2017-2018学年湖北省天门市、仙桃市、潜江市高二下学期期末联考文数试题

2017-2018学年高二学期期末联考试题
高二数学(文)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题000tan ,:x x R x p >∈∃的否定是（ ）
A ．x x R x ≤∈∀tan ,
B ．x x R x <∈∀tan ,
C ．000tan ,x x R x ≤∈∃
D ．000tan ,x x R x <∈∃ 2.设复数2
243i
i z -+=, 则复数z 的共轭复数是（ ）
A ．
i -25 B ．i +25 C ．i +25- D ．i -2
5- 3. 双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的两个焦点分别为21,F F ,过右焦点2F 作实轴的垂
线交双曲线C 于N M ,两点 若1MNF ∆是直角三角形, 则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．21+ C ．3 D ．31+ 4.下列类比推理正确的是( )
A.把)(c b a +与y x a +类比，则有y x y x a a a +=+
B.把)(b a a +与)(b a a +⋅类比，则有b a a b a a ⋅+=+⋅2
)（
C.把n
abc )(与
n
z y x )++（类比，则有n
n
n
n
z y x z y x ++=++)（ D.把c ab )(与c b a ⋅⋅)(类比，则有)()(b a c c b a ⋅⋅=⋅⋅
5.命题“若,y x >则))(())((2
2
2
2
3
3
y xy x y x y x y x +--=+-”的证明过程： “要证明))(())((2
2
2
2
3
3
y xy x y x y x y x +--=+-， 即证).)()(())((2
2
3
3
y xy x y x y x y x y x +-+-=+- 因为,y x >
即证))((2
2
3
3
y xy x y x y x +-+=+，
即证,3
2222333y xy y x xy y x x y x +-++-=+ 即证,3
3
3
3
y x y x +=+
因为上式成立，故原等式成立应用了（ ）
A ．分析法
B ．综合法 C.综合法与分析法结合使用 D ．演绎法 6.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如：淘宝网店主、微商等等，现调研某自由职业者的工资收入情况，记x 表示该自由职业者的平均水平每天工作的小时数，y 表示平均每天工作x 个小时的月收入.
假设y 与x 具有线性相关关系，则y 关与x 的线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=必经过点（ ） A ．()33，
B ．()43， C. ()44， D ．()54， 7.设R a ∈,则三个数32,2,2
+++a a a a （ ）
A ．都大于
31 B ．都小于31 C.至少有一个不大于31
D ．至少有一个不小于3
1
8.已知一列数按如下规律排列，1，3，-2.5，-7.12，-19.31，…，则第9个数是（ ） A ．50 B ．42 C.-50 D ．-42 9. 定义：运算⎩
⎨⎧<+≥+=⋅b a b a b
a b a b a ,2,2，若程序框图如图所示，则该程序运行后输出n 的值
是（ ）
A ．90
B ．43 C.20 D ．9
10. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“蛰堵”.已知某“蛰堵”的三视图如图所示， 则该“堑堵”的表面积为（ ）
A ．3216+ B.3432+ C.3852+ D ．3426+
11.已知等腰直角三角形ABC 三个顶点都在球O 的球面上，,4==BC AB 若球O 上的点到平面ABC 的最大距离为4，则球O 的体积为（ ） A ．
316π B ．3
32π
C.π18 D ．π36 12.体育课上，小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体育运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断：
①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球，也没有打羽毛球；
③如果小红没有打羽毛球，那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球，也没有打篮球.
已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问小方同学的运动情况是（ ） A ．踢足球 B ．打篮球 C.打羽毛球 D ．打兵乓球
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若复数,12018
i i
z +-=
则z 的虚部为 ． 14.记函数)(x f 在区间[]b a ,上的最大值与最小值之差为“悬差”，已知函数
,162)(3--=x x x f 则其在区间[]44-，上的“悬差”为 ．
15.若y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-≥++10012y y x y x ，则y x x 3+-=的最大值为 ．
16.已知函数)()(R a ax e x f x
∈+=，若过原点O 的直线l 与曲线)(x f y =相切，切点为P ,若222
++=e e OP ，则a 的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.某村庄对村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：
已知抽取的老年人、年轻人各25名 (Ⅰ)请完成上面的列联表；
(Ⅱ)试运用独立性检验思想方法，判断能否有99%的把握认为每年是否体检与年龄有关?
附：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，
18. 若.,0,0c b d c b a ><<>> （Ⅰ）求证：0>+c b ； （Ⅱ）求证：
2
2)()(d b d
a c a c
b -+<-+；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足<-+2)(c a c b 所求式2
)
(d b d
a -+<？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
19. 如图，⊥PA 底面ABCD ,四边形ABCD 是正方形，.22,//===DE AD AP AP DE
(Ⅰ）证明：平面//DCE 平面ABP ；
（Ⅱ）求三棱锥CDP E -与四棱锥ABCD P -的体积之比.
