广东省汕头市澄海凤翔中学高三数学理上学期第二次阶段考试试题

凤翔中学2014－2015学年度第二次阶段考试
高三级理科数学试卷
注意：本卷满分150分，考试时间120分钟．答案应填（涂）在答题卷相应的位置上，否则无效．考试结束后，试卷自己带回保存，只交答题卷．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1、若复数()
()2231z m m m i =+-+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数m =（ ） A ．3- B ．3 C ．1 D ．1或3- 2、已知集合{}1,2M =，{}
21,a N =，若M N =M I ，则实数a =（ ） A ．2 B ．2 C ．2- D ．2± 3、图1分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（ ）
A ．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B ．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙
C ．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D ．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
4、若如图2所示的程序框图输出的S 是31，则在判断框中M 表示的“条件”应该是（ ）
A ．3n ≥?
B ．4n ≥?
C ．5n ≥?
D ．6n ≥?
5、已知向量()1,2a =r
，(),b x y =r ，则“4x =-且2y =”
是“a b ⊥r
r ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 6、已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图3所示，则该几何体的体积是（ ） A ．
205
3cm B ．303cm C ．403
cm D ．423
cm
7、已知实数0a ≠，函数()()()
2121x a x f x x a x +<⎧⎪=⎨--≥⎪⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值是（ ）
A ．35-
B ．
35 C ．34- D ．3
4
8、若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合
X 上的一个拓扑．已知集合{},,a b c X =，对于下面给出的四个集合τ：
①{}{}{}{},,,,,a c a b c τ=∅ ②{}{}{}{}{},,,,,,,b c b c a b c τ=∅ ③{}{}{}{},,,,,a a b a c τ=∅ ④{}{}{}{}{},,,,,,,,a c b c c a b c τ=∅
其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（ ）
A ．①
B ．②
C ．②③
D ．②④ 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. ） （一）必做题（9～13题）
9、已知等比数列{}n a 满足124a a +=，238a a +=，则5a =__________． 10、不等式320x x --≥的解集是 ．
11、若双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程是2y x =±，则双曲线的离心率等于________．
12、在12
13x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，3
x 的系数是___________．
13、直角坐标系x y O 中，已知两定点()1,0A ，()1,1B ．动点(),x y P 满足
02
01
⎧≤OP ⋅OB ≤⎪⎨
≤OP ⋅OA ≤⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r ，则点(),x y x y M +-构成的区域的面积等于__________． （二）选做题：（第14、15题为选做题，考生只能选做一题．）
14、（坐标系与参数方程选做题）已知C 的参数方程为3cos 3sin x t y t =⎧⎨=⎩
（t 为参数），C 在点()
0,3处的切线为l ，若以直角坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐
标方程是 ．
15、（几何证明选讲选做题）如图4，在C ∆AB 中，C AB =B ，圆O 是C ∆AB 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，D 4B =，
CD 27=，则C A 的长等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．）
16、（本小题满分12分）设向量(
)
3sin ,sin a x x =
r ，()cos ,sin b x x =r ，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
．
()1若a b =r r
，求x 的值；
()2设函数()f x a b =⋅r
r ，求()f x 的最大值．
17、（本小题满分12分）为了参加2014年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：
学校 学校甲 学校乙 学校丙 学校丁
人数 4 4 2 2
该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．
()1求这两名队员来自同一学校的概率；
()2设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．
18、（本小题满分14分）在三棱锥C P -AB 中，侧棱长均为4，底边C 4A =，2AB =，
C 23B =，
D 、
E 分别为C P 、C B 的中点． ()1求证：平面C PA ⊥平面C AB ；
()2求三棱锥C P -AB 的体积； ()3求二面角C D -A -E 的余弦值．
19、（本小题满分14分）若正数项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =， 点(
)
1,n n S S +P
在曲线()2
1y x =+上．
()1求2a ，3a ；
()2求数列{}n a 的通项公式； ()3设1
1
n n n b a a +=
，n T 表示数列{}n b 的前n 项和，若n a T ≥恒成立，求n T 及实数a 的取值范围．
20、（本小题满分14分）已知椭圆C:22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为()1F 1,0-、
()2F 1,0，且经过定点31,2⎛⎫
P ⎪⎝⎭
，()00,x y M 为椭圆C 上的动点，以点M 为圆心，2F M 为半
径作圆M ．
()1求椭圆C 的方程；
()2若圆M 与y 轴有两个不同交点，求点M 横坐标0x 的取值范围；
()3是否存在定圆N ，使得圆N 与圆M 恒相切？若存在，求出定圆N 的方程；若不存在，请
说明理由．
21、（本小题满分14分）已知函数()ln 1
a
f x x x =
++（R a ∈）
． ()1当2a =时，比较()f x 与1的大小；
()2当9
2
a =
时，如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围； ()3求证：对于一切正整数n ，都有()1111
ln 135721
n n +>+++⋅⋅⋅+
+．
凤翔中学2014－2015学年度第一学期第二次阶段考试
高三理科数学试卷参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
D
B
C
A
D
C
D
二、填空题 （一）必做题
9、
64
3
10、[]3,1- 11、223 13、4
（二）选做题
14、sin 3ρθ= 15、2
三、解答题
16、解：()1由a ==r 1分
1b ==r
…………………………2分 及a b =r r ，得2
1sin 4
x =.
