吉林省农安县前岗中学2020届数学中考模拟试卷

吉林省农安县前岗中学2020届数学中考模拟试卷
一、选择题
1．某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A.()
12550x x += B.() 12550x x -= C.() 212550x x += D.() 125502x x -=⨯ 2．下列各数中，最大的数是（ ） A ．|﹣2|
B
C ．1
2
-
D ．﹣π
3．从甲，乙，丙三人中任选一名代表，甲被选中的可能性是 A.
12
B.1
C.
23
D.
13
4．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（ ）
A.10
B.8
C.6
D.4
5．如图，
P 的半径为5，A B 、是圆上任意两点，且6AB =，以AB 为边作正方形ABCD （点、D P
在直线AB 两侧）．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为（ ）
A ．5π
B ．6π
C ．8π
D ．9π
6．若数a 使关于x 的不等式组()
3x a 2x 11x
2x 2⎧-≥--⎪
⎨--≥⎪
⎩
有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y 的分式方程y 51y --+3=a
y 1
-有整数解，则满足条件的所有整数a 的个数是（ ） A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
7．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，CB CD =，∠CAD ＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB ＝（ ）
A．30°B．50°C．70°D．80°
8．下列计算正确的是（）
A．（a3）3＝a6B．a6÷a2＝a3C．a5+a3＝a8D．a•a3＝a4
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则BC的长为（）
A．4 B．8 C．12 D．16
10．如图，D、E分别是ABC
∆的边AB、BC上的点，DE AC，AE、CD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）
A．BD EO
AD AO
=B．
CO CE
CD CB
=C．
AB CO
BD OD
=D．
BD OD
BE OE
=
11．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝6，则⊙O的半径长为（）
A. D.3
12．如图：二次函数y＝ax2+bx+c的图象所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b ＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2，正确的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
13．太阳半径约是6.97万千米，科学记数法表示约是____千米．
14．某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差等数个统计量中，该鞋厂最关注的是_____．
15．如图，在△A 1B 1C 1中，已知A 1B 1=7，B 1C 1=4，A 1C 1=5，依次连接△A 1B 1C 1三边中点，得△A 2B 2C 2，再依次连接△A 2B 2C 2的三边中点得△A 3B 3C 3，…，则△A 5B 5C 5的周长为 ．
16．在背面完全相同四张不透明的卡片，正面分别印有下列函数解析式：
21
,2,,21y y x y x y x x
==-+==+，将它们背面朝上洗均匀后，从中抽取一张卡片，则抽到的函数图
像不过第四象限的卡片的概率是__________． 17．方程
111
x x x =--的解是______． 18．如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm ），则该几何体的侧面积为_____cm 2
．
三、解答题
19．某水果店经销一批柑橘，每斤进货价是3元．试销期间发现每天的销售量y （斤）与销售単价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用800元．
（2）如果每天获得1600元的利润，销售单价为多少元？
（3）当销售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
20．如图，在▱ABCD 中，CF ⊥AB 于点F ，过点D 作DE ⊥BC 的延长线于点E ，且CF ＝DE ． （1）求证：△BFC ≌△CED ；
（2）若∠B ＝60°，AF ＝5，求BC 的长．
21．定义：两条长度相等，且它们所在的直线互相垂直，我们称这两条线段互为等垂线段．如图①，直线y ＝2x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点 B ．
（1）若线段AB 与线段BC 互为等垂线段．求A 、B 、C 的坐标． （2）如图②，点D 是反比例函数y ＝﹣1
x
的图象上任意一点，点E （m ，1），线段DE 与线段AB 互为等垂线段，求m 的值；
（3）抛物线y ＝ax 2
+bx+c （a≠0）经过A 、B 两点． ①用含a 的代数式表示b ．
②点P 为平面直角坐标系内的一点，在抛物线上存在点Q ，使得线段PQ 与线段AB 互为等垂线段，且它们互相平分，请直接写出满足上述条件的a 值．
22．在一次数学考试中，小明有一道选择题(只能在四个选项A 、B 、C 、D 中选一个)不会做，便随机选了一个答案；小亮有两道选择题都不会做，他也随机选了两个答案． (1)小明随机选的这个答案，答对的概率是 ； (2)通过画树状图或列表法求小亮两题都答对概率是多少？
(3)这个班数学老师参加集体阅卷，在阅卷的过程中，发现学生的错误率较高．他想：若这10道选择题都是靠随机选择答案，则这10道选择题全对的概率是 ．
23．如图，抛物线y ＝ax 2x 轴交于A （﹣3，0），B （9，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 沿AC 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ ，过点Q 作QD ⊥x 轴，与抛物线交于点D ，连接PD 与BC 交于点E ．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0） （1）求抛物线的表达式；
（2）①直接写出P ，D 两点的坐标（用含t 的代数式表示，结果需化简）． ②在点P ，Q 运动的过程中，当PQ ＝PD 时，求t 的值；
（3）点M 为线段BC 上一点，在点P ，Q 运动的过程中，当点E 为PD 中点时，是否存在点M 使得PM+
12BM 的值最小？若存在，请求出PM+1
2
BM 的最小值；若不存在，请说明理由．
24．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点()0,4A 与点B 关于x 轴对称，点(),0C m 为x 轴的正半轴上一动点.以AC 为边作等腰直角三角形ACD ，90ACD ∠=︒，点D 在第一象限内.连接
BD ，交x 轴于点F .
