第2讲 向量的分解与坐标表示
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
202向4届量的分解与坐标表示
《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
第2讲 向量的分解与坐标表示
1 1
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
课程标准解读
命题方向
1.理解平面向量基本定理及其意义. 1.平面向量基本定
2.借助平面直角坐标系，掌握平面向 理的应用
量的正交分解及坐标表示.
5
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
[探究] 如何理解平面向量的基？ (1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基；
(2)基给定，同一向量的分解形式唯一；如果对于一组基底 e1，e2，有 a
＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
λ1＝μ1， λ2＝μ2.
13
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
2.如图，在△ABC 中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，点 D 在边 BC 上， 延长 AD 到点 P，使得 AP＝9.若P→A＝mP→B＋(32－m)P→C(m 为常数)，则 CD 的长度是________．
答案：158
14
向量的分解与坐标表示
15
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
[强基础·固知识] 1．[易错诊断]判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2 满足 λ1a＋μ1b ＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
为坐标原点，则 P 点的坐标为( )
A．(－9，－1)
B．(13，－53)
C．(1，－5)
D．(3，－13)
答案：B
12
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
解析：因为O→A＝(5，－2)，O→B＝(－4，－3)，且O→P＋A→P＋B→P＝0，所以 P 是△OAB 的重心，又 A(5，－2)，B(－4，－3)，O(0，0)，由结论 1 可 知 P 点的坐标为(13，－53)．故选 B.
01
知识特训
4
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
[梳知识·逐点清] 1．平面向量的基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个__不__平__行__的向量，那么对该平面内的任一 向量a，存__在__唯__一___的一对实数a1，a2，使得a＝__a_1e_1_＋__a_2_e2_．其中，不 共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组__基______，记为 {e1，e2}．a1e1＋a2e2叫作向量a关于基{e1，e2}的分解式． [注意] ①零向量不能作为基．②两个非零向量共线时不能作为平面的 一组基．
10
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
3．等和线定理及应用 如图，直线 DE∥AB，C 为直线 DE 上任意一点，P→C＝xP→A＋yP→B(x，y ∈R)，则 x＋y＝m(定值)，反之亦成立．
11
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
【提速能】
1．已知O→A＝(5，－2)，O→B＝(－4，－3)，且O→P＋A→P＋B→P＝0，其中 O
线向量的对应坐标成比例．
9
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
【记结论】
[记结论·提速能]
1．若 a 与 b 不共线，且 λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则 λ＝μ＝0.
2．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点 P 的 坐标为(x1＋2 x2，y1＋2 y2)；已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)，则△ABC 的重心 G 的坐标为(x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3)．
7
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
(2)向量坐标的求法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝__(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_，|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔_x_1_y_2_－__x2_y_1_＝__0_____．
2.平面向量的坐标
3.会用坐标表示平面向量的加、减运 运算
算与数乘运算.
3.平面向量基本定
4.理解用坐标表示的平面向量共线的 理及坐标运算的
条件
应用Βιβλιοθήκη 2核心素养数学抽象 数学运算 逻辑推理
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
01 02
知识特训 能力特训
3
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
《高考特训营》 ·数学 返 回
→3 解析：由向量系数 m＋(32－m)＝32为常数，结合结论 3 可知||PP→AD||＝21，故 PD＝23PA＝6，AD＝PA－PD＝3＝AC， 故在△ABC 中，∠C＝∠CDA，故∠CAD＝π－2C，且 cos C＝ABCC＝35， 在△ADC 中，由正弦定理得sin∠CDCAD＝sAinDC， 即 CD＝sin（sπin－C2C）×AD＝ssiinn2CC×AD＝2cos C×AD＝2×35×3＝158.
8
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
[探究] 吗？
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件能表示成xx12＝yy12
提示：(1)a∥b 的充要条件不能表示为xx12＝yy12，因为 x2，y2 有可能为 0. (2)当且仅当 x2y2≠0 时，a∥b 与xx12＝yy21等价，即两个不平行于坐标轴的共
6
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个__互__相__垂__直___的向量，叫作把向量正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝(_x_1＋__x_2_，__y_1_＋__y2_)_，a－b＝_(x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2_) ，λa＝ __(_λ_x_1，__λ_y_1_)____， |a|＝ x21＋y21.
