【单元练】成都市树德实验中学(西区)九年级数学上册第二十四章《圆》经典测试卷(答案解析)

一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
B ．平分弦的直径垂直于弦
C ．长度相等的弧是等弧
D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等D
解析：D
【分析】
根据对称轴的定义对A 进行判断；根据垂径定理的推论对B 进行判断；根据等弧定义对C 进行判断；根据圆心角定理对D 进行判断．
【详解】
解：A 、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以A 选项错误； B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B 选项错误； C 、长度相等的弧不一定能重合,所以不一定是等弧，所以C 选项错误；
D 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以D 选项正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆的有关性质，掌握相关定理是解题关键．
2．如图，,AB AC 分别是O 的直径和弦，OD AC ⊥于点,D 连接,BD BC ．若10,8AB AC ==，则BD 的长是（ ）
A ．5
B ．4
C ．213
D ．245
C 解析：C
【分析】 先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=12
AC=4，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】
解：∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°， ∴22221086BC AB AC =-=-=，
∵OD ⊥AC ，
∴CD=AD=12AC=4， 在Rt △CBD 中，222246213BD BC CD =+=+=．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
3．如图，AB 是半圆O 的直径，20BAC =︒∠，则D ∠的度数是（ ）
A ．70°
B ．100°
C ．110°
D ．120°C
解析：C
【分析】 先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据直角三角形的性质可得70B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质即可得．
【详解】
AB 是半圆O 的直径，
90ACB ∴∠=︒，
20BAC ∠=︒，
9070B BAC ∴∠=︒-∠=︒，
又四边形ABCD 是圆O 内接四边形，
180110D B ∴∠=︒-∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
4．已知⊙O ，如图，
（1）作⊙O 的直径AB ；
（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；
（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．
根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个D
解析：D
【分析】
①根据作图过程可得AC AD
=，根据垂径定理可判断；
②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；
③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．
【详解】
解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，
∴AC AD
=，
根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE，
∴①正确；
②连接OC，∵AC=OA=OC，
∴△AOC为直角三角形，
∵AB⊥CE，
∴AE=OE，
∴BE=BO+OE=3AE，
∴②正确；
③∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=2CE，
∴③正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的
性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．
5．如图，正方形ABCD 内接于O ，直径//MN AD ，则阴影部分的面积占圆面积的
（ ）
A ．12
B ．16
C ．13
D ．14
D 解析：D
【分析】
连接OC 、OD ，设O 半径为r ，利用正方形性质得：MN ∥BC ，根据三角形面积公式得：
S △DON ＝S △AON ，S △CON ＝S △BON ，利用面积差可得S 阴影部分＝S 扇形COD ，再利用正方形的性质得到∠COD ＝90°，则S 扇形＝21
4r π，所以阴影部分面积是圆的面积的
14 【详解】
解：如图，连接OC 、OD ，设
O 半径为r ，
∵直径//MN AD ，AD ∥BC
∴MN ∥BC ，
根据三角形面积公式得：S △DON ＝S △AON ，S △CON ＝S △BON ，
∴S 阴影部分＝S 扇形COD ，
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠COD ＝90°， ∴S 扇形＝290360r π︒︒
＝214r π， ∵圆的面积为2r π
∴所以阴影部分面积是圆的面积的
14
故选：D
【点睛】
本题考查扇形面积计算公式、正方形的性质，利用了面积的和差计算不规则图形的面积，
解题的关键是掌握扇形的面积公式.
