高三数学上学期期中试题 理 新版-新人教版

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2019届高三数学上学期期中试题 理
（时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选选项填入答题卡内）
1.已知集合{
}3,2,1=A ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈<-+=Z x x x x B ,031，则=⋃B A
A ．{}2,1,0
B ．{
}3,2,1 C ．{}3,2,1,0 D ．{}3,2,1,0,1- 2. 在复平面内，复数
i
-11
的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.设，)1,3(
-=a ，
)3,(-=x ，且，⊥，则向量与+ A. 30 B. 60 C. 120 D.150
4.函数()()
1
ln 1f x x =++
A ．[)
(]2,00,2- B ．()(]1,00,2- C ．[]2,2- D ．(]1,2-
5.已知5log 2=a ，32=b ，2log 3=c ，则a ，b ，c 的大小关系为
A ．c b a >>
B ．c a b >>
C ．a b c >>
D ．b a c >>
6．已知)(x f 、)(x g 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(2
3++=-x x x g x f ，
则=+)1()1(g f
A ． -3
B ．-1 C. 1 D ． 3
7．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中能用二分法求图中交点横坐标的是
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ． ②④
8.由曲线2
x y =，直线2+=x y 所围成图形的面积为 A ．
2
7 B ．
103 C ．65 D ．2
9
9.下列四个结论中正确的个数是
(1) 2"20"x x +->是"1"x >的充分不必要条件；
(2)“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件；
(3)"若4
x π=
则tan 1"x =的逆命题为真命题；
(4)若()f x 是R 上的奇函数，则32(log 2)(log 3)0f f +=
A. 0
B. 1
C. 2
D.3 10.已知函数2
()f x ax x a =-++1在(,2]-∞上单调递减，则a 的范围是 A ．1[0,]4 B ．1(0,]4 C ． 1[,)4
+∞ D ．[0,4]
11.将函数)62sin(π
-
=x y 的图象向左平移
6
π
个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为
A ．12π-=x
B ．12π=x
C ．6π=x
D ．3
π
=x
12．已知函数) ],1[( ln 2e e
x x a y ∈+=的图象上存在点P ，函数22
--=x y 的图象上存在点
Q ，且点P ，Q 关于原点对称，则实数a 的取值范围为
A ． ]14,3[e
+ B ． ],3[2
e C ．],14[2
2e e
+
D ．),[2+∞e 二、填空题（每小题5分,共20分.请将答案填在答题卷上.） 13．命题“20x x ∀∈≥R ，”的否定是
14．设{}n a 是等差数列，且31=a ，3652=+a a ，则{}n a 的通项公式为 15．已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，若//a b ，则23a b +=
16．已知函数)(x f 对 ,,21R x x ∈∀且,21
x x ≠满足,0)
()(2
112<--x x x f x f 并且)(x f 的图象经过
),1,1(),7,3(-B A 则不等式34)(<-x f 的解集是
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）
若二次函数2
()f x ax bx c =++（a ，b ，c R ∈）满足(1)()41f x f x x +-=+，且(0)3f =．
（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在[]1,0上的最大值与最小值．
18．（本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，.4,1351a a a ==
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前项和.若,63=m S 求m .
19．（本小题满分12分）
已知向量
),cos ),sin(2(x x m -=π)),2
sin(2,cos 3(x x -=π
函数
1)(-∙=n m x f
（1）求函数()f x 的解析式；（2）当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求()f x 的值域.
20．（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对应边分别是a ，b ，c ，已知.2
sin 8)sin(2
B
C A =+ （1）求B cos ；
（2）若6=+c a ，ABC ∆的面积为2，求b .
21.（本小题满分12分）已知函数2
()ln f x ax b x =+在1x =处有极值12
． （1）求,a b 的值；
（2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间.
22．(本小题满分12分）
已知函数R x a x e x f x ∈+-=,)(2
的图象在点0=x 处的切线为bx y =．
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）当R x ∈时，求证：x x x f +-≥2)(；
（3）若kx x f >)(对任意的),0(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围；
高三数学理 答案
一、选择题：
二、填空题（每小题5分,共20分.请将答案填在答题卷上.） 13．命题“20x x ∀∈≥R ，”的否定是 .0,2
00<∈∃x R x
14．设{}n a 是等差数列，且31=a ，3652=+a a ，则{}n a 的通项公式为36-=n a n
15．已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，若//a b ，则23a b += ．
16．已知函数)(x f 对 ,,21R x x ∈∀且,21
x x ≠满足,0)
()(2
112<--x x x f x f 并且)(x f 的图象经过
),1,1(),7,3(-B A 则不等式34)(<-x f 的解集是 )3,1(- ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.（本题满分10分）
若二次函数2
()f x ax bx c =++（a ，b ，c R ∈）满足(1)()41f x f x x +-=+，且(0)3f =．
（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在[]1,0的最大值与最小值．
解:（1）由题意，=-+)()1(x f x f ])1()1([2
c x b x a ++++)(-2
c bx ax ++ b a ax ++=214+=x
⎩⎨⎧=+=∴142b a a ， 解得⎩
⎨⎧==1-2b a . 又3)0(==c f
∴的解析式为：)(x f 32)(2
+-=x x x f （2） 由（1），823)4
1
(232)(2
2
+
-=+-=x x x x f ，函数的对称轴为4
1=x ， 上单调递减，
在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴41,0)(x f .141上单调递增，在⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡ ;8
23
)41()(min =
=∴f x f )}1(),0(m ax {)(max f f x f =4}4,3max{== [].8
2341,0)(，最小值为上的最大值为
在x f ∴ 18．（本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，.4,1351a a a ==
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前项和.若,63=m S 求m .
