2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章 3.7 点到平面的距离 Word版含解析

3．7点到平面的距离
[读教材·填要点]
1．点到平面的距离
(1)定义：从空间中一点P到平面α作垂线PD交平面α于D，则线段PD的长度d称为点P到平面α的距离．
―→
(2)求法：平面α的法向量n以及平面上任一点A，则在法向量n所在方向上的投
AP
|·n|n||
影长度d就等于点P到平面α的距离，即d＝.
2．直线与平面的距离
设直线l平行于平面α，则l上所有的点到α的距离相等，称为l与α的距离，显然，只要在l上任取一点P，求出P到α的距离，就得到l与α的距离．
3．平面与平面的距离
设两个平面α与β平行，则β上所有的点到α的距离d相等，d称为两个平行平面α，β之间的距离．显然，只要在β上任取一点P，求出P到α的距离，就得到了这两个平面的距离．
[小问题·大思维]
1．求直线与平面的距离、平面与平面的距离时，直线与平面、平面与平面之间有什么关系？
提示：直线与平面平行，平面与平面平行．
2．点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，三者之间有什么关系？
提示：求直线与平面的距离，平面与平面的距离，其实质是求点到平面的距离．
求点到平面的距离
四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)求证：DE ∥平面PFB ；(2)求点E 到平面PFB 的距离．[自主解答]　(1)证明：以D 为原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)．
＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)，FP ―→ FB ―→
＝(0,1,1)，DE ―→
∴＝＋，
DE ―→ 12FP ―→ 12FB ―→ ∴∥平面PFB .
DE ―→
又∵DE ⊄平面PFB ，∴DE ∥平面PFB .(2)∵DE ∥平面PFB ，
∴点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离．设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则Error!⇒Error!
令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.
∴n ＝(2，－1,1)，又∵＝(－1,0,0)，
FD ―→
∴点D 到平面PFB 的距离d ＝
＝＝.|·n ||n |2
663
∴点E 到平面PFB 的距离为
.6
3
利用空间向量求点到平面的距离的四步骤
1．长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP |＝2.求点M 到平面AB 1P 的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4,0,0)，B 1(0,0,4)，P (0,4,0)，M (2,3,4)
设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1P 的一个法向量，则n ⊥，n ⊥，
AB 1―→ AP ―→
∵＝(－4,0,4)，＝(－4,4,0)，
AB 1―→ AP ―→
∴Error!
因此可取n ＝(1,1,1)，由于＝(2，－3，－4)，
MA ―→
所以点M 到平面AB 1P 的距离为
d ＝＝＝，
|·n ||n ||2×1＋(－3)×1＋(－4)×1|3533故M 到平面AB 1P 的距离为.
533
求直线与平面、平面与平面的距离
棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，DG ＝
DD 1，过E ，F ，G 的平面交AA 1于点H ，求直线A 1D 1到平面EFGH 的距离．1
3
[自主解答]　以D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则E ，F ，
(1，1，12)(0，1，1
2
)
G ，D 1(0,0,1)，
(0，0，1
3
)
∴＝(－1,0,0)，
EF ―→
＝.FG ―→ (
0，－1，－16
)
设平面EFGH 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·＝0，且n ·＝0，
EF ―→ FG ―→
即Error!令z ＝6，可得n ＝(0，－1,6)．又＝，∴d ＝＝.
D 1F ―→ (
0，1，－12)
|·n ||n |43737
(1)求直线到平面的距离和平面到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离．(2)用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后求出平面的法向量，正确运用公式求解．
2．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离．解：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，A 1B ―→ A 1D ―→ ＝(－1,0,0)．A 1D 1―→
设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则Error!⇒Error!
令z ＝1，得y ＝1，x ＝－1，∴n ＝(－1,1,1)．
∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝
＝＝.|·n ||n |1
333
∵平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离等于点D 1到平面A 1BD 的距离，∴平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为
.
