昆明市师大实验中学七年级数学下册第六单元《实数》经典测试题(含答案解析)

一、选择题
1．a，小数部分为b，则a-b的值为（）
A．6-B6C．8D8A
解析：A
【分析】
先根据无理数的估算求出a、b的值，由此即可得．
【详解】
<<，
91516
<<，
<<34
∴==，
a b
3,3
)
a b
∴-=-=，
336
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
2）
A．2 B．4 C．2±D．-4A
解析：A
【分析】
【详解】
解：∵，
∴
=2．
故选：A．
【点睛】
．
3．观察下列运算：81＝8，82＝64，83＝512，84＝4 096，85＝32 768，86＝262 144，…，则81＋82＋83＋84＋…＋82 017的和的个位数字是（）
A．2 B．4 C．6 D．8D
解析：D
【分析】
根据规律可得底数为8的幂的个位数字依次为8，4，2，6，以4个为周期，个位数字相加为0． 2017除以4余数是1，故得到和的个位数字是8．
【详解】
解：2017÷4＝504…1，
循环了504次，还有1个个位数字为8，
所以81+82+83+84+…+82017的和的个位数字是504×0+8＝8．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了数字的变化类，尾数的特征，得到底数为8的幂的个位数字的循环规律是解决本题的突破点．
4．下列说法正确的是（）
A．2
B．（﹣4）2的算术平方根是4
C．近似数35万精确到个位
D5B
解析：B
【分析】
根据平方根的定义，算术平方根的定义，近似数的定义及无理数的估算方法分别计算可判定求解．
【详解】
解：A.2的平方根是，故错误；
B．（﹣4）2的算术平方根是4，故正确；
C．近似数35万精确到万位，故错误；
D．∵4＜5，∴4，故错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根，算术平方根，近似数，无理数，掌握相关概念及性质是解题的关键．5．已知实数a的一个平方根是2-，则此实数的算术平方根是（）
A．2±B．2-C．2 D．4C
解析：C
【分析】
根据平方根的概念从而得出a的值，再利用算术平方根的定义求解即可．
【详解】
∵-2是实数a的一个平方根，
a=，
∴4
∴4的算术平方根是2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平方根以及算术平方根，在解题时要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的算术平方根是它的正的平方根．
6．数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点D，D点所表示的数为d，且|d﹣5|＝|d﹣c|，则关于D点的位置，下列叙述正确的是？（）
A ．在A 的左边
B ．介于O 、B 之间
C ．介于C 、O 之间
D ．介于A 、C 之间B 解析：B
【分析】
借助O 、A 、B 、C 的位置以及绝对值的定义解答即可．
【详解】
解：-5＜c<0，b=5，|d ﹣5|＝|d ﹣c |
∴BD=CD ，
∴D 点介于O 、B 之间．
故答案为B ．
【点睛】
本题考查了实数、绝对值和数轴等相关知识，掌握实数和数轴上的点一一对应是解答本题的关键．
7．对任意两个正实数a ，b ，定义新运算a ★b 为：若a b ≥，则a ★a b b ；若a b <，则a ★b b a
．则下列说法中正确的有（ ） ①=a b b a ★★；②()()1a b b a =★★；③a ★b 12a b +
<★ A ．①
B ．②
C ．①②
D ．①②③A 解析：A
【分析】 ①根据新运算a b ★的运算方法，分类讨论：a b ≥，a b <，判断出a b ★是否等于b a ★即可；
②由①，推得=a b b a ★★，所以()()1a b b a =★★不一定成立；
③应用放缩法，判断出1a b a b
+
★★与2的关系即可． 【详解】
解：①a b ≥时，
a a b
b ★， b a a b ★， ∴=a b b a ★★；
a b <时，
a b b a
★，
b b a a
★， ∴=a b b a ★★；
∴①符合题意．
②由①，可得：=a b b a ★★，
当a b ≥时，
∴()()()()22a b b a a b a
a a a
b b b b
a b ====★★★★， ∴()()a b b a ★★不一定等于1， 当a b <时， ∴()()()()22a b b a a b b
b b b a
a a a
a b ====★★★★， ∴()()a b b a ★★不一定等于1，
∴()()1a b b a =★★不一定成立，