解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得.1-=n n q a 由已知得.42
4q q = 解得0=q （舍去），2-=q 或2=q .故 1)2(--=n n a 或.21
-=n n a （2）若 1
)
2(--=n n a ，则.3
)2(-1n
n S -=
由,63=m S 得,188)2(-=-m
此方程没有正整数解；
若 12-=n n a ，则.12-=n n S 由,63=m S 得,642=m
解得.6=m
综上，.6=m
19．（本小题满分12分） 已知向量),cos ),sin(2(x x m -=π
)),2
sin(2,cos 3(x x -=π
函数
1)(-∙=n m x f
（1）求函数()f x 的解析式；（2）当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求()f x 的值域. 解:(1))cos ),sin(2(x x -=π
),cos ,sin 2(x x =
))2sin(2,cos 3(x x -=π
)cos 2,cos 3(x x =
1)(-⋅=∴n m x f 1)cos 2cos sin 32(2-+=x x x
x x 2cos 2sin 3+=
)6
2sin(2π
+
=x
).62sin(2)()(π
+=∴x x f x f 的解析式为：
（2） 由（1）可知)62sin(2)(π
+
=x x f 当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求()f x 的值域；
，即20,2,
0ππ≤≤⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈x x 67626πππ≤+≤∴x 1)62sin(21≤+≤-∴πx ，
2)6
2sin(21≤+≤-∴π
x [].2,1)(-的值域为即函数x f
20．（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对应边分别是a ，b ，c ，已知.2
sin 8)sin(2
B
C A =+ （1）求B cos ；
（2）若6=+c a ，ABC ∆的面积为2，求b . 解：（1）由题设及π=++C B A 得2
sin
8sin 2
B
B =，故)cos 1(4sin B B -=. 上式两边平方，整理得015cos 32cos 172
=+-B B ，解得1cos =B (舍去)，17
15cos =
B . （2）由1715cos =
B 得,178sin =B 故.17
4sin 21ac B ac S ABC ==∆ 又.2=∆ABC S 则.2
17
=ac 由余弦定理及6=+c a 得，
B ac c a b cos 2222-+=)cos 1(2)(2B ac c a +-+=)17
15
1(217236+⨯⨯-=4=
2=∴b
21.（本小题满分12分）已知函数2
()ln f x ax b x =+在1x =处有极值
1
2
． （1）求,a b 的值； （2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间.
解：解：（1）'()2b f x ax x =+，则22011ln12a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴121
a b ⎧
=
⎪⎨
⎪=-⎩. （2）2
1()ln 2
f x x x =+的定义域为(0,)+∞，211'()x f x x x x --=+=， )(11,0)(舍或则令-==='x x x f
单调递减；时当)(,0)(,10x f x f x <'<<单调递增；时当)(,0)(,1x f x f x >'>
);1,0()1,0()(是上单调递减，递减区间在x f ∴
).,1(),1(+∞+∞是上单调递增，递增区间在
22．(本小题满分12分）
已知函数R x a x e x f x ∈+-=,)(2的图像在点0=x 处的切线为bx y =． （1）求函数)(x f 的解析式；
（2）当R x ∈时，求证：x x x f +-≥2)(；
（3）若kx x f >)(对任意的),0(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）x e x f a x e x f x x 2)(,)(2-='+-=
由已知⎩⎨⎧=='=+=b
f a f 1)0(01)0(解得⎩⎨⎧=-=11b a ，故1)(2
--=x e x f x
（2）令1)()(2
--=-+=x e x x x f x g x
， 由01)(=-='x
e x g 得0=x
当)0,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当),0(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增
∴0)0()(min ==g x g ，从而x x x f +-≥2
)(
（3）kx x f >)(对任意的),0(+∞∈x 恒成立⇔k x
x f >)
(对任意的),0(+∞∈x 恒成立 令0,)
()(>=
x x
x f x g , ∴2
222)
1)(1()1()2()()()('x
x e x x x e x e x x x f x f x x g x x x ---=----=-'= 由（2）可知当),0(+∞∈x 时，012>--x e 恒成立 令0)(>'x g ，得1>x ；0)(<'x g 得10<<x
∴)(x g 的增区间为),1(+∞，减区间为)1,0(，2)1()(min -==e g x g ∴2)1()(min -==<e g x g k ，∴实数k 的取值范围为()2,-∞-e .。