6．如图，EM 经过圆心O ，EM CD ⊥于M ，若4CD =，6EM =，则CED 所在圆的半径为（ ）
A ．103
B ．83
C ．3
D ．4A
解析：A
【分析】
如图，连接OD ，设半径为r ，则OM=6-r;再由垂径定理求出MD 的长，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】
解：如图，连接OD ，设半径为r ，则OM=6-r
∵EM CD ⊥
∴MD=12
CD=2 在Rt △MOD 中，OD=r ，OM=6-r ，MD=2 ∴222OM MD OD +=,即()22262r r -+=，解得r=
103
． 故答案为A ．
【点睛】
本题考查了圆的垂径定理和勾股定理，根据垂径定理求得MD 的长是解答本题的关键． 7．点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，4)，点C 为坐标平面内一点，BC ﹦2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）
A ．22＋1
B ．22＋2
C ．42＋1
D ．42-2A
解析：A
【分析】 根据同圆的半径相等可知：点C 在半径为2的
B 上，通过画图可知，
C 在B
D 与圆B 的交点时，OM 最小，在DB 的延长线上时，OM 最大，根据三角形的中位线定理可得结
论．
【详解】
解：如图，
点C 为坐标平面内一点，2BC =，
C ∴在B 上，且半径为2， 取4OD
OA ，连接CD ， AM CM =，OD OA =，
OM ∴是ACD ∆的中位线， 12
OM CD ， 当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大，
4OB OD ，90BOD ∠=︒，
42BD ∴= 422CD ，
114222212
2OM CD ，
即OM的最大值为221
+；
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键．
8．已知AB是经过圆心O的直线，P为O上的任意一点，则点P关于直线AB的对称点P'与O的位置关系是（）
A．点P'在⊙○内B．点P'在O外C．点P'在O上D．无法确定C
解析：C
【分析】
圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，从而得到圆上的点关于对称轴对称的点都在圆上求解．
【详解】
解：∵圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，
∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为：在⊙O上，
故选：C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解．
9．如图，点M是矩形ABCD的边BC、CD上的点，过点B作BN⊥AM于点P，交矩形ABCD的边于点N，连接DP，若AB=6，AD=4，则DP的长的最小值为（）
A．2 B 1213
C．4 D．5A
解析：A
【分析】
易证∠APB＝90°，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为
O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP的长的最小值时的位置，OP′＝OA＝1
2
AB＝3，
OD＝5，DP′＝OD−OP′＝2，即可得出结果．
【详解】
解：∵BN⊥AM，
∴∠APB＝90°，
∵AB＝6为定长，
则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，
取AB 的中点为O ，
连接OD ，OD 与半圆的交点P′就是DP 长的最小值时的位置，如图所示：
∵AB ＝6，AD ＝4，
∴OP′＝OA ＝12AB ＝3， OD ＝22AD +OA ＝224+3＝5，
∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，
∴DP 的长的最小值为2，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、轨迹等知识；判断出P 点的运动轨迹，找出DP 长的最小值时的位置是解题的关键．
10．在△ABC 中，∠ACB 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作弧BAC ，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S 1，S 2，两个弓形面积分别为S 3，S 4，S 1-S 2=14
π，则S 3-S 4的值是( )
A ．294π
B ．234π
C ．114π
D ．5
4
πD 解析：D
【分析】
根据AB 和AC 的长和圆的面积公式可求得S 1+S 3，S 2+S 4的值，然后再两值相减即可得出结论．
【详解】
解：∵AB=4，AC=2，
∴S 1+S 3=2π，S 2+S 4=2
π，
∴（S 1+S 3）﹣（S 2+S 4）=（S 1﹣S 2）+（S 3﹣S 4）= 32π ∵S 1-S 2=
14π， ∴S 3-S 4= 32π﹣14
π= 54π， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了圆的面积，正确表示出S 1+S 3，S 2+S 4的值是解答的关键．
二、填空题
11．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________°．
