福建省泉州一中高三数学下学期最后一次模拟考试试卷 理-人教版高三全册数学试题

某某一中2015届高考适应性训练
数学试题（理工类）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集R U =，集合{01}M x x =<≤，{}|0N x x =≤，则()U M N = ( )
A ．{}|01x x ≤<
B ．{}|01x x <≤
C ．{}|01x x ≤≤
D ．{}|1x x <
2．已知复数z ＝3+i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 ( )．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使0||||
a b a b +=成立的是 ( )
A.13
a b =- B.//a b C.2a b = D.a b ⊥
4．等比数列{a n }中,a 3=6,前三项和3
304S xdx =⎰,则公比q 的值为 （ ）
A ．1
B ．12-
C ．1或12-
D ．1-或12
- 5. 下列四个命题中正确命题的是（ ）
A ．学校抽取每个班级座号为21-30号的同学检查作业完成情况，这是分层抽样；
B ．可以通过频率分布直方图中最高小矩形的高来估计这组数据的众数；
C ．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则(10)1P p ξ-<<=-；
D ．在散点图中，回归直线至少经过一个点。

6．已知2()23f x x x =-+，()1g x kx =-，则“||2k ≤”是“()()f x g x ≥在R 上恒成立”的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
7．执行如图所示的程序框图，如果输入x ，t 的值均为2，最后输出S 的值为n ，在区间[0,10]上随机选取一个数D ，则D n ≤的概率为( )
A ．
410 B ．5
10 C ．610 D ．710
8．正项等差数列{}n a 中的1a 、4029a 是函数2()ln 81f x x x x =-+-的极值点,则22015log a = （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．1
9. 过抛物线y x 42=的焦点F 作倾斜角为α的直线交抛物线于P 、Q 两点，过点P 作抛物线的切线l 交y 轴于点T ，过点P 作切线l 的垂线交y 轴于点N ，则PNF ∆为（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形
2-1y
10. 定义：若对定义域D 内的任意两个()2121,x x x x ≠，均有()()1212f x f x x x -<-成立，则称函数()x f y =是D 上的“平缓函数”。

则以下说法正确的有： （ ）
①()ln f x x x =-+为()0,+∞上的“平缓函数”；②x x g sin )(=为R 上的“平缓函数” ③x x x h -=2)(是为R 上的“平缓函数”；④已知函数()y k x =为R 上的“平缓函数”，若数列}{n x 对*n N ∀∈总有111
211
,()()(21)4
n n n x x k x k x n ++-≤
-<+则。

A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
11. 若81
()x x
+
展开式中含2x 的项的系数为.
12.已知实数,x y 满足约束条件1124x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
,则2z x y =+的最大值为.
13. 已知双曲线22
221(00)x y a b a b
-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，
,以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P .若1230PF F ∠=,则该双曲线的离心率为.
14．已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-的部分图象如下图,其中π
0,,2ωθ><,a b 分别是ABC
的角,A B 所对的边,cos ()+12C
C f =,则ABC ∆的面积S =.
15.已知单位向量,,i j k 两两的夹角均为(0θθπ<<，且2
π
θ≠
），若空间向量a 满
足(,,)a xi y j zk x y z R =++∈，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a 在“仿射”坐标系O -xyz （O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=有下列命题：
①已知(1,3,2),(4,0,2)a b θθ=-=，则a ·b =0；
②已知3
3
(,,0),(0,0,)a x y b z ππ==其中xyz ≠0，则当且仅当x=y 时，向量a ，b 的夹角取
得最小值；
③已知111222121212(,,),(,,),(,,);a x y z b x y z a b x x y y z z θθθ==+=+++则
④已知3
3
3
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),OA OB OC πππ===则三棱锥O —ABC 的表面积
S =
A
D
C
B
P
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）
已知A B 、分别在射线CM CN 、(不含端点C )上运动,2
,在中,角、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .
(Ⅰ)若a 、b 、c 依次成等差数列,且公差为(Ⅱ)若c =
ABC ∠=θ,试用θ表示∆17．（本小题满分13分）
某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2
小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两
人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为13，12；
租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为12，1
3
，且两人租用的时间都不超过4小时． （Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量
ξ，求ξ的分布列与数学期望．
18. （本小题满分13分）
如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠=，2AB PC ==，AP BP ==（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；
（Ⅱ）在线段AD 上是否存在点Q ，使得直线CQ 和平面BCP 所成角θ
？若存在，请说明点Q 位置；
若不存在，请说明不存在的理由。

