1999年高考题

一九九九年全国高考数学试题
理科试题
一. 选择题:本题共有14小题;第(1)一(10)题每小题4分,第(11)一(14)题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( ) （A ）)
(N M ⋂S ⋂
（B ） S P M ⋃⋂)( （C ） S P M ⋂⋂)( （D ） S P M ⋃⋂)(
（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→ 元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是在B {a},B ,元 素的个数是 ( ) （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( )
-1-1(D)b (C)b (B)a )(a A
（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( ) (A)是增函数 （B ）是减函数 （C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是
（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x （6）在极坐标系中，曲线关于)3
sin(4π
θρ-= ( )
（A ）直线3
π
θ=对称
（B ）直线πθ6
5
=
轴对称 （C ）点(2,
)3
π
中心对称 （D ）极点中心对称
（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ） (A)cm D cm
C cm
B cm
33123)(182)(6)(36
（8）2
312
4204
43
32
2104
)(),)32(a a a a a x a x a x a x a a x +-++++++=+则（若
P M S I
的值为 （ ） (A)1 (B)-1 (C)0 (D)2
(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆403232
2
=+=-+y x y x （ ） （Ａ）
2
)
(3
)
(4
)
(6
π
π
π
π
D C B
(10)如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝
EF ,2
3
与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积 （ ） （A ）
215)
(6)(5)(2
9D C B （11）若sin (αααctg tg >>∈<
<-απ
απ
则),2
2
（ ） (A)()2
,4)(()
4
,0)(()
0,4
)(()4
,2π
ππ
π
π
π
D C B -
--
（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝ （ ） （A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25 （13）已知丙点M （1，),4
5,4()45--N 、给出下列曲线方程：
①4x+2y-1=0 ②3
2
2
=+y x ③1222=+y x ④12
22=-y x 在曲线上存在点P 满足
MP P N =的所有曲线方程是 （ ）
（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④
（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。

根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ） （A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

（15）设椭圆.)012122
22L F b a b
y a x ，右准线为的右焦点为（
>>=+若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到L 1的距离，则椭圆的离心率是 。

（16）在一块并排10 垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，
为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种 （用数字作答）
（17）若正数a 、b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是
（18）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面βα、之外的两条直线。

给出四个论断： ① n m ⊥ ② βα⊥ ③ β⊥n ④α⊥m
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 三．解答题：本大题共6小题；共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（19）（本小题满分10）
解不等式)1,0.(1log 22log 3≠>-<-a a x x a a （20）（本小题满分12分）
设复数z ＝3cos 的最大值以求函数)2
0(arg .sin 2π
θθθθ<
<-=⋅+z
y i 及对应的
θ值
(21)(本小题满分12分) 如图：已知正四棱锥
ABCD －EAC D D E D C B A 上，截面在棱点11111,∥
的体积。

－）求三棱锥（之间的距离；
与）求异面直线（的面积；）求截面（＝，所成的角为与底面且面EAC B AC B A EAC a
AB ABCD EAC B D 111132145,
（22）（本小题满分12分）
右图为一台冷轧机的示意图。

冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊 逐步减薄后输出。

（1）输入钢带的厚度为α,输出钢带的厚度为β， 若每对轧辊的减薄率不超过0r ，问冷轧机至少需要 安装多少对轧辊？ （一对轧辊减薄率＝
）输入该对的带钢厚度
从该对输出的带钢厚度
输入该对的带钢厚度－
（2）已知一台冷轧机共有4台减薄率为20％的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm 。

若第
k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵
点的间距为k l .为了便于检修，请计算321.L L L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）
已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线。

当
的交点
横坐标大于的图象没有的图象与）证明：（义域；的表达式，并写出其定）求（的表达式；
和）求（定义。

由设数列），的线段（其中正常数时，该图象是斜率为1)(3)(2..1),2,1()(}{1)2,1,0(121x y x f y x f x x x n n x f x b b n n y n n n n n ==⋅⋅⋅==≠⋅⋅⋅=+≤≤
(24)（本小题满分14分）
如图，给出定点A （a, 0）(a>0 且a 1≠和直线l: x=-1 ,B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C 点，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系。