又0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，从而1sin 2x =…………………………4分
所以6
x π
=
…………………………6分
()
2211
()cos sin 2cos 2222f x a b x x x x x =⋅=⋅+=-+r r
1
sin(2)62
x π
=-+…………………………9分 当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
所以当2,6
2
3
x x π
π
π
-
=
=
即时，sin(2)6
x π
-
取得最大值1…………………………11分
所以()f x 的最大值为
3
2
…………………………12分 17、解：()1“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A ，则
222244222
12
7
()33C C C C P A C +++==．…………………………………………5分 ()2ξ的所有可能取值为0,1,2………………………………………………6分
则024821214(0)33C C P C ξ===，114821216(1)33C C P C ξ===，20
482
12
1
(2)11C C P C ξ===………9分 ξ
0 1 2
P
14
33 1633 111
……………………………………………………………………………10分 ∴141612
0123333113E ξ=⨯
+⨯+⨯=
……………………………………………12分 18、()1证明：Q 4====AC PC PB PA
取AC 的中点O ，连接OP ，OB ，易得：AC OP ⊥………………………1分
3
2242
222=-=-=OC PC OP
32,2,4===BC AB AC Θ,
,,222∆∆∴+=∴Rt ABC BC AB AC 为………………………2分 2222,OB OC PB OB OP ∴===+
∴OP ⊥OB ………………………3分
又ABC OB AC O BO AC 面、且⊂=I Θ
OP ∴⊥平面ABC ，又PAC OP 平面⊂Θ
ABC PAC 平面平面⊥∴………………………5分
()
2解：
O C
B
A P
43222
1
32312131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=-BC AB OP V ABC P ………………………7分
()3方法一：过点E 作AC EH ⊥于H ，过点H 作AD HM ⊥于M ，连接ME
因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面I PAC 平面ABC =AC ，
AC EH ⊥，⊂EH 平面ABC ，所以⊥EH 平面PAC ，
AD ME ⊥∴
EMH ∠∴即为所求的二面角的平面角………………10分
D E ,Θ分别为中点，AC EH ⊥ ∴在HEC RT ∆中，2
330cos 0=
=EC HC 2
3
30sin 0=
=EC EH ………………………11分 2
54=
-=∴HC AH 在HMA RT ∆中，4
5
30sin 0
=
=AH MH ………………………12分 所以，HME RT ∆中，4
3716254322=+=
+=
HM HE ME 所以373754
37
45
cos ===
∠ME
MH
EMH ………………………14分
方法二：以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
)0,0,0(O ,)0,2,0(-A ,)0,1,3(-B ,)0,2,0(C ,)3,1,0(D ,)0,2
1
,23(E ,)32,0,0(P
, 5
,,0)22
∴AE =u u u r
，D A =u u u r ………………………9分
所以，可以设平面AED 的一个法向量为),,(1z y x =，
平面ACD 的一个法向量为)0,0,1(2=n ………………………10分
⎪⎩⎪⎨
⎧=+=•=+=•0
33025231
1
z y n y x n ，所以令1=x ，则53-=y ，53=z
所以12
(1,)5
n =u r ，可以设所求的二面角为θ，显然θ为锐角…………………11分
由121212cos ,n n n n n n ⋅=⨯⨯<>u r u u r u r u u r u r u u r
，可得：………………………12分
121212
32(1,,)(1,0,0)53755cos cos ,3912525
n n n n n n θ-•⋅=<>==
=⨯++u r u u r u r u u r u r u u r ……………………14分 19、解：()1Q 点(
)
1,n n S S +P
在曲线()2
1y x =+上
∴)
2
11n n S S +=
…………………1分
分别取1n =和2n =，得：)
)
2
12
12
1231211a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++=+⎩
由11a =解得23a =，35a =…………………4分
()2由)
2
11n n S S +=11n n S S +=
∴数列
{}n
S 11S =为首项，1为公差的等差数列
∴()111n S n n =+-⨯=
即2
n S n =…………………6分
当2n ≥时，()2
2
1121n n n a S S n n n -=-=--=-
当1n =时，2
1111a S ===，满足上式
∴数列{}n a 的通项公式是21n a n =-…………………8分
Q ()()
111
2121n n n b a a n n +=