∴②不符合题意． ③当a b ≥时，
0a >，0b >
， ∴1
a b
≥，
∴
(12a b a b a b b a ab ab ++
=
==+=≥
≥★★， 当a
b <时，
∴
(12a b a b a b a b ab ab ++
===+=≥≥★★， ∴12a b a b +
<★★不成立， ∴③不符合题意，
∴说法中正确的有1个：①．
故选：A ．
【点评】
此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另
外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
8．8 ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7B 解析：B
【分析】
直接利用估算无理数的大小的方法得出23<
<，进而得出答案． 【详解】
解：459<<，
<<23<<，
83882∴-<<-，
586∴<，
8∴5．
故选：B ．
【点睛】
9．下列说法中，错误的是（）
A ．实数与数轴上的点一一对应
B ．1π+是无理数
C D C 解析：C
【分析】
根根据有理数和无理数的定义可对C 、B 、D 进行判断；根据实数与数轴上点的关系可对A 进行判断．
【详解】
解：A. 实数与数轴上的点是一一对应的，此说法正确，不符合题意；
B.1π+是无理数，此说法正确，不符合题意；
是无限不循环小数，此说法正确，不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了实数的有关概念：有理数和无理数统称为实数；整数和分数统称为有理数；无限不循环小数叫无理数；实数与数轴上的点是一一对应的．
10．已知：m 、n 为两个连续的整数，且m n <，以下判断正确的是（ ）
A 4
B ．3m =
C 0.236
D ．9m n += A
解析：A
【分析】
根据无理数的估算、实数的运算即可得．
【详解】
459<<， 459∴<<，即253<<，
5∴的整数部分为2，小数部分为52-，则选项C 错误；
∴5的整数部分与小数部分的差是()25245-
-=-，则选项A 正确； 又m 、n 为两个连续的整数，且5m n <<，
2,3m n ==∴，则选项B 错误；
235m n ∴+=+=，则选项D 错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了无理数的估算、实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
二、填空题
11．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．
（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A 表示的数为________； （2）迁移应用：
请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．
①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．
②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 35-+ 的点，并比较它们的大小．
（1）；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）设正方形边长为a 根据正方形面积公式结合平方根的运算求出a 值则知结果；（2）①根据面积相等利用
割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；②由题（1）的原理得出大正 解析：（1）2,2-；（2）①见解析；②见解析， 350.5-+<-
【分析】
（1）设正方形边长为a ，根据正方形面积公式，结合平方根的运算求出a 值，则知结果； （2） ① 根据面积相等，利用割补法裁剪后拼得如图所示的正方形；
②由题（1）的原理得出大正方形的边长为5，然后在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，再把N 点表示出来，即可比较它们的大小．
【详解】 解：设正方形边长为a ，
∵a 2=2，
∴a=2±，
故答案为：2，2-；
（2）解：①裁剪后拼得的大正方形如图所示：
②设拼成的大正方形的边长为b ，
∴b 2=5，
∴b=±5，
在数轴上以-3为圆心，以大正方形的边长为半径画弧交数轴的右方与一点M ，则M 表示的数为-3+5，看图可知，表示-0.5的N 点在M 点的右方，
∴比较大小：350.5-+<-．
【点睛】
本题主要考查平方根与算术平方根的应用及实数的大小比较，熟练掌握平方根与算术平方根的意义及实数的大小比较是解题的关键．
