抛物线上的张角问题

1 .我们说，在平面上，已知两个定点A、B,点P为平面上一点,
从点P处观测A、B两点所成的角叫张角.
2 .若线段AB为定长的线段，点C为线段AB所在的直线外一点，连接
AC, BC,我们称Z ACB为线段AB的张角.AB叫做张角Z ACB 所对的张边.
一、问题的提出：
1.问题的提出：
在平面直角坐标系中，已知A、B两定点，求具有某种属性的点P(如P在某函数图象上，又或点P的坐标具有某种关系)，使Z APB等于已知角?.
2.问题解决的方法与步骤：
下面以点P在某函数y= f(x)的图象上为例来说明.
特别的，当AB与坐标轴平行时，可构造斜射影相似来解决.
⑴以AB // x轴为例来说明
在射线AB上取点D,使CD
PC …—一，贝UZ ADP=Z APB tan
则^ APE^A ABP，贝U PA2AB AD .
设P(m, f(m)),所以C(m, 队所以(m X A)2 [f (m) y A】2(X B X A)(X D X A) 解方程可求出m的值，P点可求.
(2)若点线段AB与x轴不平行时怎么办？可以采用以下方法:
如图：过点P作l//x轴，再分别由A, B向l引垂线，垂足为C, D,在DC延长线上取点E,使
…PE AE
可证△ AEP^A PFB 则——
——
BF PF
设 P(m, f(m)),则 PE, PF,与 AE 、 3.对问题的解决提出质疑:
以上问题可以过点 P 作x 轴或y 轴的平行线1,根据一线三等角创造相似三角形来解决，
依然设P(m,f(m)),
2
2
所以C(m,腥)，所以(m X A ) [ f (m) y A ] (X B X A )(X D X A )，解万程可求出m 的值，P 点可
求.
但当y=f(x)为二次函数或反比例函数时，那么最后所得的方程均为一元高次方程 4.抛物线上的张角问题
在平面直角坐标系中，已知 A 、B 为抛物线y=f(x)上的两定点. 点P 在y= f(x)的图象上，若/ APB 等于已知角？，求点P 的坐标.
显然，如果按照前面的做法去解决，结果会是高次方程，显然不行，因此，我们要寻找其它适合初中数 学教学要求的方法.
为解决此问题，我们首先要掌握以下几个问题. 二、问题准备
1 .解直角三角形的张角对张边的问题
我们都知道，在解三角形的问题中，如果给出三角形的三个要素
(不全是角)三角形即可解，但是有些条
件的给出(初等方法可解)，如果方法不当解起来就很困难，这里我们仅条件集中在三角形中一个角、这 个角所对的边，这个角所对的边上的高解三角形进行研究，我们把此类问题称之为解三角形中的“角对 张边问题”. 如图，在△ ABC 中，/ BAO ?, AD± BC,垂足为
思考一 .根据图形变换，转换特殊模型.
解法1:把^ ABD 沿AB 翻折得到△ ABE,把^ ACD 沿AC 翻折得到
△ ACF. . AB^^A ABD; △ ACF^A ACD.
••• AE= AD= AF, BE= BD= 3, CA CD= 2. / E=Z F= 90 ° , / BAE=Z BAD, / CAA Z CAD, •••Z EAR 2 Z BAO 90° ,延长 EB, FC 相交于 G,
则四边形 AEGF 为正方形. 设AD= x,贝U BG= x — 3, C8 x-2. 在RtABCG 中，由勾股定理可得：(x 3)2 (x 2)2 52
2
--x 5x 6 0 ,解碍：x = 6 或 x= - 1(舍去)，
L AD= 6.
如图，在锐角△ ABC 中， 若BD= 3, CA 2 .求AD 的长.
ADL BC,垂足为 D, Z BAO 45° , CE
AC tan
在CD 延长线上取点F,使DF
BD tan
,贝UZ AEP^Z BFP^Z APB.
所以 PE PF AE BF
BF 均可用含m 的代数式表示，则方程可解，点
P 的坐标可解.
D,设 BD= a, CA b,求高 AD.
解法2:以AD 为边作正方形 ADEF,过点A 作AG± AB,交EF 于G, .
AGF^A ABD, . . BD= GF= 2, AG= AB.
. Z BAE 45 ° , Z GAOZ BAC,又 AO AC. . . △ ACC^A ACB,
••• C8 BC= 5.
设 AD= x,贝U E^^ x — 3, Ch x — 2,
在^ R0 CEG 中，由勾股定理得：(x 3)2 (x 2)2 52 2 --x 5x 6 0 ,解碍：x = 6 或 x= - 1(舍去), •■- AD= 6. 解法3:在射线 DB 上取点E,使DE= AD,在射线DC 上取点F, 使 DF= AD.贝U AE= AF, Z AEF= Z AFE= 45° , Z EAR 90° , 把^ AEB 绕点A 旋转，使AE 于AF 重合，得到△ AFG, .
AFG^A AEB, . . FG= EB, AG= AB, Z AF8 Z E= 45° , GAF=Z BAE . BAOZ EAA 90° ,又Z BAO 45° , •••Z GAOZ BAC,
ACG^A ACB, .. C8 BC= 5,
设 AD= x,贝U F8 x- 3, CA x-2.
