湖北省实验中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

湖北省实验中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）
A ．1a >，1c >
B ．1a >，01c <<
C ．01a <<，1c >
D ．01a <<，01c <<
2．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）
A ．5ln 2+
B ．5ln 2-
C ．3ln 2+
D ．3ln 2- 3．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若
2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为
A ．23
B ．34
C 15
D 105 4．在满足04i i x y <<≤，i i y x i i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整
数n 的最大值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．9
5．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π
⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ）
A 26-
B 26+
C 62-
D 62+6．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ）
A ．37
B ．13
C 13
D 377．正四棱锥P ABCD -6，侧棱长为3为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．20π
8．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ）
A ．125i +
B ．66i -
C ．5i
D ．13
9．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56
π 10．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z =
A ．1
B 5
C ．5
D ．55
11．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）
A ．甲的数据分析素养优于乙
B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养
C ．甲的六大素养整体水平优于乙
D ．甲的六大素养中数学运算最强
12．已知ABC 是边长为3的正三角形，若13BD BC =，则AD BC ⋅= A ．32-
B ．152
C ．32
D ．152- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知半径为4的球面上有两点
，，球心为O ，若球面上的动点C 满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为_________.
14．设实数0a >，若函数()()()2aln 0120x x x f x x a x x ⎧->⎪=⎨+++<⎪⎩
的最大值为()1f -，则实数a 的最大值为______. 15．已知数列{}n a 递增的等比数列，若23
12a a +=，1427a a =，则n a =______. 16．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是______
，体积是_____.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设椭圆22:12
x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，
分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.
(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积;
(Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由.
18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形//AB DC ，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，2CD =，PC ⊥底面ABCD ，且2PC =，E 为CD 的中点.
（1）证明：BE AP ⊥；
（2）设点M 是线段BP 上的动点，当直线AM 与直线DP 所成的角最小时，求三棱锥P CDM -的体积.
19．（12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3620a a +＝，535S ＝．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{12n S n ++}的前n 项和为n T ，求使920
n T ＞成立的n 的最小值． 20．（12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点C ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为()1,0，点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上的点，且OA OB ⊥．
()1证明：直线AB 与圆221x y +=相切；
()2求AOB 面积的最小值．
21．（12分）设函数()2()11x f x e e kx -=++-（其中(0,)x ∈+∞），且函数()f x 在2x =处的切线与直线
2(2)0e x y +-=平行.
（1）求k 的值；
（2）若函数()ln g x x x =-，求证：()()f x g x >恒成立.
22．（10分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体
发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池AD 边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解析】
根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.
【详解】
从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>，
故得01,01c a <<<<，
故选：D ．
【点睛】
本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.
2、A
【解析】
设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2
()2ln f a a a =+-，利用导数求出
单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．
【详解】
解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2
221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦
设2
()2ln f a a a =+-，则221()a f a a -'=，函数()f a 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以min
min 242()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭
故选：A ．
【点睛】 本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．
3、D
【解析】
如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .
根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d a a a d a d
++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5
PQ a =. 在12PF F △和1PFQ 中，由余弦定理得222222
1246668()()(2)()()()55555cos 4666225555
a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得
c e a =.故选D ． 4、A
【解析】
由题可知：04i i x y <<≤，且i i y x i i x y =可得ln ln i i i i x y x y =，构造函数()()ln 04t h t t t
=<≤求导，通过导函数求出()h t 的单调性，结合图像得出min 2t =，即2i x e ≤<得出33n x e <，
从而得出n 的最大值.
【详解】
因为04i i x y <<≤，i i y x i i x y =
则ln ln yi xi i i x y =，即ln ln i i i i y x x y = 整理得ln ln i i i i
x y x y =，令i i t x y ==， 设()()ln 04t h t t t
=
<≤， 则()2211ln 1ln t t t t h t t t ⋅-⋅-'==， 令()0h t '>,则0t e <<，令()0h t '<，则4e t <≤，
故()h t 在()0,e 上单调递增，在(),4e 上单调递减，则()1h e e =
， 因为i i x y <，()()i i h x h y =，
由题可知：()1ln 44
h t =时，则min 2t =，所以2t e ≤<， 所以24i i e x y ≤<<≤，
当n x 无限接近e 时，满足条件，所以2n x e ≤<，
所以要使得121338.154n n x x x x e -+++<<≈
故当12342x x x x ====时，可有123488.154x x x x +++=<，
故14n -≤，即5n ≤，
所以：n 最大值为5.