33解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试
如图，已知正方体ABCD ­A
1B 1C 1D 1的棱长为a ，求直线BD 与B 1C 的
距离．
[解]　法一：连接AC ，交BD 于点O ，则O 为AC ，BD 的中点，取CC 1的中点M ，连接BM 交B 1C 于E ，连接OM ，AC 1，则OM ∥AC 1，过E 作EF ∥OM 交OB 于F ，则EF ∥AC 1，
又斜线AC 1的射影为AC ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥AC 1，∴EF ⊥BD .同理AC 1⊥B 1C ，EF ⊥B 1C .∴EF 为BD 与B 1C 的公垂线．
∵M 为CC 1的中点，∴△MEC ∽△BEB 1，∴
＝＝.MC BB 1ME BE 1
2
∵BM ＝
a ，∴BE ＝MB ＝a ，5
22
353
∵EF ∥OM ，∴
＝＝，BF BO BE BM 2
3故BF ＝OB ＝a ，
2
323∴EF ＝
＝
a .
BE 2－BF 233法二：(转化为直线到平面的距离)BD ∥平面B 1D 1C ，B 1C ⊂平面B 1D 1C ，故BD 与B 1C 的距离就是BD 到平面B 1D 1C 的距离为h ，由VB ­B 1D 1C ＝VD 1­B 1BC ，
即·(a )2h ＝·a 2·a ，解得h ＝a .13342131
233法三：(转化为两平行平面间的距离)易证：
平面B 1D 1C ∥平面A 1BD ，AC 1⊥平面A 1BD ，用等体积法易证A 到平面A 1BD 的距离为
a .同理可知C 1到平面B 1D 1C 的距离为
a ，而AC 1＝a ，故两平面间的距离为
a .33
33
33
3
即BD 与B 1C 的距离为
a .
33法四：(垂面法)如图，∵BD ∥平面B 1CD 1，B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥OO 1，∴B 1D 1⊥平面OO 1C 1C .
∵平面OO 1C 1C ∩平面B 1D 1C ＝O 1C ，O 1∈B 1D 1，故O 到平面D 1B 1C 的距离为Rt △O 1OC 斜边上的高，
h ＝＝＝a .
OC ·OO 1O 1C 2
2
a ·a
3
2
·a 33法五：(极值法)如图，在B 1C 上取一点M ，作ME ⊥BC 交BC 于E ，
过E 作EN ⊥BD 交BD 于N ，易知MN 为BD 与B 1C 的公垂线时，MN 最小．
设BE ＝x ，则CE ＝ME ＝a －x ，EN ＝
x ，2
2
∴MN ＝
12
x 2
＋(a －x )2＝ ＝
，32x 2
－2ax ＋a 232(x －23a )
2＋a 23∴当x ＝a 时，MN min ＝a .
2
333
1．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，则点P 到BC 的距离是( )
A. B ．255C ．3D ．45
5
解析：在平面ABC 内作AH ⊥BC ，垂足为H ，连接PH ，则PH 即为点P 到BC 的距离．PH ＝＝＝4.82＋4264＋165答案：D
2．△ABC 中，∠C ＝90°，点P 在△ABC 所在平面外，PC ＝17，点P 到AC ，BC 的距离PE ＝PF ＝13，则点P 到平面ABC 的距离等于( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：点P 在平面ABC 内的射影在∠C 的平分线上，易求d ＝7.答案：A
3．已知夹在两平行平面α，β内的两条斜线段，AB ＝8 cm ，CD ＝12 cm ，AB 和CD 在α内的射影的比为3∶5，则α，β间的距离为( )
A. cm
B. cm 517
C. cm
D. cm
1921解析：设α，β间距离为d ，AB ，CD 在α内的射影长分别为3x,5x ，由Error!解得d ＝.19答案：C
4.如图，在三棱锥A ­BCD 中，AC ⊥底面BCD ，BD ⊥DC ，BD ＝DC ，AC ＝a ，∠
ABC ＝30°，则C 点到平面ABD 的距离是________．
解析：设C 到平面ABD 的距离为h ，则由V C ­ABD ＝V A ­BCD 得，S △ABD ·h ＝S △BCD ·AC ，
131
3即××BD ·CD ·AC ＝×BD ·AD ·h ，1312131
2解得h ＝a .