19. （本小题满分13分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的中心为O ，右顶点为A ，在线段OA 上任意选定一点
(,0)(02)M m m <<，过点M 作与x 轴垂直的直线交C 于,P Q 两点.
（Ⅰ）若椭圆C 的长半轴为2， （ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（ⅱ）若1m =，点N 在OM 的延长线上，且,,OM OA ON 成等比数列，试证明直线PN 与
C 相切；
（Ⅱ）试猜想过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点00(,)G x y 00(0,0)x y >>的切线方程的一种方
法，再加以证明.
20. （本小题满分14分）
已知函数|ln |)(a x x x f -=，R ∈a ． （Ⅰ）当1=a 时，试求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的2≥a ，方程b x x f +=)(恒有三个不等根，试某某数b 的取值X 围．
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多2做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知直线:23l x y -=，若矩阵1
3a A b -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,a b R ∈所对应的变换σ把直线l 变换为它自身。

（Ⅰ）求矩阵A ； （Ⅱ）求矩阵A 的逆矩阵。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程是1(x t y a ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
是参数)
.
（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B
两点，且AB =a 的值． （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 函数12y x x =++-的最小值为M ； （Ⅰ）某某数M 的值；
M ,(其中0a >)恒成立，某某数a 的取值X 围.
某某一中2015届高考适应性训练参考答案
数学试题（理工类）（2015.5.23）
一、选择题：1~5 BDACB 6~10 ADDCC 二、填空题:
11.5612.7.13. 11415.②③ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.解(Ⅰ)
a 、
b 、
c 成等差,且公差为2,
∴4a c =-、2b c =-. 又23
MCN ∠=
π,1cos 2C =-,
∴
222
1
22a b c
ab
+-=-, ∴
()()()()
2
2
2421
2422
c c c c c -+--=---,
恒等变形得 2
9140c c -+=,解得7c =或2c =.又4c >,∴7c =
(Ⅱ)
在
ABC
∆中,
sin sin sin AC BC AB
ABC BAC ACB
==
∠∠∠,
∴
2sin sin sin 33AC
BC ===πθ
⎛⎫-θ ⎪⎝⎭
,2sin AC =θ,2sin 3BC π⎛⎫
=-θ ⎪⎝⎭.
∴ABC ∆的周长()f
θAC BC AB =++2sin 2sin 3
π⎛⎫
=θ+
-θ ⎪⎝⎭
12sin cos
22⎡⎤=θ+θ⎢⎥⎣
⎦
2sin 3π⎛
⎫=θ++ ⎪⎝⎭又
0,3π⎛⎫
θ∈ ⎪⎝⎭
,∴2333πππθ<+<,
∴当32
π
π
θ+
=
即6π
θ=
时,()f θ取得最大值2+17．解： （1）甲、乙所付费用可以为100、200元、300元…………………1分
甲、乙两人所付费用都是100元的概率为1
111
326P =⨯=…………………2分 甲、乙两人所付费用都是200元的概率为1
111236
P =⨯=…………………3分 甲、乙两人所付费用都是300元的概率为
1
11111
(1)(1)322336
P =--⨯--= 故甲、乙两人所付费用相等的概率为123
13
36
P P P P =++=………………6分 （2）随机变量ξ的取值可以为200,300,400,500,600……………………………7分
111
(20)236
P ξ==⨯=
111113
(30)332236P ξ==⨯+⨯=
1111111111
(40)12323332236P ξ==⨯+--⨯+-⨯=
（）（1-） 1111115
(50)1122323336
P ξ==⨯--+--⨯=
（）（） 11111
(60)11232336
P ξ==--⨯--=
（）（） 故ξ的分布列为：
ξ 200
300
400
500
600
P
1
6
1336
1136
536
136
……………………………………………11分
ξ∴的数学期望是1131151
200300400500600350636363636
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
………………………………………………………13分
18.解：（Ⅰ）证明：取AB 的中点O ，连接,PO CO AC ，．…………………1分 ∵AP BP =，∴PO AB ⊥…………………2分
又四边形ABCD 是菱形，且120BCD ∠=︒， ∴ACB 是等边三角形，∴CO AB ⊥ 又CO
PO O =，∴AB PCO ⊥平面，…………………4分
又PC PCO ⊂平面，∴AB PC ⊥…………………5分
（Ⅱ）由2AB PC ==，2AP BP ==
1PO =，3OC =，
∴222
OP OC PC +=，OP OC ⊥…………………6分
以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直坐标系O xyz -， 则(0,1,0)B ，3,0,0)C ，(0,0,1)P ，3,2,0)D -，
∴(3,1,0)BC =-，(3,0,1)PC =-，(3,1,0)AD =-…………………7分 设平面BCP 的一个法向量为(1,,)n b c =，则n PC ⊥，n BC ⊥，
∴3030
n PC c n
BC b ⎧⋅=-=⎪
⎨⋅=-=⎪⎩
，∴c =b =(1,3,n = (10)
分 假设存在点Q 满足题意，设(,,0)Q a b ，因为点Q 在线段AD 上，则设AQ AD
λ=
(,1,0)1,0)a b λ+=-
，解得,1,0)Q λ--，所以(31,0)CQ λλ=--
…………………11分
依题意27sin cos ,7CQ n CQ n CQ n
θ⋅=<>=
=
⋅，代入解得1
=2
λ。