文科试题
一选择题:本题共有14小题;第(1)一(10)题每小题4分,第(11)一(14)题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(2) 如图,I 是全集,M 、P 、S 、是I 的3个子集，由阴影部分所表示的集合是 ( ) （A ）)
(N M ⋂S ⋂
（E ） S P M ⋃⋂)( （F ） S P M ⋂⋂)( （G ） S P M ⋃⋂)(
（2）已知映射f:A 中中的元素都是集合其中，集合A B A B },,3,2,1,1,2,3{,---=→
元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A 中则集合中和它对应的元素是
在B {a},B ,元 素的个数是 ( )
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
（3）若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab 等于则)(,0b g ≠ ( )
-1-1(D)b (C)b (B)a )(a A
（4）函数f(x)=Msin(在区间)0)(>+ωϕωx [a,b]上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M,则函数g(x)=Mcos(上在],[)b a x φω+ ( ) (A)是增函数 （B ）是减函数 （C ）可以取得最大值M （D ）可以取得最小值－M （5）若f(x)sinx 是周期为π的奇函数，则f(x)可以是
P M S I
（A ）sinx (B)cosx (C)sin2x (D)cos2x
（6）曲线关于022222
2
=-++y x y x （ ） （A ）直线2=
x 轴对称 （B ）直线y=-x 轴对称
（C ）点）中心对称，）点（－（中心对称
02)2,2(D -
（７）若干毫升水倒入底面半径为２cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为６cm ，若将这
些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ） (A)cm D cm
C cm
B cm
33123)(182)(6)(36
（8）2
312
203
32
2103
)(),)32(a a a a x a x a x a a x +-++++=+则（若
的值为 （ ） (A)－1 (B)1 (C)0 (D)2
(9)直线为得的劣弧所对的圆心角截圆403232
2
=+=-+y x y x （ ） （Ａ）
2
)
(3
)
(4
)
(6
π
π
π
π
D C B
(10)如图，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中 , 已知面ＡＢＣＤ是边长为３的正方形ＥＦ∥ＡＢＥＦ＝
EF ,2
3
与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积 （ ） （A ）
215)
(6)(5)(2
9D C B （11）若sin (αααctg tg >>∈<
<-απ
απ
则),2
2
（ ） (A)()2
,4)(()
4
,0)(()
0,4
)(()4
,2π
ππ
π
π
π
D C B -
--
（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R ＝ （ ） （A ）10 （B ）15 （C ）20 （D ）25 （13）给出下列曲线： ①4x+2y-1=0 ②3
2
2
=+y x ③1222
=+y x ④12
22
=-y x 其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是 （ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④
（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。

根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ） （A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

（15）设椭圆.)012122
22L F b a b
y a x ，右准线为的右焦点为（>>=+若过1F 且垂直于x
轴的弦的长等于点F 1到L 1的距离，则椭圆的离心率是 。

（16）在一块并排10 垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，
为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有种 （用数字作答）
（17）若正数a 、b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是
（18）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面βα、之外的两条直线。

给出四个论断： ① n m ⊥ ② βα⊥ ③ β⊥n ④α⊥m
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 三．解答题：本大题共6小题；共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（19）（本小题满分10）
解方程04lg 32lg 3=+--x x （20）（本小题满分12分）
求已知项和记为的前数列).(35.}{N n S a S n a n n n n ∈-=
的值)(lim 1231-∞
→+⋅⋅⋅++n n a a a
（21）（本小题满分12分）
设复数z ＝3cos 的最大值以求函数)2
0()arg (.sin π
θθθθ<
<-=⋅+z tg y i 及对应
的θ值
(22)(本小题满分12分) 如图：已知正四棱锥
ABCD －EAC D D E D C B A 上，截面在棱点11111,∥
的体积。

－）求三棱锥（之间的距离；
与）求异面直线（的面积；）求截面（＝，所成的角为与底面且面EAC B AC B A EAC a
AB ABCD EAC B D 111132145,
（23）（本小题满分12分）
右图为一台冷轧机的示意图。

冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊 逐步减薄后输出。

（3）输入钢带的厚度为α,输出钢带的厚度为β， 若每对轧辊的减薄率不超过0r ，问冷轧机至少需要 安装多少对轧辊？ （一对轧辊减薄率＝
）
输入该对的带钢厚度
从该对输出的带钢厚度
输入该对的带钢厚度－ （4）已知一台冷轧机共有4台减薄率为20％的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm 。

若第
k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵
点的间距为k l .为了便于检修，请计算321.L L L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽
(24)（本小题满分14分）
如图，给出定点A （a, 0）(a>0且a 1≠)和直线l: x=-1 ,B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于C 点，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系。

