【2019年整理】第6章二叉树模型与美式期权金融工程与风险管理-南京大学,林辉

ct
er d ud
er
(1
er d )cd er ud
[ pcu (1 p)cd ]er
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Dicussion: Risk-neutral probability
▪ 风险中性世界，不必考虑风险，这等价于假设投资者是风 险中性的。
▪ 若在期初构造如下组合：以S的价格买入N股股票，同时 以c的价格卖出1个期权，则该组合的投资成本为NS－c必 然等于B。
▪ 为期权定价模型为B-S模型提供一种比较简 单和直观的方法
▪ 二叉树模型已经成为建立复杂期权（美式 期权和奇异期权）定价模型的基本手段
▪ 对于所有不能给出解析式的期权，都可以 通过二叉树模型给出。
2
A Simple Binomial Model
▪ A stock price is currently $20 ▪ In three months it will be either $22 or $18
当前时刻t，期权的价值为
ct [ p2cuu 2 p(1 p)cud (1 p2 )cdd ]e2rh [ p2 max(0,u2S X )
2 p(1 p) max(0, S X )
(1 p2 ) max(0, d 2S X )]er
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定价思路：倒推定价法
1. 首先得到2期节点的股票价格，从而得到 该期的期权价格。
ud
cu (1 der ) cd (uer 1) er d cuer (u er ) cd er
ud
ud
ud
er
d
cu e r
er (1
d )cd er
[ pcu
(1
p)cd er
ud
ud
here，p er d ud
例子
▪ 假设有1个股票买权合约，到期日为1年，执行价格为112 美元，股票当前的价格为100美元，无风险利率为8％ （连续复利折算为单利）。在到期日股票的价格有两种 可能：180美元或者60美元，求期权的价值？
ys
psu
(1 S
p)sd
er d ud
u (1 er d )d ud
er
Option’s expected relative return is
yc [ pcu (1 p)cd ] / c0 er ys
▪So，p is a variable which make riskful stock and call option’s expected return are both only riskless interest rate. ▪For the above reason, We call p “risk neutral probability”.
h T t
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两阶段模型示意图
u su,cu
st
ct
d
sd,cd
其中，u＝1/d
u suu,cuu
d u d
sud,cud sdd,cdd
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两阶段模型
▪ 第2期本来有4种状态，为简化分析，不妨规定u=1/d， 则第2、3两种状态为同一结果，故将其合并。
▪ 期权到期日价值的所有可能值为
cuu max(0, suu X ) max(0, u2S X ), st S cud cdu max(0, sud X ) max(0, udS X ) cdd max(0, sdd X ) max(0, d 2S X )
▪ 由于是无风险证券，对于理性投资者，不论其偏 好如何，其风险态度对于这样的组合是无关紧要。 只要考虑收益的大小即可，由此大大简化资产的 定价。
▪ 基于上述的理由，只要以上述方式构建投资组合 来对期权定价，就等价于假设投资者是风险中性 的，既然是风险中性的，则对这样的组合定价就 不必考虑风险问题。
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6.3 两阶段二叉树定价模型
▪ 由于标的资产市场价格是1个连续（接近连续）的随机变 量，不可能只有2种情形，因此可以考虑将时间T-t分为多 段处理，首先介绍两阶段模型。
▪两阶段模型（Two-step binomial tree)
➢若把从定价日t至到期日T的时间区间T-t，划分为2个 阶段，在每1个阶段，仍然假设标的资产价格只可能取2 种状态，上涨和下跌，且上涨和下跌的幅度相等，则第 2阶段结束时候（t=T），标的资产价格的取值为3个， 并且令h为每个阶段的时间长度
Stock price = $20
Stock Price = $22 Stock Price = $18
3
A 3-month call option on the stock has a strike price of 21.
Stock price = $20 Option Price=?