12．已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ．
（1）求m 的值；
（2）|a ﹣3|b （c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？（1）m ＝121；（2）a+b+c 的立方根是2【分析】（1）由正数的平方根互为相反数可得2n+1+4﹣3n ＝0可求n ＝5即可求m ；（2）由已知可得a ＝3b ＝0c ＝n ＝5则可求解【详
解】解：（1）正数
解析：（1）m ＝121；（2）a +b +c 的立方根是2
【分析】
（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n +1+4﹣3n ＝0，可求n ＝5，即可求m ； （2）由已知可得a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5，则可求解．
【详解】
解：（1）正数m 的平方根互为相反数，
∴2n +1+4﹣3n ＝0，
∴n ＝5，
∴2n +1＝11，
∴m ＝121；
（2）∵|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，
∴a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5，
∴a +b +c ＝3+0+5＝8，
∴a +b +c 的立方根是2．
【点睛】
本题考查平方根的性质；熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．
13．已知1x -的算术平方根是3，24x y ++的立方根也是3，求23x y -的值．11【分析】根据算术平方根和立方根的概念列出方程求出x 和y 代入求值即可【详解】解：∵的算术平方根是3∴∴∵的立方根是3∴即∴∴【点睛】本题考查算术平方根和立方根熟练掌握算术平方根与立方根的意义是解题
解析：11
【分析】
根据算术平方根和立方根的概念列出方程求出x 和y ，代入求值即可．
【详解】
解：∵1x -的算术平方根是3，
∴1=9x -，
∴=10x ，
∵24x y ++的立方根是3，
∴24=27x y ++，即204=27y ++
∴3y =，
∴2320911x y -=-=．
【点睛】
本题考查算术平方根和立方根．熟练掌握算术平方根与立方根的意义是解题的关键． 14．定义：如果将一个正整数a 写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被a 整除，则这个正整数a 称为“魔术数”．例如：将2写在1的右边得到12，写在2的右边得到22，……，所得到的新的正整数的个位数字均为2，即为偶数，由于偶数能被2整除，所以
2是“魔术数”．根据定义，在正整数3，4，5中，“魔术数”为____________；若“魔术数”是一个两位数，我们可设这个两位数的“魔术数”为x ，将这个数写在正整数n 的右边，得到的新的正整数可表示为()100n x +，请你找出所有的两位数中的“魔术数”是
_____________．10202550【分析】①由魔术数的定义分别对345三个数进行判断即可得到5为魔术数；②由题意根据魔术数的定义通过分析即可得到答案
【详解】解：根据题意①把3写在1的右边得13由于13不能被3整除故3 解析：10、20、25、50．
【分析】
①由“魔术数”的定义，分别对3、4、5三个数进行判断，即可得到5为“魔术数”； ②由题意，根据“魔术数”的定义通过分析，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
①把3写在1的右边，得13，由于13不能被3整除，故3不是魔术数；
把4写在1的右边，得14，由于14不能被4整除，故4不是魔术数；
把5写在1的右边，得15，写在2的右边得25，……
由于个位上是5的数都能被5整除，故5是魔术数；
故答案为：5；
②根据题意，这个两位数的“魔术数”为x ，则
1001001n x n x x
+=+， ∴
100n x
为整数， ∵n 为整数， ∴
100x
为整数， ∴x 的可能值为：10、20、25、50； 故答案为：10、20、25、50．
【点睛】
本题考查了新定义的应用和整数的特点，解题的关键是熟练掌握新定义进行解题．
15．﹣8_____．0或﹣4【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解得到答案即可【详解】解：∵﹣8的立方根为﹣2的平方根为2或﹣2∴﹣8的立方根与的平方根之和是﹣2+2＝0或﹣2﹣2＝﹣4故答案为：0或﹣4【点睛】本题
解析：0或﹣4
【分析】
根据算术平方根和立方根的定义求解，得到答案即可.