参考答案
（文、理科）
一．（1）C （2）A （3）A （4）C （5）B （6）B （7）B （8）A （9）C （10）D （11）B （12）D （13）D （14）C 二．（
15）
2
1
（16）12 （17）[9, +∞) (18)m βαβαβαβα⊥⇒⊥⊥⊥⊥⇒⊥⊥⊥n m n m n m n ,,;
,,或
三．（理⎪⎩⎪⎨⎧≥->--<-02log 30
1log 2)1log 2(2log 32
x x x x a a a a 可解得：
当a>1时得所求的解集是：}{}{4
332a x x a x a x >⋃<≤
当0＜a ＜1时得所求的解集是：}0{}{3
24
3a x x a x a x <<⋃≤< （文）x=100 (20)(理)由0<02
><
θπ
θtg 得
由z=3cos θθθπ
θθtg z tg z i 3
2
cos 3sin 2)(arg 2
arg 0,sin 2==
<
<+及得
故tgy=tg(θθ
ϑθ
θθtg tg tg tg tg z 22132132)arg 2+=
+-=- ∵
θθtg tg 23+≥26 ∴
θθ
tg tg 231
+≤126 当且仅当
上式取等号时即时,2
6,)20(23=<<=θπθθθtg tg tg 故当12
6
,26取最大值函数时tgy arctg
=θ ∵).2
,
2
(π
π
θ-
∈-=y arctgz y 故 ∴y 12
6
max arctg
= (文)∵111).1(s a n s s a n n n =>-=- ∴4335415)(5111111=-=-
==-=----a s a a a a s s a a n n n n n n n 故又即 故数列的等比数列公比为是首项为2
112531)4
1(,43,,-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-a a a a a n
∴
5
416
1143
)(lim 12531=
-=
+⋅⋅⋅+++-∞
→n n a a a a . (21)(理)(1)作辅助线如图所示:
S 解得:22
2a EAC =
∆ (2)可求得A 离即为所求异面直线的距a D D A 211==
(3) 求得32114
2232231,23431a a a V a D B Q B EAC B =⋅⋅===-故 (文)由0<02
><
θπ
θtg 得
由z=3cos θθθπ
θθtg z tg z i 3
1
cos 3sin )(arg 2
arg 0,sin ==
<
<+及得
故y=tg(θθ
ϑθ
θθtg tg tg tg tg z +=
+-=-3231131)arg 2 ∵
323≥+θθtg tg ∴
θθ
tg tg +32
≤33 当且仅当
3
3,3,)20(3max ==<<=y tg tg 时即时πθπθθθ. (22)(理)(1)厚度为α的钢带经过减薄率均为0r 的n 对轧辊后厚度为n
r )1(0-α 为使输出钢带的厚度不超过β,冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足 α
β
αββαlg )1lg(:)1()1(000≤-≤-≤-r n r r n
n
两边取对数得即 即的整数对轧辊于因此至少需要安装不小)
1lg(lg lg )1lg(lg lg 00r r n ----≥
α
βαβ
(2)第三对轧辊出口疵点间距为轧辊周长,在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机 出口处两疵点间带钢体积相等,因宽度不变,有)201(16003⋅-⋅=L 故 )(31258
0)(250080)(2000801600
22332mm L L mm L L mm L =⋅==⋅==⋅=
同理 填表如下:
(文)见理科第(21)题
(23)(理) (1)依题意
{}.
1)()(,1,,1,)(,0)()(,0)(1
11)()()()
1()()()(,,),1
,
1(.)(,1
1,1)3()
,0[)(,10)1
,
0[)(,1:,101
1)1(lim lim ,1.),3,2,1(1
)1(,)()
,3,2,1,(),()()1(,,1.
)(,10,)1(,10)2(1)1(111,11
,1,,2,1,)1
(,1)(,)()
()(,)(.01
11,)()(,)(,21,2)(.110
)
0()(,1)(,10,1)(,0)0(111
1
111
111111
1
1102121212211101的交点的图象没有横坐标大于的图象与故函数成立恒有时可知当仿上述证明时当其次成立即有所以故又此时有使存在对任意的成立恒有时先证明当的定义域为时当的定义域为时当综上所述时时当时当进行讨论须对的定义域为求知由时即当时当时即当知从当得由公比为
其首项为为等比数列由此知数列故又故得段线段的斜率为图象中第由函数记得即故由
的线段斜率为的图象是
函数时当又由得故由
的线段的图象是斜率为函数时当又由x y x f x x f x b x x f x x f x x f x x f x b
b n x f x x f x x f n x x x x b x f x f x x x x b b
x x x f b b
x b x f b b b x f b x n b b b b b b x b n b b b x x f n x x x x x b n x f x x x n y n x x f x x y y b b b b
b x b b
x x n b
x x n x f n x f b x x x f x f b n x f y x b
x b x x b x x x f x f b x f y y x f x x f x f b x f y y x f f n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n =<><>>->->-=+⋅⋅⋅++
>=->-⇒≥->-=-≤<-∈<-<<>∞+<<->∞→∞→<<-=
--=>⋅⋅⋅=--=⋅⋅⋅=≤≤-+=≤≤+≤≤=≤≤=≤≤--=+⋅⋅⋅++=≠-⋅
⋅⋅==--===--==+
==-=--=≤≤===--==≤≤==-+-∞→∞→-++----------
(文)同理科第(22)题
(24)依题意,记(-1, b) (b )R ∈,则直线OA 和OB 的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(x,y),则有
11 0平分由OC a x ,<≤∠AOB,知点C 到OA.OB 距离相等,根据点到直线的距离公式得 21b bx
y y ++= ①
依题意设,点C 在直线AB 上,故有 )(1a x a b
y -+-= 由a x y
a b a x -+-=⇒≠-)1(0 ② 将②代入①得
0])1(2)1[(])1([])()1(1[22222
22=++--⇒-+-=-++y a ax x a y a x xy a y a x y a y
若)0(0)1(2)1(,022b x y a ax x a y <<=++--≠则
若y=0,则b=0,∠AOB=,π点C 的坐标为(0, 0),满足上式.
综上得出点C 的轨迹方程为
(ⅰ)当a=1时,轨迹方程化为)0(2a x x y <≤= ③
(ⅱ) 当a ≠1时,轨迹方程化为 )0(11)1()1(2
22
22
a x a a
y a a a a x <≤=-+--- ④ 所以,当0<a<1时,方程③表示椭圆弧段;
当a>1时,方程④表示双曲线一支的弧段.
(完). )
0(0)1(2)1(22a x y a ax x a <≤=++--。