《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
第2讲 向量的分解与坐标表示
1 1
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
课程标准解读
命题方向
1.理解平面向量基本定理及其意义. 1.平面向量基本定
2.借助平面直角坐标系，掌握平面向 理的应用
量的正交分解及坐标表示.
5
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
[探究] 如何理解平面向量的基？ (1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基；
(2)基给定，同一向量的分解形式唯一；如果对于一组基底 e1，e2，有 a
＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到
λ1＝μ1， λ2＝μ2.
13
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
2.如图，在△ABC 中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，点 D 在边 BC 上， 延长 AD 到点 P，使得 AP＝9.若P→A＝mP→B＋(32－m)P→C(m 为常数)，则 CD 的长度是________．
答案：158
14
向量的分解与坐标表示
15
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
[强基础·固知识] 1．[易错诊断]判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．( × )
(2)设{a，b}是平面内的一个基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2 满足 λ1a＋μ1b ＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
为坐标原点，则 P 点的坐标为( )
A．(－9，－1)
B．(13，－53)
C．(1，－5)
D．(3，－13)
答案：B
12
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
解析：因为O→A＝(5，－2)，O→B＝(－4，－3)，且O→P＋A→P＋B→P＝0，所以 P 是△OAB 的重心，又 A(5，－2)，B(－4，－3)，O(0，0)，由结论 1 可 知 P 点的坐标为(13，－53)．故选 B.
01
知识特训
4
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
[梳知识·逐点清] 1．平面向量的基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个__不__平__行__的向量，那么对该平面内的任一 向量a，存__在__唯__一___的一对实数a1，a2，使得a＝__a_1e_1_＋__a_2_e2_．其中，不 共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组__基______，记为 {e1，e2}．a1e1＋a2e2叫作向量a关于基{e1，e2}的分解式． [注意] ①零向量不能作为基．②两个非零向量共线时不能作为平面的 一组基．
10
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
3．等和线定理及应用 如图，直线 DE∥AB，C 为直线 DE 上任意一点，P→C＝xP→A＋yP→B(x，y ∈R)，则 x＋y＝m(定值)，反之亦成立．
11
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
【提速能】
1．已知O→A＝(5，－2)，O→B＝(－4，－3)，且O→P＋A→P＋B→P＝0，其中 O
线向量的对应坐标成比例．
9
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
【记结论】
[记结论·提速能]
1．若 a 与 b 不共线，且 λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则 λ＝μ＝0.
2．已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点 P 的 坐标为(x1＋2 x2，y1＋2 y2)；已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)，则△ABC 的重心 G 的坐标为(x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3)．
7
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
(2)向量坐标的求法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝__(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_，|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔_x_1_y_2_－__x2_y_1_＝__0_____．
2.平面向量的坐标
3.会用坐标表示平面向量的加、减运 运算
算与数乘运算.
3.平面向量基本定
4.理解用坐标表示的平面向量共线的 理及坐标运算的
条件
应用Βιβλιοθήκη 2核心素养数学抽象 数学运算 逻辑推理
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
01 02
知识特训 能力特训
3
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
《高考特训营》 ·数学 返 回
→3 解析：由向量系数 m＋(32－m)＝32为常数，结合结论 3 可知||PP→AD||＝21，故 PD＝23PA＝6，AD＝PA－PD＝3＝AC， 故在△ABC 中，∠C＝∠CDA，故∠CAD＝π－2C，且 cos C＝ABCC＝35， 在△ADC 中，由正弦定理得sin∠CDCAD＝sAinDC， 即 CD＝sin（sπin－C2C）×AD＝ssiinn2CC×AD＝2cos C×AD＝2×35×3＝158.
8
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
[探究] 吗？
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件能表示成xx12＝yy12
提示：(1)a∥b 的充要条件不能表示为xx12＝yy12，因为 x2，y2 有可能为 0. (2)当且仅当 x2y2≠0 时，a∥b 与xx12＝yy21等价，即两个不平行于坐标轴的共
6
向量的分解与坐标表示
《高考特训营》 ·数学 返 回
2．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个__互__相__垂__直___的向量，叫作把向量正交分解． 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝(_x_1＋__x_2_，__y_1_＋__y2_)_，a－b＝_(x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2_) ，λa＝ __(_λ_x_1，__λ_y_1_)____， |a|＝ x21＋y21.