20. 已知抛物线)0(2:2
>=p px y C 与椭圆13
42
2=+y x 有共同的焦点，过点)0,1(-M 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点. (Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若16=⋅，求直线l 的方程.
21. 已知函数R a nx a ax x x f ∈-+=(122
)(22
且).0≠a （Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f 的图像在点()()22f ，处的切线方程；
（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[]21，
上的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系y xO 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧-=+=t
y mt
x 21，（t R m ,∈为参数）.以坐
标原点O 为极点，x 的轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 4.=ρ
（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C 上的点到直线l 的最大距离为6，求实数m 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数.2)(a x x f +=
（Ⅰ）若不等式1)(≤x f 的解集是{}
b x x ≤≤-1，求实数b a ,的值；
（Ⅱ）若432)(≤--x x f 对一切R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
湖北省天门市、仙桃市、潜江市2017-2018学年高二下学期
期末联考数学(文)试题试卷答案
一、选择题
1-5:ABBBA 6-10:CDCBD 11、12：DA
二、填空题
13.1010 14.208 15.6 16.)12(+-e 或1
三、解答题
17.【解】（Ⅰ）因为抽取的老年人、年轻人各占一半，所以老年人、年轻人各有25人. 于是，完成列联表如下：
（Ⅱ）根据数表，计算2K 观测值为
)
)()()(()(2d b c a d c b a bc ad n k ++++-=
26
24252576-1918502
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=）（
,635.611.538>≈
对照数表知，有99%的把握认为每年是否体检与年龄有关.
18. 【证明】（Ⅰ）因为c b >，且0,0<>c b ，所以c b ->，所以.0>+c b
(Ⅱ)因为0>>d c ,所以0>->-d c ．又因为0>>b a ,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0>->-d b c a ．所以()()02
2
>->-d b c a ．
所以2
2)
(1
)(10d b c a -<-<
.（i) 因为c d b a >>,,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得c b d a +>+． 所以.0>+>+c b d a (ii)
所以由两边都是正数的同向不等式的相乘性可将以上两不等式(i)(ii)相乘得
2
2)()(d b d
a c a c
b -+<--.
(Ⅲ)因为0>+>+c b d a ，2
2)(1
)(10d b c a -<-<
，
所以
222)()()(d b d a d b c b c a c b -+<-+<-+,或2
22)
()()(d b d
a c a d a c a c
b -+<-+<-+．(只要写出其中一个即可)
19. (Ⅰ)证明:因为⊂AB AB DC ,//平面⊄DC ABP ,平面ABP ,所以//DC 平面ABP . 同理可得,//DE 平面ABP .又D DE DC = , 所以平面//DCE 平面ABP ． (Ⅱ)解法１:因为⊂DE DE AP ,//平面⊄AP CDE ,平面CDE ,所以//AP 平面CDE .所以点P 到平面CDE 的距离等于点A 到平面CDE 的距离．
因为⊥PA 底面DE AP ABCD //,,所以⊥DE 底面ABCD ．所以AD DE ⊥． 因为四边形ABCD 是正方形,所以AD CD ⊥． 又因为D CD DE = ,所以⊥AD 平面CDE ．
故点A 到平面CDE 的距离等于AD ．即点P 到平面CDE 的距离等于AD . 因为22===DE AD AP ,四边形ABCD 是正方形, 所以2,1===CD AB DE ．
故.3
2
21221312131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
=--AD DE CD V V CDE P CDP E 三棱锥三棱锥 故.3
8
2223131=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=-AP AD AB V ABCD P 四棱锥
.4:13
8
:32:==--ABCD P CDP E V V 四棱锥三棱锥
解法2:因为⊂DE DE AP ,//平面⊄AP CDE ,平面CDE ,所以//AP 平面CDE ．所以点
P 到平面CDE 的距离等于点A 到平面CDE 的距离．
故.4
1
21ABCD P ACD P ACD E CDE A CDE P CDP E V V V V V V ------=====四棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥 故.4:1:=--ABCD P CDP E V V 四棱锥三棱锥
20.解:(Ⅰ)因为椭圆
13
42
2=+y x 的焦点坐标为()()0101-，，，,
而抛物线)0(2:2
>=p px y C 与椭圆13
42
2=+y x 有共同的焦点， 所以
,12
=p
,解得2=p ， 所以抛物线C 的方程为x y 42
=.
(Ⅱ)依题意,可设直线l 的方程为 ),(),(,12221y x B y x A my x ，-=． 联立⎩⎨
⎧=-=x
y my x 412
,整理得0442
=+-my y , 由题意, 044)4(2
>⨯--=∆m ,所以1>m 或1-<m ． 则⎩⎨
⎧==+4
42121y y m
y y .