故选：A.
本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力. 5、A
【解析】
先利用最高点纵坐标求出A ，再根据
324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可.
【详解】
由图象可知A ＝1， ∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，所以T ＝π，∴22T πω==. ∴f （x ）＝sin （2x +φ），将112，π⎛⎫
⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1， ∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3
π=. ∴()23f x sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
. ∴3384312f sin sin π
ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
34344sin cos cos sin ππππ⎛⎫=--= ⎪⎝
⎭. 故选：A .
【点睛】
本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题. 6、D
【解析】
直接根据余弦定理求解即可．
【详解】
解：∵3,4,120a b C ︒
==∠=，
∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，
∴c =，
本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．
7、C
【解析】
如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()
222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.
【详解】 如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上， 223BD AB ==，故132BE BD =
=，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==.
故选：C .
【点睛】
本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
8、A
【解析】
利用复数的乘法运算可求得结果.
【详解】
由复数的乘法法则得()()2
2332656125i i i i i +-=+-=+.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.
9、C
【解析】 根据2a b a b +=+， 两边平方222a b a b +=+，化简得()2
23ab a =-，再利用数量积定义得到()22cos ,3a b a b a =-求解.
【详解】
因为平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+， 所以222a b a b +=+，
所以()223
ab a =-， 所以 ()22cos ,3a b a b a =-
，
所以1cos ,2
a b =-， 所以a 与b 的夹角为
23π
.
故选：C
【点睛】 本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.
10、B
【解析】
由15z z ⋅=可得15z z =
，所以155||2i ||||z z +===B ． 11、D
【解析】
根据所给的雷达图逐个选项分析即可.
【详解】
对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，
故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；
对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，
故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确； 对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为
100801008010080310
63
+++++=，
乙的六大素养整体水平均得分为8060806060100250
63
+++++=，故C 正确；
对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误； 故选：D 【点睛】
本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题. 12、A 【解析】
由1
3BD BC =可得13
AD AB BD AB BC =+=+，因为ABC 是边长为3的正三角形，所以
221113
()33cos12033332
AD BC AB BC BC AB BC BC ⋅=+⋅=⋅+=⨯︒+⨯=-，故选A ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
【解析】 设所在截面圆的圆心为，
中点为，连接
， 易知
即为二面角
的平面角，可求出
及
，然后可判断出四面体
外接球的球心在直线上，在中，
，结合
，可求出四面体
的外
接球的半径. 【详解】 设
所在截面圆的圆心为
，
中点为，连接
， OA ＝OB ，所以，OD ⊥AB ，同理O 1D ⊥AB ，所以，
即为二面角
的平面角，
，
因为，所以
是等腰直角三角形，
， 在
中，由cos60º＝
，得
，由勾股定理，得：
，
因为O 1到A 、B 、C 三的距离相等，所以，四面体外接球的球心在直线
上，
设四面体
外接球半径为，
在中，
， 由勾股定理可得：
，即
，解得
．
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题． 14、32e 【解析】
根据()1f a -=，则当0x >时，2ln a x x a -≤，
即()2
ln 1a x x -≤.当01x <≤时，()2
ln 1a x x -≤显然成立；当1x >时，由()2
ln 1a x x -≤，转化为
21ln 1x a x -≥，令()()2ln 1
1x g x x x
-=>，用导数法求其最大值即可. 【详解】
因为()1f a -=，又当0x >时，2ln a x x a -≤，即()2
ln 1a x x -≤.
当01x <≤时，()2
ln 1a x x -≤显然成立；
当1x >时，由()2
ln 1a x x -≤等价于
21ln 1
x a x
-≥， 令()()2ln 11x g x x x -=>，()3
32ln 'x
g x x -=， 当32
1,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 单调递增，
当32,x e ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 单调递减，
()32
max
312g g e e
x ⎛⎫= ⎪⎝⎭=，则3112a e ≥，
又0a >，得32a e ≤，
因此a 的最大值为32e . 故答案为：32e 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 15、13n - 【解析】
142327a a a a ==，建立23,a a 方程组，且23a a <，求出23,a a ，进而求出{}n a 的公比，即可求出结论.