Stock Price = $22 Option Price = $1
▪ 若sT＝su
vu [(cu cd ) /(su sd )]su cu Ber
若sT＝Sd
vd [(cu cd ) /(su sd )]sd cd Ber
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▪ 投资者虽然投资于有风险的股票和期权，但是由 二者构成的组合NS－c，即相当于投资1个无风险 的证券。 ➢ 组合的贴现率只能是无风险利率
2. 采用风险中性定价，通过贴现得到1期节 点的股票价格和期权价格。
3. 由1期的股票价格得到期权价格，得到当 前期权的价格。
4. 风险中性定价下，每一期的风险中性概率 都是相同的。
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6.4 n阶段二叉树定价模型
▪ 将定价日t到到期日T的时间进一步等分为n个阶 段，每个阶段的长度为h
h T t
D股股票－1份期权=无风险证券→1份期权= D股股 票-无风险证券
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6.2 单期二叉树期权定价模型
▪ 考虑一个买权在当前时刻t，下期t=T到期，中间 只有1期，τ=T-t
▪ 假设该买权的标的股票是1个服从二项分布的随机 变格量为。sT，当且前满股足票价格为st=S是已知的，到期股票价
sT su uS S,u 1, P(sT su ) q sT sd dS S, d 1, P(sT sd ) 1 q
Stock Price = $18 Option Price = $0
4
Setting Up a Riskless Portfolio
▪ Consider the Portfolio:
long D shares short 1 call option
22 D – 1
18D
Portfolio is riskless when 22D – 1 = 18D or D = 0.25
▪ 假设在一个不透明的袋子中有N个球，其中M个 是白色的，其余N-M个球是黑色的，则每次取球 取到白球的概率是p=M/N。
▪ 若有放回地取球n次，称之为n重贝努里试验。在 贝努里试验中刚好取到j次白球的概率记为b(j;n,p)
b( j; n, p) Cnj p j (1 p)n j
here, Cnj
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▪ 由1阶段模型可知，在风险中性条件下
cu [ pcuu (1 p)cud ]erh , cd [ pcud (1 p)cdd ]erh
ct [ pcu (1 p)cd ]erh [ p2cuu 2 p(1 p)cud (1 p)2 cdd ]e2rh
here, p erh d ud
(dcu ucd ) /[(u d )er ]
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▪ 由此得到的组合 NS B称为合成期权（synthetic option），
由无套利定价原则，在当前时刻t买权的价值为
ct NS B
cu cd
dcu ucd cu cd dcuer ucd er
(u d )S S (u d )er
sT Su jd n j , j 0,1,..., n
▪ 由dis概tri率bu论tio可n知) ，，所sT以服，从具二有项j分次布上（涨b，inno-mj次ia下l 降的股 票价格sT的概率为
Cnj p j (1 p)n j
Cnj
(n
n! j)!
j!
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recall： binomial distribution
注意：风险中性概率p只与r，h，u，d有关，当上
述值确定下来后，两个阶段的p就完全相同，这也
正是阶段平分的优点。
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cuu max(0, suu X ) max(0,u2S X ) cud cdu max(0, sud X ) here, st S
max(0,udS X ) max(0, S X ) cdd max(0, sdd X ) max(0, d 2S X )
n j
n! j!(n
j)!
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recall： binomial distribution
▪ 由于b(j;n,p)刚好是二项式 [ p (1 p)]n的系数
例如第j项就是
Cnj p j (1 p)n j
故上述分布又称为二项式分布，并且成立
n
n
b( j; n, p) Cnj p j (1 p)n j [ p (1 p)]n 1
nn
▪标的资产在到期日的状态可能取值为n＋1个.
➢若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全 有理由用二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化 过程。 ➢数学意义：根据中心极限定理，若n充分大，则二项 分布收敛于正态分布 ▪思路：推导出n期的二项式模型，然后令n趋于无穷。
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▪ 标的股票当前价格为St=S，而在以后任意一期， 股价的变化有上升和下降两个可能。这样经过n 期后（到期日T），若该股票上涨j次，下跌n-j次， 到期日T股价ST为
金融工程与风险管理
第6章 二叉树模型与美式期权
1 Copyright©Linhui, Department of Finance, Nanjing University
6.1 概述
▪ 二叉树期权定价（Binomial option Pricing Model）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出
p er d ud
er s sd su sd
1.08100 180－60
60
0.4
ct [ pcu (1 p)cd ]er 25.18(美元)
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Dicussion: Risk-neutral probability
1. p is Risk-neutral probability for all securities 。 stock’s expected relative return is
j0
j0
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recall： binomial distribution
▪ 由于二项式分布计算复杂，为简化计算。当n→∞， 可以用正态分布逼近（定理：独立同分布下的中 心极限定理）。
其中，u为上涨因子，d为下跌因子
6
q
sT=su=uS
st
1-q
sT=sd=dS
问题：如何确定该期权在当前时刻t的价值ct？
设想：构造如下投资组合，以无风险利率r借入资金B （相当于无风险债券空头），并且在股票市场上购入 N股股票（股票多头）。
目的：在买权到期日，上述投资组合的价值特征与买 权完全相同。
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Dicussion: Risk-neutral probability
2. 在风险中性世界中，主观概率q没有出现。
➢ 虽然个人对q的信念是不同的，但是在期权的定价过 程中并没有涉及到q，也就是人们对q认识的分歧并 不影响对期权的定价结果。
➢ 投资者最终都一致风险中性概率p，它只取决于r，u， d这三个客观因子。
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▪ 在当前时刻t，已知股票的价格为s，构造上述组合的成本 为
Nst B NS B
▪ 在到期时刻T，若希望该组合的价值v与买权的价值完全 相同则必须满足
vu Nsu Ber cu 且 vd Nsd Ber cd
▪ 由上两式得到
N (cu cd ) /(su sd ) (cu cd ) /[(u d )S ] B (sd cu sucd ) /[(su sd )er ] (Nsd cd ) / er
st ct？
sT=su=us＝180
q
cT=cu=max(0, Su-112)=68
1-q
sT=sd=ds=60
cT=cd=max(0, Sd-112)=0
10
N (cu cd ) /(su sd ) (68 0) /(180 60) 0.57(股)
B (Nsd cd ) / er (0.57 60 0) /1.08 31.48(元)