【详解】
解：∵﹣8的立方根为﹣22或﹣2，
∴﹣82+2＝0或﹣2﹣2＝﹣4，
故答案为：0或﹣4．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16．若[x ]表示实数x 的整数部分，例如：[3.5]=3，则]=___．4【分析】根据无理数的估算可得即可求解【详解】解：∵∴∴故答案为：4【点睛】本题考查无理数的估算掌握无理数的估算方法是解题的关键
解析：4
【分析】
根据无理数的估算可得45<<，即可求解．
【详解】
解：∵161725<<， ∴45<<，
∴4=，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
17．计算：
（1）⎛- ⎝；
（2|1--（1）；（2）【分析】（1）先去括号再利用二次根式加减运算法则进行计算；（2）直接利用绝对值的性质和立方根的性质二次根式的性质分别化简后再相加减即可；【详解】（1）=＝；（2）==【点睛】考查了实数
解析：（1；（2）12-【分析】
（1）先去括号，再利用二次根式加减运算法则进行计算；
（2）直接利用绝对值的性质和立方根的性质、二次根式的性质分别化简后再相加减即可；
【详解】
（1）⎛- ⎝
=
；
（2|1--
=914++-
=12-【点睛】
考查了实数的运算，解题关键是掌握运算法则和运算顺序．
18．对于有理数x 、y ，当x ≥y 时，规定x ※y =y x ；而当x <y 时，规定x ※y =y -x ，那么4※（-2）=_______；如果[（-1）※1]※m=36，则m 的值为______．或【分析】根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可；先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可【详解】解：4※（-2）=；（-1）※1=（-1）
※1※m=2※m=36当时原式可化为解得：；
解析：6m =-或38m =．
【分析】
根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可；
先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可．
【详解】
解：42>-
∴4※（-2）=()42=16-；
11-<
∴（-1）※1=()11=2--
∴[（-1）※1]※m=2※m=36
当2m ≥时，原式可化为236m =
解得：6m =±
6m ∴=-；
当2m <时，原式可化为：236m -=
解得：38m =；
综上所述，m 的值为：6m =-或38m =；
故答案为：16；6m =-或38m =．
【点睛】
本题考查了新定义的运算，读懂新定义的式子，将值正确代入是解题的关键．
19．若一个正数的平方根是21a -和5a -，则这个正数是______．9【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数得：2a-1+a-5=0解方程即可求出a 然后依据平方根的定义求解即可【详解】解：由题可知：2a-1+a-5=0解得：a=2这个正数为=（2-5）2=9故答
解析：9
【分析】
由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2a-1+ a-5=0，解方程即可求出a，然后依据平方根的定义求解即可．
【详解】
解：由题可知：2a-1+ a-5=0，
解得：a=2．
这个正数为=（2-5）2=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
20．设a，b是一个无理数，若a b
<<，是，则a b＝
____．9【分析】求出的范围求出ab的值代入求出即可【详解】∵2＜＜3∴a＝2b＝3∴ba＝32＝9故答案为：9【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用关键是求出ab的值
解析：9
【分析】
a、b的值，代入求出即可．
【详解】
3，
∵2
∴a＝2，b＝3，
∴b a＝32＝9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出a、b的值．
三、解答题
21．2-．
解析：4
【分析】
原式利用平方根、立方根定义及绝对值化简计算即可得到结果．
【详解】
=-+-
解：原式282
=
4
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根、立方根定义是解本题的关键．
22．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果
≤≤≤，那么我们把这个四位正整数叫做进步数，例如四位正整数2347：因为
a b c d
<<<，所以2347叫做进步数．
2347
（1）求四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是1、4，且这个四位正整数是“进步数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．
解析：（1）8888；（2）1134 ．
【分析】
（1）根据进步数的定义分别求出四位正整数中的最大“进步数”与最小“进步数”即可得解； （2）根据进步数的定义可以推得所求数为1114、1124、1134、1144中的某一个，再根据这个四位正整数能被7整除逐一对4个数进行验证可以得解 ．
【详解】
解：（1）由进步数的定义可知四位正整数中最大的“进步数”应该是9999，
又最高位不能为0，所以四位正整数中的千位最小为0，所以四位正整数中最小的“进步数”应该是1111，
∴9999-1111=8888，
∴四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差为8888；
（2）由已知可得所求数的千位为1，十位为1-4中的某个数字，
∴所求数为1114、1124、1134、1144中的某一个，