在RtACED 中，由勾股定理得：(x 3)2 (x 2)2 52 2 --x 5x 6 0，解碍：x = 6 或 x= - 1(舍去),•■- AD= 6. 思考二：构造一线三等角 (M 型)
解法5:在BC 的延长线上取点 E,使CP AD,过点E 作 EFL CE 使 EF= CD,连接 AF, ••• A CEF^A ADC, ••• AC= FC, Z CAF= 45° , .•』BAO 45° ,.二 Z BAF= 90° , 连接BF,由勾股定理可得：
AB 2
AF 2
BF 2
,
222
—2
222 BE 2 EF 2
BF 2
,
AB 2 AF 2
BE 2
EF 2,
设 AD= x,则 BE= x+ 5, (x 2 32) 2(x 2 22) (x 5)2
.
2
--x 5x 6 0，解碍：x = 6 或 x= - 1(舍去),
•■- AD= 6.
解法7:过点B 作BEL AB,交AC 的延长线于 E,过点E 作EFLBC,垂足为F,由上题可证△ EBf^A BAD. AG=x+3, AN= x+2, •■- (x+ 3)(x+ 2) = (72x)2
/. x 2 5x 6 0 ,
解得：x= 6 或 x=— 1(舍去)，AD= 6.
思考三：把AD 看作是绕A 旋转的直线，构造旋转相似.
解法12.在射线 DC 上截取DE= AD,连接AE,延长AD 到F, 使 DF= BD= 3. ... BF= 3匝,Z F= Z E= 45 ° ,又Z BAF= Z CAE . BAF^A CA 匕堕
既，AF - CL BF - AE,
_AE CE
设 AD= x,贝U AE= 72x , AF= x+ 3, Chx- 2,
(x 3)(x 2) 3龙龙x, x 2
5x 6 0,
1 2 1
1
AB
2
AD BC -EF BC,
2
2 2
设 AD= x, . 2
…x
32
5(x 3)
. 2
. . x
5x 6
0,
解得：x= 6 或 x= • T (")，•二
AD= 6.
在AE 的延长线上截取 EG= BE,在AF 的延长线上截取
G FN= CF. . • BG= CN= ^2AD ，/ G=Z N= 45° , •••Z G=Z BAEZ N,
AG
AGBs^ CNA, — BG
CN AN
B‘
B D C
22
E A F
A
^r^-F
E
. .EF= BD= 3, .• S VABE
立
S VEBC
， 解法8:过点A 作BC 的平行线，由B, C 向该平行线引垂线, 垂足为 E F.贝U BE= AD= CF, AE= BD= 3, AF= CA 2.
AG AN BG CN ,设 AD= x,贝U BG= CN=扼x,
A
B
•45。

G
C
D F
B D C
A
解得：x= 6 或 x=— 1(舍去)，AD= 6. 思考四：利用三角形外接圆：
解法13:作^ ABC 的外接圆O O,连接OA, OB, 过点O 作OEL BC,垂足为E.
••• OA= OB= OC, 5 OA
过点O 作OFL AD,垂足为
2
--x 5x 6 0，解碍：x = 6 或 x= - 1(舍去),•■- AD= 6. 、抛物线上的张角问题 在平面直角坐标系中，已知
A 、
B 是抛物线y= f(x)上的两定点，点
已知角？，求点P 的坐标.
方法与步骤：
第一步；过已知点 A 作y 轴的平行线，与直线 BP 相交于点C,
................................................................................... PD ,一 构造“于涵定理” .根据“于涵定理”指引我们可求出 二D 的值.
AC
第二步：解张角三角形，求出Z
PAC 的函数值.
,
， … … PD ,,
在^ PAC 中，APC 已知(ZAPB 已知). —— 的值已知，根据 AC
斜射影可求出 PA CD AD 的比，进而求出/ PAC 的函数值. 第三步：利用/ PAC 的函数值求出点的坐标. 2 .二次函数中的“于涵定理” (一)如何使“于涵定理”合法化 第一：当直线 AB 平行于x 轴时，
设二次函数为 y a(x h)2 k,则 P(x, a(x h)2 k )
2
2
设 A(m, a(m h) k),利用对称轴可得： B(2h — m, a(x h)
2 2
PC [a(x h)2
k] [a(m h)2
k]
a
AD BE
(x m)(2h m x)
第二：当直线 AB 与二次函数的一个交点已知时，设 A(m, n) 在二次函数为y ax 2 bx c 的图象上，过点 A 的直线交二次 函数于另一点B,则直线AB 为y k(x m) n ,
由勾股定理可得：AF - 2 思考六：构造斜射影相似 解法15.在射线DC 上截取 .•./ E= 45° =Z BAC,又Z
AB ,... AD= 6. DE= AD,连接 AE ABE=Z CBA ••• A ABE^A CBA BE BC AB _ 2 ________ ______
AB BC BE
设 AD=x ，贝U BE=x+ 3,
x 2
32
5(x 3).
Z BOO 2 Z BAO 90°
OC. P 在y= f(x)的图象上，若/ APB 等于
D
二次函数为y a(x2m2) b(x m) n
则(x m)(ax am b k) 0,
am b k
x ---------------- ,
即B点坐标可求，进而通过计算可得到
a
PC -- a •AD BE
如图，直线AB与二次函数y
2
ax bx C相交于A、B两点，点P为二次函数图象上一点，过点P作
y轴的平行线交直线AB于C,分别过A、B向PC引垂线，垂足为D、E.贝U PB AD - BE a ,也可写成PC
AD BE
特别的，当AB// x轴时，则PC AC BC a ,也可写出
PC AD BE。