125【分析】根据三角形内角和性质结合题意可计算得的值；
根据内切圆的性质分析可计算得的值从而完成求解【详解】∵∠A ＝70°∴∵⊙O 是△ABC 的内切圆∴∴∴故答案为：125【点睛】本题考查了三角形内角 解析：125
【分析】
根据三角形内角和性质，结合题意，可计算得ABC ACB ∠+∠的值；根据内切圆的性质分析，可计算得OBC OCB ∠+∠的值，从而完成求解．
【详解】
∵∠A ＝70°
∴180110ABC ACB A ∠+∠=-∠=
∵⊙O 是△ABC 的内切圆
∴12OBC ABC ∠=∠，12
OCB ACB ∠=∠ ∴11111055222
OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯= ∴180********BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=-=
故答案为：125．
【点睛】
本题考查了三角形内角和、三角形内切圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形内切圆的性质，从而完成求解．
12．如图，有一半径为6cm 的圆形纸片，要从中剪出一个圆心角为60︒的扇形ABC ，AB ，AC 为⊙O 的弦，那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为 ___________．
【分析】如图（见解析）先根据等边三角形的判定与性质可得再根据圆周角定理可得然后根据垂径定理勾股定理可得BC 的长从而可得AB 的长最后利用扇形的面积公式即可得【详解】如图连接OBOCBC 过点O 作于点D 由
解析：218cm π
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得AB BC =，再根据圆周角定理可得120BOC ∠=︒，然后根据垂径定理、勾股定理可得BC 的长，从而可得AB 的长，最后利用扇形的面积公式即可得．
【详解】
如图，连接OB 、OC 、BC ，过点O 作OD BC 于点D ，
由题意得：,60,6AB AC A OB OC cm =∠=︒==，
ABC ∴是等边三角形，
AB BC ∴=，
由圆周角定理得：2120BOC A ∠=∠=︒，
OD BC ⊥， 160,22BOD BOC BC BD ∴∠=∠=︒=， 30OBD ∴∠=︒，
在Rt BOD 中，2213,332
OD OB cm BD OB OD cm ===-=， 263AB BC BD cm ∴===，
则剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为
()()22606318360cm ππ⨯=，
故答案为：218cm π．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形的面积公式等知识点，通过作辅助线，利用到垂径定理是解题关键．
13．已知O 的面积为π，则其内接正六边形的边长为______．1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论【详解】解：如图的面积为设半径为r ∴解得∵OA=OB 为等边三角形故故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆熟知正六边形
解析：1
【分析】
首先根据圆的面积求出圆的半径，再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论．
【详解】
解：如图，
O 的面积为π，设半径为r ，
2S r ππ∴==，
∴21r =，
解得，1r =， ∵360606
AOB ︒∠==︒，OA=OB AOB ∴为等边三角形，
故1AB OA ==．
故答案为：1
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键．
14．如图，已知O 是以数轴上原点O 为圆心，半径为2的圆，45AOB ∠=︒，点P 在x
正半轴上运动，若过点P 与OA 平行的直线与O 有公共点，设P 点对应的数为x ，则x 的取值范围是______．
【分析】根据题意知直线和圆有公共点则相切或相交相切
时设切点为C 连接OC 根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径2求得斜边是2
所以x 的取值范围是0＜x≤2【详解】解：设切点为C 连接OC 则圆的半径OC=2O 解析：022x <≤ 【分析】 根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C ，连接OC ．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径2，求得斜边是22．所以x 的取值范围是0＜x≤22．
【详解】
解：设切点为C ，连接OC ，则圆的半径OC=2，OC ⊥PC ，
∵∠AOB=45°，OA//PC ，
∴∠OPC=45°，
∴PC=OC=2，
∴OP=2222+=22，
所以x 的取值范围是0＜x≤22，
故答案为0＜x≤22．
【点睛】
此题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．
15．如图，在扇形AOB 中90AOB ∠=︒，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为________．
【分析】连结OC 根据勾股定理可求OC 的长根据题意可得
出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积依此列式计算即可求解
