第五章 偏微分方程的有限元法(仅供借鉴)

一类参考
第五章 偏微分方程的有限元法
计 有限元法--加权余数法
算
物
自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余
理 数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程，
学 因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理
场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
加权余数法的核心思想是：近似解与解析解相比会存 在误差R，但是可以通过一个准则使R尽量小，求解这个等 式，就可以得到待定常数的值，也就得到了近似解。
理
有限元法将求解域看成是由许多被称为有限元的小的互
学 连子域组成，对每一单元假定一个较简单的近似解，然后推
导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不
是准确解，而是近似解。有限元不仅计算精度高，而且能适
应各种复杂形状，因而成为行之有效的数值计算方法。
有限元法于上世纪50年代首先在力学领域-----飞机结 构的静、动态特性分析中得到应用，随后很快广泛的应用 于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
① 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制。 ②不必单独处理第二、三类边界条件。 ③ 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和 单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。
一类参考
5.1 泛函与变分原理
计 5.1.1 泛函的定义
算
泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的
物 “函数”。
理 学
得
1
y2

1 sin 2
t
y

1
c1 y2
c1 sin2 t
而
dx

dy y

2c1 sin t cos tdt cos t

2c1 sin2
tdt

c1(1 cos 2t)dt
sin t
一类参考
5.1 泛函与变分原理
计 算
对上式积分得到
x

c1
(t

1 2
sin
2t
)

c2
5.1 泛函与变分原理
计 变换得到
算 物 理
d
dx

y2

y 1 y2
1 y2 y


0
学 进一步化简得到
d
dx

1


0
y 1 y2
积分
y 1 y替换 算 物
y cos t sin t
dT
dx
v
2gy
O
x0
A
x1 x
B y
从A点到B点的下落时间为
T x1 1 y2 dx J[ y(x)]
x0 2gy
一类参考
J[ y(x)] min
5.1 泛函与变分原理
计 5.1.2 函数的变分
算
设y(x)是泛函J定义域内任一函数，如果y(x)变化为
物 新函数Y(x) ，且Y(x)属于泛函J的定义域，则Y(x)与y(x)
5.1 泛函与变分原理
利用二元函数的泰勒展开 计 算 物 理 学
F (x, y y, y y)

F
(x,
y,
y)

1 1!


y
F
(x, y, y
y)


y
F
(x, y, y
y)


1 2!


y2
2F
(x, y, y2
y)

2
y
y 2 dx
分别称为泛函的一阶变分和二阶变分。
一类参考
5.1 泛函与变分原理
计 泛函取极值的必要条件：一阶变分为零
算
物
J 0
理
学 性质：对于最简泛函，变分运算可以与积分、微
分运算交换次序
J


x1 x0
F
(x,
y,
y)dx

x1 F (x, y, y)dx
题，即泛函求极值问题；它将求解域看成是由许多称为
有限元的小的互连子域组成，然后利用剖分插值，对每一
单元假定一个合适的(较简单的）近似解，把离散化的变分
问题转化为普通多元函数的极值问题，然后推导求解这
个域总的满足条件(边界条件），即最终归结为一组多元的
代数方程组，求解代数方程组，就得到待求边值问题的
数值解。

ydx
F
y
y
x1 x0
0
对于驻定问题，两边界固定 y xx0 0 x x1
F y

d dx

F y


0
这就是最简泛函的欧拉方程，等价于泛函取极值的必要条件。
把变分问题转化微分方程的定解问题（边值问题）来求解。
一类参考
5.1 泛函与变分原理
计 对于例5.1.1求下落时间最短的轨迹
有限元法主要用于求解拉普拉斯方程和泊松方程所描述的 各类物理场中。
一类参考
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法---变分原理
计
算
基于变分原理的有限元法是逼近论、偏微分方程、变
物 分与泛函分析的巧妙结合。
理
基于变分原理的有限元法以变分原理为基础，把所
学 要求解的微分方程定解问题，首先转化为相应的变分问
x0


dy dx


d

y
dx

一类参考
5.1 泛函与变分原理
计 5.1.4 泛函的极值问题
算 1 泛函的极值问题的间接解法
物
转化为微分方程：欧拉方程
J 0
理
学 泛函的一阶变分
J
x1 (F y F y)dx
x0 y
y
利用
d dx

2a1 1 2x2 2a1 x 1 x2 4x2 1 x dx 0
一类参考
5.1 泛函与变分原理
计 计算得到 算
物 近似函数 理
学
a1


5 9
y 5 x(1 x) 9
计 当n=1时 算
y a1x1 x
物 代入泛函 理
J y
1
(
y2

y2

4xy)dx
0
学
J y
1 0
a1 2a1x2 a1x 1 x2 4a1x2 1 x dx
I a1
取极值
I a1
1 0
理 之差为函数y(x)的变分。
学
y Y (x) y(x)
变分δy是x的函数，它不同于函数的
增量Δy。y y x x y x
性质：函数求导与求变分可以交换次序
y Y(x) y(x) Y(x) y(x) (y)
一类参考
5.1 泛函与变分原理
理
设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任
学 一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为
y(x)的泛函，记为J[y(x)]。
数学上，通常自变量与因变量间的关系称为函数，
而泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数，即
自变量为函数，而不是变量。
一类参考
5.1 泛函与变分原理
计
例5.1.1 质点在重力作用下，沿一条光滑的从A点到B 点的曲线运动，如图所示。求下落时间最短的曲线。
5.1 泛函与变分原理
计 例5.1.2 求下列泛函的极值函数。
算 物
J y
1
(
y2