=-+ ∴0n b > ∴()()11113352121n n n T =
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯-+ 111111123352121n n ⎛⎫=
-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭
11111
221212n n n n
⎛⎫=
-== ⎪
++⎝⎭+…………………10分 显然n T 是关于n 的增函数
∴n T 有最小值11
1
1321
T =
=+…………………12分 Q n a T ≥恒成立
∴1
3
a ≤…………………13分
∴a 的取值范围是13a a ⎧⎫
≤⎨⎬⎩
⎭…………………14分
20、解：()1由椭圆定义得122+=PF PF a ，……………………………………… 1分
即()()2
2
2
2
33532111142222a ⎛⎫
⎛⎫
=++-+=+= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
， ……………………… 2分 ∴2a =，又1=c ， ∴222
3b a c =-=.……………………………………… 3分
故椭圆C 的方程为22
143
+=x y …………………………………………………4分 ()2圆心00(,)M x y 到y 轴距离0=d x ，圆M 的半径()
2
2
001=
-+r x y
若圆M 与y 轴有两个不同交点，则有>r d ()
2
2
0001-+>x y x ，
化简得2
00210-+>y x .…………………… …………………………… 6分
Q 点M 在椭圆C 上，∴2
2
00334
y x =-
，代入以上不等式得： 2
0038160+-<x x ，解得：0443-<<x . ……………………………………… 8分
又022-≤≤Q x ，∴ 0423
x -≤<，即点M 横坐标的取值范围是4
[2,)3-. ……9分
()3存在定圆()
2
2:116++=N x y 与圆M 恒相切，其中定圆N 的圆心为椭圆的左焦点1F ，
半径为椭圆C 的长轴长4. ……………………12分
∵由椭圆定义知，1224+==MF MF a ，即124MF MF =-，
∴圆N 与圆M 恒内切. …………………………………………………………… 14分 21、()1解：当2=a 时，x x x f ln 1
2
)(++=
，其定义域为),0(+∞…………………1分 因为0)1(1
1)
1(2)(2
22>++=++-='x x x x x x f 所以)(x f 在),0(+∞上是增函数…………………………3分
故当1>x 时，1)1()(=>f x f ；当1=x 时，1)1()(==f x f ； 当1<x 时，1)1()(=<f x f …………………………4分
()2解：当2
9
=
a 时，x x x f ln )1(29)(++=
，其定义域为),0(+∞ 2
2)
1(2)
2)(12(1)1(29)(+--=++-=
'x x x x x x x f 令0)(='x f 得21
1=
x ，22=x …………………………6分 因为当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ；当22
1
<<x 时，0)(<'x f
所以函数)(x f 在)21,0(上递增，在)2,21
(上递减，在),2(+∞上递增
且)(x f 的极大值为2ln 3)21(-=f ，极小值为2ln 2
3
)2(+=f ………………………7分
又当+
→0x 时，-∞→)(x f ；当+∞→x 时，+∞→)(x f 因为函数k x f x g -=)()(仅有一个零点
所以函数)(x f y =的图象与直线k y =仅有一个交点 所以2ln 3->k 或2ln 2
3
+<
k …………………………9分 ()3方法一：根据()1的结论知：当1>x 时，1)(>x f
即当1>x 时，
1ln 12>++x x ，即1
1
ln +->
x x x …………………………12分 令k k x 1+=，则有1211ln +>
+k k k 从而得3212ln >，5123ln >， ,,7134ln Λ>121
1ln +>
+n n n …………………………13分 故得1217151311ln 34ln 23ln 12ln ++
+++>+++++n n n ΛΛ 即1
21
715131)1342312ln(+++++>+⨯⨯⨯⨯n n n ΛΛ
所以1
21
715131)1ln(+++++>+n n Λ…………………………14分
()3方法二：用数学归纳法证明：①当1=n 时，不等式左边2ln =，右边3
1
=
因为18ln 2ln 3>=，所以3
1
2ln >，即1=n 时，不等式成立……………………10分
②假设当)(*
∈=N k k n 时，不等式成立，即121
715131)1ln(++
+++>
+k k Λ 那么，当1+=k n 时，]12)1ln[()2ln()1ln(++⋅+=+=+k k k k n 1
2
ln
)1ln(++++=k k k 12
ln
)121715131(++++++++>k k k Λ……………11分 由()1的结论知，当1>x 时，112ln >++x x ，即1
1
ln +->
x x x 所以3
21
11
21
12
1212ln +=+++-++>+-k k k k k k k …………………………12分 即1
)1(21121715131)2ln(++++++++>
+k k k Λ 即当1+=k n 时，不等式也成立…………………………13分 综合①②知，对于一切正整数n ，都有1
21
715131)1ln(++
+++>+n n Λ…………14分。