【详解】
数列{}n a 递增的等比数列，32a a ∴>，
2314
231227a a a a a a +=⎧⎨
==⎩，解得233
9a a =⎧⎨=⎩， 所以{}n a 的公比为3，13-=n n a . 故答案为:13n -. 【点睛】
本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题. 16、，.
【解析】
试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积，
体积
，故填：
，.
考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (Ⅰ) 22(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】
(Ⅰ)计算得到故2A ⎛- ⎝⎭，21,2B ⎛-- ⎝⎭
，2C ⎛ ⎝⎭，21,D ⎛ ⎝⎭，计算得到面积.
(Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到21222212242122
21k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，计算AB =
，同理CD =，根据AB CD =得到22m n =，得到证明.
(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故11
2PQ k k k
=-≠-，得到结论. 【详解】
(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N
，故1,2A ⎛- ⎝⎭
，1,2B ⎛-- ⎝⎭
，1,2C ⎛ ⎝⎭
，1,2D ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭. 故四边形ABCD
的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2
212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，故()22222
214220k x k mx m k +-+-=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，故212222
122421
2221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，
12AB x =-==，
同理可得CD =，
AB CD =
=， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.
(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则2
21
112x y +=，222212
x y +=，
相减得到
()()()()1212121202
x x x x y y y y +-+
+-=，即20a kb +=，
同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11
222PQ d b d b k c a kd kb k k
--=
==-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】
本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18、（1）见解析；（2）22
9
. 【解析】
（1）要证明BE AP ⊥，只需证明BE ⊥平面PAC 即可；
（2）以C 为原点，分别以,,CD CB CP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求
cos ,AM DP <>，并求其最大值从而确定出1
3
BM BP =使问题得到解决.
【详解】
（1）连结AC 、AE ，由已知，四边形ABCE 为正方形，则AC BE ⊥①，因为PC ⊥底面
ABCD ，则PC BE ⊥②，由①②知BE ⊥平面PAC ，所以BE AP ⊥.
（2）以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(1,1,0)A ，(0,1,0)B ，(2,0,0)D ，
2)P ，所以(1,0,0)AB =-，(0,2)BP =-，(2)DP =-，设BM BP λ=，
(01)λ≤≤，则(1,2)AM AB BM λλ=+=--，所以cos ,AM DP <>=
||||
AM DP
AM DP ⋅=
22613613λλ=+⋅+1[1,2]t λ+=∈2213364t t λ==+-+ 2211
46233
3()24
t t t =
-+-+232t =，即43t =时，cos ,AM DP <>取最大值， 从而,AM DP <>取最小值，即直线AM 与直线DP 所成的角最小，此时1
13
t λ=-=， 则1
3
BM BP =
，因为BC CD ⊥，BC CP ⊥，则BC ⊥平面PDC ，从而M 到平面PDC 的
距离22
33h BC =
=，所以1122323P CDM M PCD V V --==⨯⨯=. 【点睛】
本题考查线面垂直证线线垂直、异面直线直线所成角计算、换元法求函数最值以及等体积法求三棱锥的体积，考查的内容较多，计算量较大，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题. 19、（1）21n a n +＝；（2）n 的最小值为19. 【解析】
（1）根据条件列方程组求出首项、公差，即可写出等差数列的通项公式； （2）根据等差数列前n 项和化简1
2
n S n ++，利用裂项相消法求和，解不等式即可求解.