【详解】连接如图∵在扇形中又故答案为：【点睛】考查了正方形的性质和扇形面
解析：24π-
【分析】
连结OC ，根据勾股定理可求OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-
三角形ODC 的面积，依此列式计算即可求解．
【详解】
连接OC ，如图，
∵在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，AC BC =，
45COD ∴∠=︒，
又CD DE ⊥，
45OCD COD ∴∠=∠=︒， 22OD CD ∴==，
22(22)(22)4OC ∴=+=，
224541(22)243602ODC BOC S S S
ππ⨯∴=-=-⨯=-阴影扇形． 故答案为：24π-．
【点睛】
考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度． 16．如图，ABC 是等边三角形，180BAD BCD ∠+∠=︒，8BD =，2CD =，则AD =________．
6【分析】在线段BD 上取一点E 使得BE=CD 连接AE 由四点
共圆得∠再证明△是等边三角形得再由线段的和差关系可得结论【详解】解：在线段BD 上取一点E 使得BE=CD 连接AE ∵∴四点共圆∴∠∴∠∵△是等边 解析：6
【分析】
在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，由,,,A B C D 四点共圆得
∠ABE ACD =∠，再证明ABE ACD ≅∆，△ADE 是等边三角形，得
AD DE AE ==，再由线段的和差关系可得结论．
【详解】
解：在线段BD 上取一点E ，使得BE=CD ，连接AE ，
∵180BAD BCD ∠+∠=︒
∴,,,A B C D 四点共圆，
∴∠ABD ACD =∠
∴∠ABE ACD =∠
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB AC BC ==，60DAE ∠=︒，
∴△ABE ACD ≅∆，∠60BAE CAF +∠=︒，
∴,BAE CAD BAF CAD ∠=∠∠=∠，
∴∠60CAD CAE +∠=︒，即60DAE ∠=︒，
∴△ADE 是等边三角形，
∴AD DE AE ==，
∵=8BD ，2CD =，
∴6DE BD BE BD CD =-=-=，
∴6AD DE ==．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及四点共圆的判定，证明∠ABE ACD =∠是解答此题的关键．
17．如图，MN 是O 的直径，2MN =，点A 在O 上，30AMN ∠=︒，B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA PB +的最小值为_______．
【分析】作点A 的对称点根据中位线可知最小时P 正
好在上在根据圆周角定理和等弧所对圆心角相等求得再利用勾股定理即可求解
【详解】如图作点关于的垂线交圆与连接交于点连接则此时的值最小∵∴∵点是的中点∴∵关于 2
【分析】
作点A 的对称点，根据中位线可知PA PA =' ，PA PB +最小时P 正好在A B '上，在根据圆周角定理和等弧所对圆心角相等求得90AOB ∠'=︒，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
如图，作点A 关于MN 的垂线交圆与A ' ，
连接A B ' 交MN 于点P ，连接AP OB OA OA '、、、 ，
则此时AP BP + 的值最小A B =' ，
∵30AMN ∠=︒，
∴60AON ∠=︒，
∵点B 是AN 的中点，
∴30BON ∠=︒ ，
∵A A '、 关于MN 对称，
∴60AON AON ∠'=∠=︒，
∴306090AOB ∠'=︒+︒=︒，
又∵112122OA OB MN '==
=⨯=， 在RT A OB '△中
∴221+1=2A B '=，即AP BP + 的值最小=2．
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理、垂直平分线定理、勾股定理等．在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．本题是与圆有关的将军饮马模型．
18．如图，AB 是O 的直径，CD AB ⊥于E ，24CD =，8BE =，则
AB =__________．
【分析】连接OD 设的半径为r 则OE=r-8再根据勾
股定理求出r 最后根据直径和半径的关系即可解答【详解】解：如图：设的半
径为r 则OE=r-8∵AB ⊥CD 于E 且CD=24∴DE=CD=12在Rt △ODE
解析：26
【分析】
连接OD ，设O 的半径为r ，则OE=r-8，再根据勾股定理求出r ，最后根据直径和半径的关系即可解答． 【详解】
解：如图：设O 的半径为r ，则OE=r-8，
∵AB ⊥CD 于E ，且CD=24，
∴DE=12
CD=12， 在Rt △ODE 中，OD=r ，OE=r-8，DE=12，
∴OE 2+DE 2=OD 2，
∴（r-8）2+122=r 2，解得r=13
∴AB=2r=26．
故答案为26．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键． 19．扇形 的半径为6cm ，弧长为10cm ，则扇形面积是________．30【分析】结合题意根据弧长计算公式计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算即可得到答案【详解】∵扇形的半径为6cm 弧长为10cm ∴弧长对应的圆心角n 为：∴扇形面积为：故答案为：30【点睛】本题