（Ⅰ）用含m 的式子表示点D 的坐标；
（Ⅱ）在点C 运动的过程中，判断OF 的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由； （Ⅲ）过点C 作CG BD ⊥，垂足为点G ，请直接写出BF DF -与CG 之间的数量关系式.
25．一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ （3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？ 【参考答案】*** 一、选择题
13．46.7910⨯ 14．众数 15．1 16．
34
17．x ＝－1 18．65π 三、解答题
19．（1）y ＝﹣800x+5600；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是2400元． 【解析】 【分析】
（1）设y ＝kx+b ，将两组数据代入即可求解
（2）设销售单价为x 元，用销售量×每斤利润-其他各项费用=总利润即可得出（x ﹣3）（﹣800x+5600）﹣800＝1600，求解即可得到答案
（3）由题意可得w ＝（x ﹣3）（﹣800x+5600）﹣800，整理一下，在x 范围内用二次函数的最值公式即可求解 【详解】
（1）设y ＝kx+b ，
将x ＝3.5，y ＝2800；x ＝5.5，y ＝1200代入，
得
3.52800 5.51200
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
800
5600
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
则y与x之间的函数关系式为y＝﹣800x+5600；
（2）由题意，得（x﹣3）（﹣800x+5600）﹣800＝1600，
整理，得x2﹣10x+24＝0，
解得x1＝4，x2＝6．
∵3.5≤x≤5.5，
∴x＝4．
答：如果每天获得1600元的利润，销售单价为4元；
（3）由题意得：w＝（x﹣3）（﹣800x+5600）﹣800
＝﹣800x2+8000x﹣17600
＝﹣800（x﹣5）2+2400，
∵3.5≤x≤5.5，
∴当x＝5时，w有最大值为2400．
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是2400元．
【点睛】
此题主要考查二次函数的实际应用，熟练运用待定系数法是解题关键
20．（1）详见解析；（2）BC＝10．
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，可得∠B＝∠DCE，由“AAS”可证△BFC≌△CED；
（2）设BC＝CD＝AB＝x，由直角三角形的性质可得（x﹣5）＝1
2
x，可求x的值，即可求BC的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠B＝∠DCE
∵CF⊥AB，DE⊥BC，
∴∠CFB＝∠DEC＝90°，且CF＝DE，∠B＝∠DCE ∴△BFC≌△CED （AAS）
（2）∵△BFC≌△CED
∴BC＝DC＝AB
设BC＝x，
∴CD＝AB＝x
在Rt△BCF中，∠B＝60°
∴∠BCF＝30°
∴FB＝1
2
BC
∴（x﹣5）＝1
2
x
解得x＝10 ∴BC＝10．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
21．（1）点A 、B 的坐标分别为（﹣2，0）、（0，4），点C （4，2）；（2）m ＝5
3
；（3）①b ＝2a+2；②a ＝﹣72
． 【解析】 【分析】
（1）证明△AOB ≌△CDB （AAS ），则BD ＝OA ＝2，DC ＝OB ＝4，即可求解； （2）设点D （n ，﹣1n ），则点H （n ﹣2，1），点E （n ﹣2+4，﹣1
n
﹣2），而点E （m ，1），即可求解；
（3）①将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式即可求解；②确定直线PQ 的表达式为y ＝﹣12x+3
2
，则点
G （3，0），则HG HQ ＝
1
2
AB Q 是HG 的中点，求出点Q （1，1），将点A 、B 、Q 的坐标代入二次函数表达式即可求解． 【详解】
（1）如图①，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，
