平面三连杆受限机器人系统

平面三连杆受限机器人系统
第1章概述
如图1所示为一个平面三连杆受限机器人系统。

因为三个关节均为转动关节，因此有时称该操作臂为RRR机构。

在此机构上建立连杆坐标系，并求：
（1）运动学模型
（2）动力学模型
第2章运动学模型
解：建立参考坐标系，即坐标系｛0｝，它固定在基座上。

当第一个关节变量θ)为0时，坐标系｛0｝与坐标系｛1｝重合，因此我们建立的坐标系值(
1
｛0｝如图1所示，且
Z轴与关节1轴线重合。

由于所有的关节轴都是平行
α都为0。

的，且所有的Z轴都垂直纸面向外，因此
i
图1 三连杆受限机器人系统
图2 三连杆平面操作臂的连杆参数表
111101
00000010000
1C S S C T -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦ （1）
2
212212
000001000
01C S L S C T -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ （2）
33233230000
0100
001C S L S C T -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ （3）
123
12311212123123112120012
31
23000010
0001C S L C L C S
C L S L S T T T T -+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦ （4）
式中
123123cos()C θθθ=++ （5） 123123sin()S θθθ=++ （6） 当｛G ｝=｛T ｝时，有
B W B S
W
T S G T T T T = （7）
因此
1W B B S
T
W S G T T T T -= （8）
第3章 动力学模型
本文同时假设连杆1、2、3 的单位长度的均匀质量密度分别为1ρ、2ρ 和3ρ,且始终在约束面上移动。

建立如图3所示的平面惯性笛卡尔坐标系,(X , Y ) 表示该坐标系的坐标变量. 本文忽略连杆3末端与约束面之间的摩擦并假设该平面三连杆受限机器人的系统约束为一完整约束, 即只与位置变量有关而与速度变量无关, 利用连杆3 末端的位置向量t P = (,)T t t X Y 可将约束面表示为
(,)t t X Y Φ= 0 （9） 本文假设连杆1、2和3均为刚性杆, 故不会产生任何变形。

连杆3 末端的位置向量t P = []i X T
i Y 的各分量可表示为
112233cos cos cos t X L L L θθθ=++ （10） 112233sin sin sin t Y L L L θθθ=+- （11） 将其代入式(1) 可得
()113,,0θθθΦ= （12）
图3 平面三连杆受限机器人
对于连杆1、2 和3, 由图3所示的坐标系可知其上任意一点的坐标向量分别为
11111cos sin x r x θθ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦ （13） 112222122cos cos sin sin L x r L x θθθθ+⎡⎤=⎢⎥
+⎣⎦ （14） 11223331
12233cos cos cos sin sin sin L L x r L L x θθθθθθ++⎡⎤=⎢⎥+-⎣⎦ （15） 式中，1r 、2r 、3r 分别表示连杆1、2和3任意一点的坐标向量。

3.1 总动能T
由图3所示的坐标系可得该机器人系统的总动能T 的表达式为
31231011112223122
222T L
i i
i
i
i T J J J dx r r ρθθθ∙
∙∙∙
∙
==+++∑⎰ （16）
将式（1）（7）代入（8），有
（17）
式中，
（18）
于是有：
（19）
3.2 轴向压力
令λ是与约束面的约束方程即式(9) 或(12) 相对应的Lagrange 算子, 由于机器人在工作过程中要求终端执行机构在约束面上运动, 必然会在约束面
和执行机构之间产生一个在约束面的法向方向矢量n 上的反作用力F n,容易得到
（20）
因为轴向压力()Q t 是n F 在3x 轴的单位向量上的正交映射,故()Q t 可表示为
（21）
式中, 3i =[]33cos sin T
θθ,是3x 轴上的单位向量。

3.3 总势能V
对于本文所研究的机器人系统, 其总势能为
g V V = （22） 式中: g V 为连杆重力所引起的重力势能。

连杆3引起的g V 可以分别表示为
（23）。