155答案：
a 155
5.如图，等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 中点，沿AD 把△ADC 折叠到△ADC ′处，使二面角B ­AD ­C ′为60°，则折叠后点A 到直线BC ′的距离为________．
解析：取BC ′中点E ，连接AE ，DE ，
则AE ⊥BC ′，DE ⊥BC ′，∵BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴BD ⊥AD ，C ′D ⊥AD ，
∴∠BDC ′即为二面角B ­AD ­C ′的平面角，∴△BDC ′为正三角形，即|AE |为A 到BC ′的距离，
Rt △AEB 中，|AE |＝＝.|AB |2－|BE |215答案：15
6．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，求D 到平面ABC 的距离．解：设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·＝0，n ·＝0，
AB ―→ AC ―→
∴Error!即Error!⇒Error!
令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．
∴cos 〈n ·〉＝，
AD ―→ 3×(－7)＋2×(－7)－2×732＋22＋(－2)2·(－7)2＋(－7)2＋72∴点D 到平面ABC 的距离为
d ＝||·|cos 〈n ·〉|＝＝.
AD ―→ AD ―→ 4917
4917
17
一、选择题
1．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离之比是1∶2∶3，PO ＝2，则点P 到这三个平面的距离分别是( )
14A ．2,4,6 B ．4,8,12C ．3,6,9
D ．5,10,15
解析：将P 点到三个平面的距离k,2k,3k 看作是一个长方体的长、宽、高，而PO 为其对角线，
则PO 2＝k 2＋(2k )2＋(3k )2，解得k ＝2，∴P 点到这三个面的距离分别是2,4,6.答案：A
2．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，设点C 到平面ABC 1D 1的距离为d 1，D 到平面ACD 1的距离为d 2，BC 到平面ADD 1A 1的距离为d 3，则有( )
A ．d 3<d 1<d 2
B ．d 1<d 2<d 3
C ．d 1<d 3<d 2
D ．d 2<d 1<d 3
解析：易求d 1＝a ，d 2＝
a ，d 3＝a .
2233
答案：D
3．已知直二面角α­l ­β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足，若AB ＝2，AC ＝BD ＝1，则D 到平面ABC 的距离等于( )
A. B.2333
C.D ．1
63
解析：设点D 到平面ABC 的距离等于h .依题意得，AC ⊥β，AC ⊥BC ，
BC ＝＝，CD ＝＝.AB 2－AC 23BC 2－BD 22由V D ­ABC ＝V A ­DBC 得，S △ABC ×h ＝S △DBC ×AC ，131
3××h ＝××1，
13(
1
2
×1×3)13(
1
2
×
2×1)
由此解得h ＝，即点D 到平面ABC 的距离等于
.
63
63答案：C
4.如图，正方体的棱长为1，C ，D ，M 分别为三条棱的中点，A ，B 是
顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是( )
A. B.23
63C. D.13
66
解析：设点M 到ABCD 的距离为h ，连接AC ，AM ，
作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接CM ，则V C ­ABM ＝V M ­ABC ，
V C ­ABM ＝S △ABM ×CM ＝××1＝，
1313141
12
又V M ­ABC ＝××AB ×CF ×h ＝××××h ＝，
131213122322h
4则由＝，得h ＝.
h 41121
3答案：C 二、填空题
5．∠BAC 在平面α内，PA 是α的斜线，若∠PAB ＝∠PAC ＝∠BAC ＝60°，PA ＝a ，则点P 到α的距离为________．
解析：作PO ⊥α于O .