∵这个四位正整数能被7整除，
∴由1114=159×7+1，1124=160×7+4，1134=162×7，1144=163×7+3可知所求数为1134 ．
【点睛】
本题考查新定义下的实数规律探索，由材料归纳出新定义并应用于具体问题求解是解题关键．
23．计算：2(3)2--
解析：1
【分析】
先计算乘方、算术平方根，然后计算乘法和减法，即可得到答案．
【详解】
解：2(3)2--924=-⨯
98=-
1=．
【点睛】
本题考查了算术平方根、乘方、有理数的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
24．若求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如
()()()()2223333÷÷-÷-÷-÷-，等。

类比有理数的乘方，把以上两式分别记作()32，()()
43-，读作“2的括3次方”，“3-的括4次方”。

一般地，把
()()0n a a a a a a ÷÷÷÷=≠，读作“a 的括n 次方”。

（1）直接写出计算结果：
()32= ，
()()4
3-= ， ()512⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ；
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：
一个非零有理数的括n 次方等于
（3）计算：()()
3324282÷+-⨯ 解析：（1）
12；19
；8-；（2）这个数倒数的(2)n -次方；（3）1-． 【分析】 （1）根据题中的新定义计算即可得到结果；
（2）归纳总结得到规律即可；
（3）利用得出的结论计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）根据题意，则
()3122222=÷÷=
； ()()413(3)(3)(3)(3)9-=-÷-÷-÷-=
； (5)111111()()()()()()8222222
-=-÷-÷-÷-÷-=-； 故答案为：12；19
；8-； （2）根据题意，则
一个非零有理数的括n 次方等于这个数倒数的(2)n -次方；
故答案为：这个数倒数的(2)n -次方；
（3）()()
3324282÷+-⨯ =()124882
÷+-⨯
=3(4)+-
=1-．
【点睛】 此题考查了有理数的混合运算，以及新定义的运算法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形
纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324）
（1）求正方形纸板的边长；
（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．
解析：（1）正方形纸板的边长为18厘米；（2）剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米【分析】
（1）根据正方形的面积公式进行解答；
（2）由正方体的体积公式求得正方体的边长，然后由正方形的面积公式进行解答．
【详解】
解：（11622
⨯=18（cm），
答：正方形纸板的边长为18厘米；
（23343=7（cm），
则剪切纸板的面积＝7×7×6＝294（cm2），
剩余纸板的面积＝324﹣294＝30（cm2）
答：剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米．
【点睛】
本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式，属于基础题．
26．（1）小明解方程2x1x a
3
32
-+
=-去分母时，方程右边的−3忘记乘6，因而求出的
解为x=2，则原方程正确的解为多少？
（2）设x，y是有理数，且x，y满足等式2x2y2y1742
++=-x-y的值．解析：（1）x＝−13；（2）（2）x-y的值为9或-1.
【分析】
（1）将错就错把x＝2代入计算求出a的值，即可确定出正确的解；
（2）根据题意可以求得x、y的值，从而可以求得x−y的值．
【详解】
（1）把x＝2代入2（2x−1）＝3（x＋a）−3中得：6＝6＋3a−3，
解得：a＝1，
代入方程得：2x1x1
3 32
-+
=-，
去分母得：4x−2＝3x＋3−18，解得：x＝−13；
（2）∵x 、y 是有理数，且 x ，y 满足等式2x 2y 17++=- ∴22174x y y ⎧+=⎨=-⎩
， 解得，54x y =⎧⎨=-⎩或54x y =-⎧⎨=-⎩
， ∴当x ＝5，y ＝−4时，x−y ＝5−（−4）＝9，
当x ＝−5，y ＝−4时，原式＝−5−（−4）＝−1．
故x-y 的值为9或-1.
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了实数．
27．计算：()214322
--⨯
-（ 解析：【分析】 利用实数的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
解：原式=4+9⨯12-(2)2⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦
=4+9⨯[]2+1
=4+9⨯3
=4+27
=31．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
28．已知1x -的算术平方根是3，24x y ++的立方根也是3，求23x y -的值． 解析：11
【分析】
根据算术平方根和立方根的概念列出方程求出x 和y ，代入求值即可．
【详解】
解：∵1x -的算术平方根是3，
∴1=9x -，
∴=10x ，
∵24x y ++的立方根是3，
∴24=27x y ++，即204=27y ++
∴3y =，
∴2320911x y -=-=．
【点睛】
本题考查算术平方根和立方根．熟练掌握算术平方根与立方根的意义是解题的关键．。