绍兴市高级中学学科竞赛选拔考试试卷

绍兴市高级中学学科竞赛选拔考试试卷
（高中数学）
考试时间：90分钟 试卷分值：100分
考生班级：高二（ ）班 考生姓名：
（1）如图所示，单位圆中的弧⌒AB 长为x ，)(x f 表示弧⌒
AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，
则函数)(x f y =的图像是
（2）已知点P N O ,,在ABC ∆所在平面内，且||||||==，=++，
⋅=⋅=⋅，则点P N O ,,依次是ABC ∆的
A ． 重心、外心、垂心
B ． 重心、外心、内心
C ． 外心、重心、垂心
D ． 外心、重心、内心
（3）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），… …，则第60个数对是
A ． (3，8)
B ． (4，7)
C ． (4，8)
D ． (5，7) （4）设}{n a 是等比数列，则“321a a a <<”是“数列}{n a 是递增数列”的
A ． 充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分也不必要条件
（5）如果点P 在平面区域⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么||PQ 的最小
值为2 A ．
15- B ．
15
5
4- C ． 122- D ． 12-
（6）已知集合)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B =，若B A =，则
=+
∑=)1
(2012
1
n n
n y
x ； （求和：
)1()1()1()1(2012
2012
222012
1
y x y x y x y x n n n ++++++=+
∑= ）
（7）已知c
bx ax x f ++=1
)(2是奇函数，2)1(=f ，3)2(<f ，且c b a ,,是整数，
则=++c b a 32 ；
（8）在区间]3,2[上，方程)(log log )(log log 2332x x =的实根的个数共有 ； （9）如图所示，在ABC ∆中，AB AD ⊥
，=，
|
（10）已知数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n B A ,，且1000=A 1000记n n n n n n n b a A b B a c ⋅-⋅+⋅=（*
N n ∈），则数列}{n c 的前1000项的和为 ； （11）若
2
4
π
π
<
<x ，则函数x x y 3
tan 2tan ⋅=的最大值为 ；
（12）设y x ,为实数，满足94,8322
≤≤≤≤y x xy ，则43
y
x 的取值范围是 ；
（13）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：4)1()3(22=-++y x 和圆2C ：
4)5()4(2
2=-+-y x ．
（I ）若直线l 过点)0,4(A ，且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程；
（II ）设P 为平面上的点，满足存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C
和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．
（14）已知c b a ,,是实数，函数c bx ax x f ++=2
)(，b ax x g +=)(，当11≤≤-x 时，1|)(|≤x f ．
（I ）求证：1||≤c ；
（II ）求证：当11≤≤-x 时，2|)(|≤x g ；
（III ）设0>a ，当11≤≤-x 时，)(x g 的最大值为2，求)(x f ．
（15）如图所示，公园有一块边长为2的等边ABC ∆的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成
面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．
（I ）设x AD =（0≥x ），y ED =，求用x 表示y 的函数关系式；
（II ）如果DE 是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？如果DE 参观线
路，则希望它最长，DE 的位置又应在哪里？写出解题过程．
（16）设n T 为数列}{n a 的前n 项之积，满足n n a T -=1（*
N n ∈）．
（I ）设n
n T b 1
=
，证明数列}{n b 是等差数列，并求n b 和n a ； （II ）设2
2221n n T T T S +++= ，求证：4
1211-≤<-
+n n n a S a ．。