由∠PAB ＝∠PAC ，可知AO 平分∠BAC ，作OC ⊥AC 于C ，连接PC ，则PC ⊥AC ，PA ＝a ，AC ＝a ，
12于是AO ＝
＝a ，AC
cos 30°33
∴PO ＝＝a .PA 2－AO 263
答案：
a
636．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为________．
解析：如图所示，设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1，
故平面AA 1O 1⊥平面AB 1D 1，其交线为AO 1，
在平面AA 1O 1内过点A 1作A 1H ⊥AO 1于H ，则易知A 1H 的长即是点A 1到平面AB 1D 1的距离．
在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1＝，
2AO 1＝＝3，
A 1O 21＋AA 21
2由A 1O 1·A 1A ＝A 1H ·AO 1，可得A 1H ＝.
4
3答案：
43
7.如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为________．
解析：连接A 1D 交AD 1于E .则A 1D ⊥AD 1，A 1D ⊥AB ，∴A 1D ⊥平面ABC 1D 1，
∴A 1E 为A 1到平面ABC 1D 1的距离，A 1E ＝A 1D ＝，
1
222∵O 为A 1C 1的中点，
∴O 到平面ABC 1D 1的距离等于A 1E 的，
12∴d ＝A 1E ＝.
1
224答案：
24
8．已知平面α∥β，且它们之间的距离为d ，给出以下命题：①若直线a ⊂α，则a 到β的距离也为d ；②若直线b ∥β，且b 到β的距离为d ，则b ⊂α；
③若平面γ∩α＝l 1，γ∩β＝l 2，则l 1与l 2间的距离的取值范围为[d ，＋∞)；④若平面γ∥α，γ∥β，且α与γ的距离为d 1，β与γ的距离为d 2，则d 1＋d 2＝d .其中假命题有________．(填写序号)．
解析：∵a ⊂α，∴α上任意一点即为α内的一点，它到平面β的距离就是α与β间的距离，故命题①为真命题；
当平面α与直线b 在平面β的两侧时，也可以有b ∥β且b 与β的距离为d ，这时b ⊄α，故命题②为假命题；
当γ⊥α与β相交时，l 1与l 2间的距离为d ，而当γ与α，β相交且不垂直时，l 1与l 2间的距离大于d ，由此可知命题③是真命题；
当γ平面夹在α与β之间时，有d 1＋d 2＝d ，但当γ不夹在α与β之间时，d 1＋d 2≠d ，故命题④为假命题．
综上所述，假命题为②④.
答案：②④
三、解答题
9．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．
解：如图，建立空间直角坐标系D 1­xyz ，则A (2,0,2)，E (0,2,1)，
F (1,0,0)，
G (2,1,2)，所以＝(1，－2，－1)，＝(2，－1,1)， ＝EF ―→ EG ―→ GA ―→
(0，－1,0)．
设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，则由n ⊥，n ⊥，得x －2y －z ＝EF ―→ EG ―→
0,2x －y ＋z ＝0，从而x ＝y ，所以可取n ＝(1,1，－1)，所以在n 上射影的长度为＝＝GA ―→ |·n ||n ||－1|3
，即点A 到平面EFG 的距离为.3333
10．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M ，N ，E ，F 分别为A 1D 1，A 1B 1，C 1D 1，B 1C 1的中点，求平面AMN 与平面EFBD 间的距离．
解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则A (4,0,0)，M (2,0,4)，B (4,4,0)，E (0,2,4)，F (2,4,4)，N (4,2,4)，
从而＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－EF ―→ MN ―→ AM ―→ BF ―→
2,0,4)，
∴＝，＝，EF ―→ MN ―→ AM ―→ BF ―→
∴EF ∥MN ，AM ∥BF ，
∴平面AMN ∥平面EFBD .
设n ＝(x ，y ，z )是平面EFBD 的法向量，
从而Error!即Error!
解得Error!
取z ＝1，得n ＝(2，－2,1)，
由于＝(0,4,0)，AB ―→ 所以在n 上的投影长度为＝.AB ―→ |n ·||n |83
8即平面AMN与平面EFBD间的距离为.
3。