ⅱ）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量求解．
解法二（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．
（Ⅱ）分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．
解答：解法一
（Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．
因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，
因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面
ABC，平面PAB∩平面ABC=AD．
PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角
不妨设PA=2，则OD=1，OP=，AB=4．
所以CD=2，OC===
在RT△OCP中，tan∠OCP===．
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．
（Ⅱ）过D作DE⊥AP于E，连接CE．
由已知，可得CD⊥平面PAB．根据三垂线定理知，CE⊥PA．所以∠CED为二面角
B﹣AP﹣C的平面角．由（Ⅰ）知，DE=，在RT△CDE中，tan∠CED===2，故二面
角B﹣AP﹣C的大小为arctan2．
解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．
如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由已知可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，
CD=2，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以=（﹣1，﹣2，）=（0，0，）为平面ABC的一个法向量．
设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=（1，0，），=（2，2，0）．
设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则由得出即，
取x=﹣，则y=1，z=1，所以=（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．
而面ABP的一个法向量为=（0，1，0），则cosβ===．
故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．
20．（2012•四川）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求a1，a2的值；
（Ⅱ）设a1＞0，数列的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的
最大值．
：计算题。

分析：（I）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2﹣a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a2
（II）由a1＞0，令，可知==，
结合数列的单调性可求和的最大项
解答：解：（I）当n=1时，a2a1=s2+s1=2a1+a2①
当n=2时，得②
②﹣①得，a2（a2﹣a1）=a2③
若a2=0，则由（I）知a1=0，
若a2≠0，则a2﹣a1=1④
①④联立可得或
综上可得，a1=0，a2=0或或
（II）当a1＞0，由（I）可得
当n≥2时，，
∴
∴（n≥2）
∴=
令
由（I）可知==
∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2
∴b1＞b2＞…＞b7=
当n≥8时，
∴数列的前7项和最大，==7﹣
21．（2012•四川）如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，
设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求
的取值范围．
：综合题。

分析：（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内
可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出x R，x Q，利用，即可确定的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0
当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）
当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA=，
化简可得3x2﹣y2﹣3=0
而点（2，±3）在曲线3x2﹣y2﹣3=0上
综上可知，轨迹C的方程为3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）；
（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①
∴①有两根且均在（1，+∞）内
设f（x）=x2﹣4mx+m2+3，∴，∴m＞1，m≠2
设Q，R的坐标分别为（x Q，y Q），（x R，y R），
∵|PQ|＜|PR|，∴x R=2m+，x Q=2m﹣，
∴==
∵m＞1，且m≠2
∴，且
∴，且
∴的取值范围是（1，7）∪（7，7+4）
22．（2012•四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于
点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说
明理由．
：综合题。

分析：
（Ⅰ）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A（），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=a n，则成立的充要条件是a n≥2n3+1，即知，a n≥2n3+1
对所有n成立，当a=，n≥3时，a n＞4n=（1+3）n＞2n3+1，当n=0，1，2时，，由此可得a的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a k，证明当0＜x＜1时，，即可证明：
．
解答：
解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，∴A（）
对求导得y′=﹣2x
∴抛物线在点A处的切线方程为，∴
∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=a n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=a n，则成立的充要条件是a n≥2n3+1
即知，a n≥2n3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥
当a=，n≥3时，a n＞4n=（1+3）n≥1+=1+2n3+
＞2n3+1
当n=0，1，2时，
∴a=时，对所有n都有成立
∴a的最小值为；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=a k，下面证明：
首先证明：当0＜x＜1时，
设函数g（x）=x（x2﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=x（x﹣）
当0＜x＜时，g′（x）＜0；当时，g′（x）＞0
故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0
∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴
由0＜a＜1知0＜a k＜1，因此，
从而=≥=＞=
点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属于中档题．。