解析：302cm
【分析】
结合题意，根据弧长计算公式，计算得弧长对应圆心角；再结合扇形面积公式计算，即可得到答案． 【详解】 ∵扇形的半径为6cm ，弧长为10cm
∴弧长对应的圆心角n 为：101803006ππ
⨯=⨯ ∴扇形面积为：263003630360360
n πππ⨯⨯=⨯=2cm 故答案为：302cm ．
【点睛】
本题考查了弧长、扇形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握弧长、扇形的性质，从而完成求解．
20．如图，△ABC 内接于O ，∠BAC=45°，AD ⊥BC 于D ， BD=6，DC=4，则AD 的长是
_____． 12【分析】连接OAOBOC 过点O 作OE ⊥AD 于
EOF ⊥BC 于F 根据圆周角定理得到∠BOC=90°再根据等腰直角三角形的性质计算求出OB 再由DF=BD-BF 得出DF 然后等腰直角三角形的性质求出OF 根 解析：12
【分析】
连接OA 、OB 、OC 过点O 作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，再根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB ，再由DF=BD-BF 得出DF ，然后等腰直角三角形的性质求出OF ，根据勾股定理求出AE ，再根据AD=AE+OF 得到答案．
【详解】
解：∵BD=6，DC=4，
∴BC=BD+DC=10
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°， ∴2522
==OB BC 连接OA 、OB 、OC 过点O 作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，
∴BF=FC=5，
∴DF=BD-BF=1，
∵∠BOC=90°，BF=FC
∴OF=12
BC=5，
∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，
∴四边形OFDE为矩形，
∴OE=DF=1，DE=OF=5，
在Rt△AOE中，227,
=-=
AE OA OE
∴AD=AE+DE=12．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
21．如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形BEFG中，点E在AB的延长线上，点G在BC上，点O在线段AB上，且AO BO
≥．以OF为半径的O与直线AB交于点M、N．
（1）如图1，若点O为AB中点，且点D，点C都在O上，求正方形BEFG的边长．（2）如图2，若点C在O上，求证：以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．
（3）如图3，若点D在O上，求证：DO FO
⊥．
解析：（1）1
2
；（2）见解析；
1
2
；（3）证明见解析
【分析】
（1）连接OC，设BE=EF=x，则OE=x+1
2
，得出(x+
1
2
)2+x2＝(
1
2
)2+12，解得：x=
1
2
，则答
案求出；
（2）连接OC，设OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，得出x2+
（x+y）2=y2+12，即x（x+y）=1
2
，则结论可得证；
（3）连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，可得出12+a2=（1-a+b）
2+b2，得出a=b，则OA=EF，证明Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），则得出∠FOE=∠ODA，结论得出．
【详解】
解：（1）连接OC
∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，∴AB=BC=1，BE=EF，∠OEF=∠ABC=90°，∵点O为AB中点，
∴OB=1
2AB=
1
2
，
设BE=EF=x，则OE=x+1
2
，
在Rt△OEF中，∵OE2+EF2=OF2，
∴(x+1
2
)2+x2＝OF2，
在Rt△OBC中，∵OB2+BC2=OC2，
∴(1
2
)2+12=OC2，
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC=OF，
∴(x+1
2)2+x2＝(
1
2
)2+12，
解得：x=1
2
，
∴正方形BEFG的边长为1
2
；
（2）证明：如图2，连接OC，
设OB=y，BE=EF=x，
同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，∴OF2=x2+（x+y）2，OC2=y2+12
∵OC，OF为⊙O的半径，
∴OC=OF，
∴x2+（x+y）2=y2+12，
∴2x2+2xy=1，
∴x 2+xy=12， 即x （x+y ）=
12， ∴EF×OE=12
， ∴以线段OE 和EF 为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为
12． （3）证明：连接OD ，设OA=a ，BE=EF=b ，则OB=1-a ，则OE=1-a+b ，
∵∠DAO=∠OEF=90°，
∴DA 2+OA 2=OD 2，OE 2+EF 2=OF 2，
∴12+a 2=OD 2，（1-a+b ）2+b 2=OF 2，
∵OD=OF ，