【详解】
(1)等差数列{}n a 的公差设为d ，3620a a +＝，535S ＝， 可得12720a d +＝，151035a d +＝， 解得13a ＝，2d ＝，
则()32121n a n n +-+＝
＝； (2)1
(321)(2)2
n S n n n n =++=+，
11111
2(2)2(1)(2)12
n S n n n n n n n n ===-+++++++++，
前n 项和为111111233412
n T n n =
-+-+⋯+-++ 11
22n =
-+， 920n T >即1192220n ->+，
可得220n +＞，即18n ＞， 则n 的最小值为19. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，属于中档题 20、()1证明见解析；()2 1. 【解析】
()1由题意可得椭圆C 的方程为2
212x y +=，由点B
在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在，分类讨论
当OA 的斜率为0时和斜率不为0时的情况列出相应式子，即可得出直线AB 与圆2
2
1x y +=相切；
()2由()1知，
AOB 的面积为1
12
S OA OB =
⋅ 【详解】
解：()1由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==
，所以a =
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
由点B
在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在， 当OA 的斜率为0
时，OA =
OB =
于是2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆22
1x y +=相切．
当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212
x y +=联立得()
22
122k x +=，
所以22212A
x k =+，22
2212A k y k =+，从而222
2212k OA k
+=+． 而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B
在y =
上，故x =， 从而2
2
22OB k =+，于是
2
2
111OA
OB
+
=．
此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆2
2
1x y +=相切． 综上，直线AB 与圆2
2
1x y +=相切．
()2由()1知，
AOB 的面积为
2211211122k S OA OB ++⎛=⋅===≥，
上式中，当且仅当0k =等号成立， 所以AOB 面积的最小值为1． 【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化思想，属于难题． 21、（1）1k =（2）证明见解析
【解析】
（1）求导得到2
2
2
(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得答案.
（2）变形得到-2
(1)1ln x
e e x x x +>--，令函数()1ln h x x x x =--，求导得到函数单调区间得到
22()()1h x h e e --≤=+，2()(0)(1)F x F e ->=+，得到证明.
【详解】
（1）2()(1)x f x e e k -'=++，222
(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得1k =.
（2）()()f x g x >得-2(1)1ln x e e x x x ++->-，变形得-2(1)1ln x
e e x x x +>--，
令函数()1ln h x x x x =--，()2ln h x x '=--，令2ln 0x --=解得2x e -=， 当2
(0,)x e -∈时()0h x '>，2
(,)x e -∈+∞时()0h x '<.
∴函数()h x 在2(0,)e -上单调递增，在2(,)e -+∞上单调递减，∴22()()1h x h e e --≤=+，
而函数-2
()(1)x
F x e e =+在区间(0,)+∞上单调递增，∴2
()(0)(1)F x F e ->=+，
∴2()(0)(1)()1ln F x F e h x x x x ->=+≥=--，即2(1)1ln x e e x x x -+>--，
即2(1)1ln x
e e x x x -+-+>-，∴()()
f x
g x >恒成立.
【点睛】
本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力. 22、（1）[15,25]AD ∈（2）当36025b <≤
时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，
2
AD AB b =
=
时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小. 【解析】
（1）设AD x =米，总费用为450()22520015022f x x x ⎛
⎫=⨯+⨯⋅+ ⎪⎝
⎭，解()65400f x ≤即可得解；
（2）结合（1）可得占地面积()225(8)2S x x b x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
结合导函数分类讨论即可求得最值. 【详解】
（1）由题意知:矩形ABCD 面积450
2252
S =
=米2，
设AD x =米，则225AB x =米，由题意知:225
0x x
≥
>，得15x ≥， 设总费用为()f x ，
则450225()225200150226004500065400f x x x x x ⎛
⎫⎛
⎫=⨯+⨯⋅+
=++≤ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 解得:925x ≤≤，又15x ≥，故[15,25]x ∈，
所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米； （2）设发酵馆的占地面积为()S x 由（1）知:()2251800(8)2216225,[15,25]S x x b bx b x x x ⎛⎫
=++=+++∈
⎪⎝⎭
， ()22
2900(),[15,25]bx S x x x
-'=
∈
①4b ≥时，()0S x '≥，()S x 在[15,25]上递增，则15x =，即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小； ②36
025
b <≤时，()0S x '=，()S x 在[15,25]上递减，则25x =，即25,9AD AB ==米时，发酵馆的占地面积最小；
③36,4
25b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，x ⎡∈⎢⎣
时，()0S x '<，()S x 递减；x ⎤∈⎥⎦时，()0,()S x S x '>递增，
因此x
=
=，即AD AB == 综上所述：当36025b <≤
时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，
2
AD AB b =
=
时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小. 【点睛】
此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.。