y2

4xy)dx
0
理
y(0) y(1) 0
学
解：为了满足边界条件，取基函数为
i xi (1 x)
近似函数为
n
y ai xi 1 x i 1
一类参考
5.1 泛函与变分原理
计 5.1.3 泛函的变分
算 定义最简泛函
物 理 学
J[ y(x)] x1 F(x, y, y)dx x0
F(x,y,y’)称为泛函的“核函数”
最简泛函: 核函数只包含自变量 x、未知函数y(x)以及导数y’(x)
泛函的变分
J J ( y y) J ( y)
x1F(x, y y, y y) F(x, y, y)dx x0 一类参考

y


d dx

F y


y
计 算 物
J
x1 x0

F y

y

dx

x1 x0
d dx

F y


ydx

F y

y
x1 x0
理 学

x1 F
x0

y

d dx

F y

计
算 第五章 偏微分方程的有限元法
物
理 学
5.1 泛函与变分原理
5.2 基于变分原理的有限元法
5.3 matlab有限元法工具箱
一类参考
第五章 偏微分方程的有限元法
有限元法（FEA，Finite Element Analysis，FEM）
计 算 物
有限元法的基本思想是用较简单的问题代替复杂问 题，然后再对简单问题进行求解的数值计算方法。
J[ y(x)] x1 F(x, y, y)dx x0
J y x I a1, a2, , an
一类参考
5.1 泛函与变分原理
(3) 为了求泛函的极值，按照多元函数取极值的必要条件
计
算
I 0 i=1,2,3 n
物
ai
理 学
(4) 求解以上方程组，求出 a1, a2 , , an 就可以得
到极值函数的近似解
(5) 再将含有n+1个待定系数的函数
n1
y aii i 1
作为近似极值函数，重复(2)~(4)，就可以得到极值函数新 的近似解 。如果连续两次所得到的结果接近，就认为最 后得到的函数就是极值函数的近似解 。
n1
n
aii aii
i1
一i1类参考
一类参考
5.1 泛函与变分原理
计 2 泛函的极值问题的直接解法
算
瑞利--里兹(Rayleigh-Ritz)法
物
基本做法：
理
学
(1) 选定一组具有相对完备性的基函数，构造一个线
性组合的近似函数
n
y aii i1
i：基函数
ai：待定系数
(2) 将含有n个待定系数的构造函数作为近似的极值 函数，代入泛函


dx
学 J 2J
F
2F
其中
Fy y
Fyy y2
J
x1 x0
Fy y Fy y dx
J J ( y y) J ( y)
2J 1
2
x1
x0

Fyy
y
2 2Fyy y y Fyy
算
物 理
O
x0
A
x1 x
捷线问题
学
B
y
曲线上任一小段线元长度为：
ds2 dx2 dy2 (1 dy 2 )dx2 dx
ds (1 y2 )dx
一类参考
5.1 泛函与变分原理
计 线元处的质点速度为
算 物
v 2gy
理 学 ds线元下落时间为
ds 1 y2
一类参考
第五章 偏微分方程的有限元法
计 有限元法特点
算 1. 有限元法的物理意义直观明确，理论完整可靠。 因为变 物 分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理
理 （如力学中的最小势能原理）。
学 2. 优异的解题能力。有限元法对边界几何形状复杂以及媒 质物理性质变异等复杂物理问题求解上，有突出优点：
F y

y


d dx

F y


y

F y
d
y
dx

d dx

F y


y

F y

y
y ( y)
一类参考
J
x1 x0
(
F y

y

5Fy.1y泛)dx函与Fy变 y分 d原dx 理Fy
3
2g y 2
F
y
y 2gy 1 y2
理
学 代入欧拉方程
F y

d dx

F y


2
1 y2
3
2g y 2

d dx

y
0
2gy 1 y2
1 y2
3
2y 2

d

dx
y
0
y 1 y2
一类参考
物 这样就得到了下落时间最短曲线的参数方程
理
学
x

c1 (t

1 2
sin
2t)

c2
y c1 sin2 t
x c3 t sin t c4

y

c3
1

cos
t

式中常数c1和c2由始末两点位置确定
连接两个点上凹的唯一一段旋轮线 练习：画出经过(0,0)和(1,1)的下落时间最短曲线。
y
2F (x, y, yy
y)


y2
2F (x, y, y2
y)


一类参考
5.1 泛函与变分原理
计 算 物 理
J
x1 Fy y Fy y
x0

1 2!

Fyy

y2

2Fyy
y
y

Fyy

y2
算
物 理
T x1 1 y2 dx J[ y(x)]
x0 2gy
J[ y(x)] min
学
利用最简泛函的欧拉方程。
F y

d
dx

F
y


0
1 y2 F
2gy
一类参考
F 1 y2 2gy
5.1 泛函与变分原理
计 算 物
F y

2
1 y2