∴12+a 2=（1-a+b ）2+b 2，
∴（b+1）（a-b ）=0，
∵b+1≠0，
∴a-b=0，
∴a=b ，
∴OA=EF ，
在Rt △AOD 和Rt △EFO 中，
OD OF OA EF ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △AOD ≌Rt △EFO （HL ），
∴∠FOE=∠ODA ，
∵∠DAO=90°，
∴∠ODA+∠AOD=90°，
∴∠FOE+∠AOD=90°，
∴∠DOF=90°，
∴DO ⊥FO ．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的面积等知识，熟练运用方程的思想是解题的关键．
22．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD CE =．
（1）求证：BE ＝CE ；
（2）若∠B＝50°，求∠AOC的度数．
解析：（1）见解析；（2）20°
【分析】
（1）根据∠AOD=∠BOE可知AD BE，再由AD CE
=即可得出结论；
（2）先根据等腰三角形的性质求出∠BOE的度数，再由BE=CE可得出∠BOE=∠COE，根据补角的定义即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵∠AOD=∠BOE，
∴AD BE．
∵AD CE
=，
∴BE CE
=，
∴BE=CE；
（2）∵∠B=50°，OB=OE，
∴∠BOE=180°-50°-50°=80°．
∵由（1）知，BE=CE，
∴∠COE=∠BOE=80°，
∴∠AOC=180°-80°-80°=20°．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解答此题的关键．23．如图，已知圆内接四边形ABDC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，AD为它的对角线．
求证：AD＝BD+CD．
解析：见解析．
【分析】
连接BC，证明∠ADB＝∠ADC＝60°，在AD上取点E、F，使DE＝DB、DF＝DC，连接BE、CF，证明△BDE、△CDF为正三角形，再证明∠AEB＝∠CFA＝120°，∠EAB＝∠FCA，证明
△ABE ≌△CAF ，可得AE ＝CF ，从而可得结论．
【详解】
解：连接BC ， ∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，
∴ △ABC 为等边三角形，
∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝60°，
,,AC AC AB AB ==
∴ ∠ADC ＝∠ABC 60,=︒ ∠ADB ＝∠ACB 60,=︒
在AD 上取点E 、F ，使DE ＝DB 、DF ＝DC ，连接BE 、CF ，
∴△BDE 、△CDF 为等边三角形，
∴∠DEB ＝∠DFC ＝60°，,,DE BD CF DC ==
∴∠AEB ＝∠CFA ＝120°，
又∠FAC+∠FCA ＝∠DFC ＝60°、∠FAC+∠EAB ＝∠BAC ＝60°，
∴∠EAB ＝∠FCA ，
在△ABE 和△CAF 中，
∵EAB FCA AEB CFA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABE ≌△CAF （AAS ），
∴AE ＝CF ，
∴AD ＝DE+AE ＝BD+FC ＝BD+CD ．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
24．如图，AB 、CD 是O 中两条互相垂直的弦，垂足为点E ，且AE CE =，点F 是BC 的中点，延长FE 交AD 于点G ，已知1,3,2AE BE OE ===．
（1）求证：AED CEB ≌；
（2）求证：FG AD ⊥；
（3）求O 的半径．
解析：（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）5 【分析】 （1）由圆周角定理得∠A=∠C ，由ASA 得出AED CEB ≌；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF=12
BC=BF ，由等腰三角形的性质得∠FEB=∠B ，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A+∠AEG=90°，进而得出结论； （3）作OH ⊥AB 于H ，连结OB ，由垂径定理可得AH=BH=
12AB=2，则EH=AH-AE=1，由勾股定理求出OH=1，OB=5，而OB 的长即为
O 的半径．
【详解】
（1）证明：由圆周角定理得∠A=∠C ，
在△AED 和△CEB 中， A C AE CE
AED CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AED ≌△CEB （ASA ）．
（2）证明：∵AB ⊥CD ，
∴∠AED=∠CEB=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∵点F 是BC 的中点，
∴EF=12
BC=BF ， ∴∠FEB=∠B ，
∵∠A=∠C ，∠AEG=∠FEB=∠B ，
∴∠A+∠AEG=∠C +∠B =90°，
∴∠AGE=90°，
∴FG AD ⊥．
（3）解：作OH ⊥AB 于H ，连结OB ，
∵AE=1，BE=3，
∴AB=AE+BE=4，
∴AH=BH=12AB=2， ∴EH=AH-AE=1，
∴OH=()2222211OE EH -=-=，
∴OB=2222215BH OH +=+=，