y ＝2x+4，令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝﹣2， 故点A 、B 的坐标分别为（﹣2，0）、（0，4）， ∵∠ABO+∠CBD ＝90°，∠ABO+∠BAO ＝90°， ∴∠BAO ＝∠DBC ，
∠AOB ＝∠CDB ＝90°，AB ＝BC ， ∴△AOB ≌△CDB （AAS ）， ∴BD ＝OA ＝2，DC ＝OB ＝4， ∴点C （4，2）；
（2）如图②，由（1）知，△AOB ≌△EHD （AAS ），
则HE ＝OB ＝4，DH ＝OA ＝2， 设点D （n ，﹣），1n 则点H （n ﹣2，1），点E （n ﹣2+4，﹣1
n
﹣2）， 而点E （m ，1）， 即：m ＝n+2；﹣1
n
﹣2＝1， 解得：m ＝
53
； （3）①将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：420
4a b c c -+=⎧⎨=⎩
，
故：b ＝2a+2；
②如图③，PQ 与BA 交于点H ，即点H 是两条线段的中点，延长PQ 交x 轴于点G ，
则点H （﹣1，2），直线AB 表达式中的k 值为2，则直线PQ 表达式中的k 值为﹣1
2
， 则直线PQ 的表达式为：y ＝﹣12x+b ，将点H 坐标代入上式并解得：b ＝32， 则直线PQ 的表达式为：y ＝﹣
12x+32
，
则点G （3，0），则HG HQ ＝1
2
AB 即点Q 是HG 的中点，则点Q （1，1），
将点A 、B 、Q 的坐标代入二次函数表达式并解得：a ＝﹣72
． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、解直角三角形、三角形全等等知识点，此类题目关键是准确理解新定义，正确画图，再按题设顺序逐次求解．
22．(1)
14；(2)116；(3)1014
. 【解析】 【分析】
（1）错误答有3个，除以答案总数4即可
（2）根据题意画出树状图即可知道一共有16种情况，选出两题都错的情况，即可解答 （3）由（2）可知两题都对的概率为(14)2，10道选择题全对的概率是10个1
4
的乘积 【详解】
(1)∵只有四个选项A 、B 、C 、D ，对的只有一项， ∴答对的概率是1
4
； 故答案为：
14
； (2)根据题意画图如下：
共有16种等情况数，两题都答对的情况有1种， 则小亮两题都答对概率是
116
； (3)由(2)得2道题都答对的概率是(14)2，则这10道选择题全对的概率是(14)10＝1014
． 故答案为：101
4
． 【点睛】
此题考查概率公式和列表法与树状图法，解题关键在于看懂题中数据
23．（1）2y x x =+；（2）P 132t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，D )
2926t t t ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
；
154t =
；（3）存在，故PM+12BM ．
【解析】 【分析】
（1）把A （﹣3，0），B （9，0）两点，代入解析式即可 （2）先求出BC 的解析式①把P,Q 代入解析式即可解答
②当PQ ＝PD 时，则DQ 中点的纵坐标＝点P 的纵坐标，在代入解析式即可
（3）根据点E 是PQ 的中点，求出点E 的坐标，将其代入解析式②即可求出P ，作点P 关于直线BC 的对称点P′，过点P′作P′H⊥x 轴、BC 于点H 、M ，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，再证明△P′MC≌△PNC （AAS ），即可解答 【详解】
解：（1）将A （﹣3，0），B （9，0）代入y ＝ax 2，得：
8190930a b a b ⎧++=⎪⎨
-+=⎪⎩
，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴抛物线的表达式为y
＝﹣
9
x 2
+3
（2）由题意得：∠ACO ＝∠OBC ＝30°，∠ACB ＝90°， 将点B 、C （0，
直线BC 的表达式为：y
＝﹣
②； ①点P 的坐标为（﹣3+
12t
）， 点Q （9﹣2t ，0），将点Q 的坐标代入①式并整理得：点D[9﹣2t
（6t ﹣t 2
）]； ②当PQ ＝PD 时，则DQ 中点的纵坐标＝点P 的纵坐标， 即：
12
（6t ﹣t 2
）]
，
解得：t ＝
154
； （3）点P 的坐标为（﹣3+
12t
，2
t ）、点D[9﹣2t
（6t ﹣t 2
）]，
点E 是PQ 的中点，则点E[3﹣