则24242)(112
212121-=-⋅=-+=-+-=+m m m y y m my my x x ,
11441)()1)12212122121=+⋅-=++-=--=m m m y y m y y m my my x x （（.
则()()212121212122111)1)(1(,1,1y y x x x x y y x x y x y x ++++=+++=+⋅+=⋅
412412++-+=m .442+=m
(另解:()()2211,1,1y x y x MB MA +⋅+=⋅
()()212111y y x x +++=2121y y my my +⨯=()4412212+=+=m y y m )
又已知16=⋅,所以16442=+m ,解得3±=m ． 所以直线l 的方程为13-=y x 或13--=y x ． 化简得直线l 的方程为013=+-y x 或013=++y x ．
21.【解】(Ⅰ)当1=a 时,x
x x f nx x x x f 2
1)(',212)(2-+=-+=, 则切线的斜率为.2)2('=f 又2214)2(n f -=,
所以函数)(x f 的图象在))2(,2(f 处的切线方程为)2(2)2214(-=--x n y ,即
.02212=--n y x
(Ⅱ)因为x
a x a x x a ax x x a a x x f )
)(2(22)('222-+=-+=-+=, 若0>a ,令0)('<x f ,得a x <<0；令0)('>x f ,得a x >； 故函数)(x f 在区间()a ,0上单调递减,在区间()+∞,a 上单调递增．
当2≥a 时,函数)(x f 在区间[]21，
上单调递减, 故函数)(x f 在区间[]21，
上的最小值为21222)2(2
n a a f -+=； 当1≤a 时,函数)(x f 在区间[]21，
上单调递增, 故函数)(x f 在区间[]21，
上的最小值为a f +=2
1
)1(； 当21<<a 时,函数)(x f 在区间[]a ,1上单调递减,在区间[]2,a 上单调递增,
故函数)(x f 在区间[]21，
上的最小值为2122
3)(22
n a a a f -=； 若0<a , 令0)('<x f , 得a x 20-<<；令0)('>x f ,得a x 2->； 故函数)(x f 在区间()a 2,0-上单调递减,在区间()+∞,2-a 上单调递增．
当22≥-a ,即1-≤a 时,函数)(x f 在区间[]21，
上单调递减, 故函数)(x f 在区间[]21，
上的最小值为21222)2(2
n a a f -+=； 当12≤-a ,即 2
1
-≥a 时,函数)(x f 在区间[]21，
上单调递增, 故函数)(x f 在区间[]21，
上的最小值为a f +=2
1
)1(； 当221<-<a ,即2
1
1-<<-a 时,函数)(x f 在区间[]a 21
-，上单调递减,在区间[]2,2a -上单调递增,
故函数)(x f 在区间[]21，
上的最小值为)2(12)2(2
a n a a f --=-. 综上,当2
1
1-
<<-a 时,函数)(x f 在区间[]21，
上的最小值为)2(12)2(2a n a a f --=-； 当1-≤a 或2≥a 时,函数)(x f 在区间[]21，
上的最小值为21222)2(2
n a a f -+=；
当021<≤-a 或10≤<a 时,函数)(x f 在区间[]21，上的最小值为a f +=2
1)1(； 当21<<a 时,函数)(x f 在区间[]21，上的最小值为2122
3)(22
n a a a f -=． 22.．【解】(Ⅰ)由⎩
⎨⎧-=+=t y mt x 21得)2(1y m mt x -==-，消去t ,得012=--+m my x ， 所以直线l 的普通方程为012=--+m my x .
由4=ρ,得162
=ρ, 代入⎩⎨⎧==y
x θρθρsin cos ,得1622=+y x , 所以曲线C 的直角坐标方程为1622=+y x ．
(Ⅱ)曲线C :1622=+y x 的圆心为)0,0(C ,半径为4=r , 圆心)0,0(C 到直线:l 012=--+m my x 的距离为1122+--=
m m d , 若曲线C 上的点到直线l 的最大距离为6,
则6=+r d ,即6411
22=++--m m ,解得 4
3=m ． 23.．【解】(Ⅰ)由1)(≤x f ,可得12≤+a x ,
得121≤+≤-a x ,解得2
121a x a -≤≤--. 因为不等式1)(≤x f 的解集是 {}
b x x ≤≤-1, 所以⎪⎩⎪⎨⎧=--=--b a a 2
1121,解得⎩⎨⎧==01b a . (Ⅱ)62232232)(--+=--+=--x a x x a x x x f 6622)62(2+=+-+=--+≤a x a x x a x ， 若432)(≤--x x f 对一切R x ∈恒成立,则46≤+a ．
解得464≤+≤-a ,即210-≤≤-a ．故实数a 的取值范围是[]2,10--.。