即O 的半径为5．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识．本题综合性较强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 25．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ．
（1）求证：AC 平分DAB ∠；
（2）若4CD =，8AD =，试求
O 的半径． 解析：（1）证明见解析；（2）5．
【分析】
（1）连接OC ，根据切线的性质可得OC CD ⊥，再证//AD OC ，然后再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明12∠=∠即可；
（2）作OE AD ⊥于点E ，设
O 的半径为x ，先证四边形OEDC 是矩形，进而求得OE 和AE ，然后根据勾股定理解答即可．
【详解】
（1）证明：如图1：连接OC ，
∵CD 是切线，
∴OC CD ⊥．
∴//AD OC ，
∴13∠=∠．
∵OA OC =，
∴23∠∠=，
∴12∠=∠，
∴AC 平分DAB ∠；
（2）解：如图2，作OE AD ⊥于点E ，
设O 的半径为x ．
∵AD CD ⊥，OE AD ⊥，
∴90OED EDC DCO ∠=∠=∠=︒，
∴四边形OEDC 是矩形，
∴4OE CD ==，8AE AD DE x =-=-，
∴()2
2248x x +-=， ∴228016x x x -+=，解得5x =，
∴O 的半径是5．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理等内容，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠CAE=∠ADC ．
（1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为2，∠B=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 解析：（1）见解析；（2）
433
π-【分析】
（1）根据AB 是直径得到∠ACB=90°，根据已知条件得到∠BAE =90°，即可得到结果；
（2）作OM ⊥AC ，垂足为M ，求得AM=3，根据扇形的面积计算公式计算即可； 【详解】 （1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠B=∠ADC=∠CAE ，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠B=90°，
∴ BA ⊥AE ，
∴AE 是⊙O 的切线．
（2）解：作OM ⊥AC ，垂足为M ．
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∴∠AOM=∠COM=60°，
∴OM=12
AO=1， ∴AM=3，
∴AC=2AM=23，
∴S 阴=S 扇形AOC -S △AOC =
120414-231336023ππ． 【点睛】
本题主要考查了切线的证明和扇形的面积计算，准确分析计算是解题的关键． 27．如图，O 中，AB CD =，A C ∠=∠，AB 与CD 交于点P ．求证=DP BP ．
解析：见解析．
【分析】
根据已知条件和圆周角定理证明△APD ≌△CPB 即可得到DP=BP ．
【详解】
证明：∵AB CD =，
∴CD = AB ，
∴ CD- CA= AB - AC ，
∴ AD = BC.
又∵∠A=∠C ，∠APD=∠CPB ，
∴△APD ≌△CPB.
∴DP=BP .
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定以及圆心角定理：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立． 28．如图，O 的直径AB 为10，弦BC 为6，D 是AC 的中点，弦BD 和CE 交于点F ，且DF DC =．
（1）求证：EB EF =；
（2）求CE 的长．
解析：（1）见解析；（2）72CE =
【分析】 （1）运用圆周角定理证明DBE EFB ∠=∠即可得到结论；
（2）连接OE ，AE ，AC ，在CB 延长线上截取BG AC =，连EG ，可得A 、E 、B 、C 四点为共圆，可证明CAE GBE ∆∆≌，△CEG 为等腰直角三角形，运用勾股定理即可求得结论．
【详解】
（1）证明：∵DF DC =∴DCF DFC ∠=∠
又∵DCF DBE ∠=∠，DFC EFB ∠=∠∴DBE EFB ∠=∠
∴EB EF =
（2）连接OE ，AE ，AC ，
∵AB 为O 的直径
∴90ACB ∠=︒，90AEB =︒∠
在Rt ACB ∆中，AC 8=
==
∵D 是弧AC 的中点
∴AD CD =
∴DBA DBC ∠=∠
又∵DBE EFB ∠=∠ ∴DBE DBA EFB DBC ∠-∠=∠-∠，即ABE ECB ∠=∠
∴AOE BOE ∠=∠
∴AE BE =，AE BE =
∴45ACE BCE ∠=∠=︒
在CB 延长线上截取BG AC =，连EG
在圆内接四边形ACBE 中，180CAE CBE ∠+∠=︒
又∵180GBE CBE ∠+∠=︒∴CAE GBE ∠=∠
∴()CAE GBE SAS ∆∆≌
∴EC EG =
∴45BCE BGE ∠=∠=︒
∴在等腰Rt CEG ∆中，
()()222CE CG CB BG CB AC =
=+=+=【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．。