34t
（6t ﹣t 2）]，
将点E 的坐标代入②式并整理得：t 2﹣6t+9＝0，解得：t ＝3， 即点P （﹣
32
）即点P 是AC 的中点， 作点P 关于直线BC 的对称点P ′，过点P′作P′H⊥x 轴、BC 于点H 、M ，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，
则MH ＝
1
2
MB ， 则此时，PM+
1
2
BM ＝PM+MH ＝P′H 为最小值， ∵∠ACB ＝90°，PC ＝P′C，∠P′CM＝∠NCP ，∠P′MC＝∠PNC ＝90°， ∴△P′MC≌△PNC （AAS ），∴MC ＝NC ＝
1
2
OC ，
OM ＝32OC
＝2
＝P′H， 故PM+
12BM
． 【点睛】
此题考查二次函数综合题，解题关键在于作辅助线
24．(1) G(4+m,m)
(2) OF=4，OF 是不变化的 (3) BF DF -是CG 的两倍
【解析】
【分析】
(1)过D 点作x 轴垂线，垂足为G 点，可知△CDG 相似△OAC ，即可求出D 点坐标.
(2)利用B,D 两点的坐标给出直线BD 的解析式，然后令解析式的y=0，给出x 的值，如果x 含有参数，则OF 的长是变化的，若x 不含参数，则OF 的长无变化.
(3)用含m 的式子表示出BF DF -和CG 的长，结果就出来了，其中BF DF -的长利用△DFG 相似△OBF 可求，CG 的长直接利用勾股定理可求.
【详解】
解：(1) 过D 点作x 轴垂线，垂足为H 点，
∵90ACD ∠=︒，
∴=90ACO DCH ∠+∠︒
∵=90ACO CAO ∠+∠︒,
∴CAO DCH ∠=∠ ，
又∵90ACD CHD ∠=∠=︒,AC=CD,
∴在△OAC 和△CDH ，
CAO DCH AOC CHD AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
(AAS)ACO CDH ∴≌，
∴CH=OA,DH=OC=m,
∴OH=4+m ，
∴
D(4+m,m).
(2)设BD 直线的解析式为：y=kx+b ，
将点B(0,-4)与点D(4+m,m)代入方程，
()44+m b k b m =-⎧⎨+=⎩
，
解得：11
k b =⎧⎨=⎩ ， BD 的直线解析式为4y x =- ，当y=0时，x=4 ，OF=4，OF 是不变化的；
(3)可知△DFH 相似△OBF ，∴::m 4DH OB DF BF ==：，由 B(0,-4)与点D(4+m,m)，可以知道
)4m +,∴, DF= ，BF DF -m-4，
CG === ∴BF DF -是CG 的两倍.
【点睛】
本题是一道综合习题，第一问考查相似与坐标系中点的表示，第二问考查力一次函数，第三问考查力相似与勾股定理，本题第二问关键是给出直线BD 的解析式，第三问的关键是会表示两个线段的长
25．（1）26；（2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元；（3）当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，计算即可.
（2）设出设每件商品应降价x 元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意列出方程求解即可.
（3）根据题意设设每件商品降价n 元时，该商店每天销售利润为y 元，再根据一元二次方程求解最大值即可.
【详解】
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；
（2）设每件商品应降价x 元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40﹣x ）（20+2x ）＝1200
整理，得x 2﹣30x+200＝0，
解得：x 1＝10，x 2＝20
要求每件盈利不少于25元
∴x 2＝20应舍去，解得x ＝10
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
（3）设每件商品降价n 元时，该商店每天销售利润为y 元
则：y ＝（40﹣n ）（20+2n ）
y ＝﹣2n 2+60n+800
n ＝﹣2＜0
∴y 有最大值
当n ＝15时，y 有最大值＝1250元，此时每件利润为25元，符合题意
即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用问题，特别注意函数的取值范围，再求最大值是要先分析函数的取值范围，在计算函数值的最大值.。