所以存在点Q 满足题意，点Q 为AD 中点。

…………………13分
19.
解：（Ⅰ）（ⅰ）因为2,c a e a ==
=所以2,2,a c b === 所以椭圆C 的标准方程为：22142
x y +=。

（ⅱ）由已知条件得：1
,2,OM OA ==
设(1,)P y ，则2
3
2
y =
，所以(1,P ±. 因为,,OM OA ON 成等比数列，
所以2
OA OM ON =
，即2
4,OA
ON OM
=
=所以(4,0)N .
直线PN 的方程为：(4)6y x =±-代入椭圆22
:142
x y C +=，整理得：2210.x x -+= 因为440∆=-=，所以直线PN 与C 相切.
（Ⅱ）在x 轴上取点2
0(,0)a N x ，连结GN ，则直线GN 为点G 处的切线方程，
证明：设直线GN 的方程为：2
()a y k x x =-（其中000
2
22
000
y x y k a x a
x x =
=
--
）
把2
()a y k x x =-代入22221(0)x y a b a b +=>>，
整理得：4262
2
2
2
2
22200
2()0a b a k b a k x x a b x x +-+-=，
422222
00()a a x k b x ∆=--，
(1)
因为点G 在椭圆C 上，所以22
00
221x y a b
+=，
(2)
又000
2
2
2
000
y x y k a x a x x =
=
--
，(3)
把(2)(3)代入(1)得：22222
224
22222000000
02222
00
()
()()0,x y x a y b x a b a a x b x x a a x +-∆=--==-- 所以直线GN 为所求的切线.
20.解：（1）当1=a 时，⎩
⎨⎧≥-<<-=-=e ,ln e
0,ln |1ln |)(x x x x x x x x x x x f ．
当e 0<<x 时，x x f ln )(-='，可得)(x f 在（0,1）上递增，在（1，e ）上递减；
当e ≥x 时，x x f ln )(='，可得)(x f 在),e (+∞上递增．
（2）可以求得)(x f 在)e ,0(2-a 上递增，在)e ,e (2a a -上递减，在),e (+∞a 上递增． 若方程b x x f +=)(有三个不等根，则必须在)e ,0(a 上有两个不等根，在),e (+∞a 上有一个根．
①当a x e 0<<时，令)()()(b x x f x g +-=，则2ln )(-+-='a x x g ；令0)(='x g ，得2e -=a x ．所以当2e 0-<<a x 时，)(x g 是增函数，当a a x e e 2<<-时，)(x g 是减函数，所以
若)(x g 在)e ,0(a
上有两个不等根，此时应满足⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-=-0
e )e (0e
)e (22b g b g a a a a-，得2e e -<<-a a k ．
又因为当0→x 时，可得0>k ，所以2e 0-<<a b ．
②当a x e >时，令)()()(k x x f x h +-=，则a x x h -='ln )(；令0)(='x h ，得a x e =． 所以当a x e >时，)(x h 是增函数．所以若)(x h 在),e (+∞a 上有一个根，则应满足0e )e (<--=k g a a ，解得a b e ->．
由①、②可得，2e 0-<<a b ．
又对于任意的2≥a ，方程b x x f +=)(恒有三个不等根，则1)e (0min 2=<<-a b ．
综上所述，10<<b ．
21．解： （Ⅰ） 设),(y x P 为直线32=-y x 上任意一点其在A 的作用下变为),(y x ''
则133a x x ay x b y bx y y '-⎛⎛-+⎛⎛⎫⎫⎫⎫==
⎪⎪⎪⎪'+⎝⎭⎭⎭⎭⎝⎝⎝3x x ay
y bx y
'=-+⎧⇒⎨'=+⎩ --------------------3 分 代入23x y ''-=得：
3)32()2(=-++-y a x b 其与32=-y x 完全一样得⎩⎨
⎧=-=⇒⎩⎨
⎧-=-=--1
4
13222a b a b 则矩阵1143A -⎛⎫
=
⎪-⎝⎭
---------------------------------5分 （Ⅱ）因为11143-=-，所以矩阵M 的逆矩阵为1
3141A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭
． -------------7分
（2）解: （Ⅰ）由θρcos 4=得：θρρcos 42
=，x y x 42
2
=+∴， ………………2分
即4)2(2
2
=+-y x ， 所以曲线C 的参数方程：⎩⎨
⎧=+=ϕ
ϕ
sin 2cos 22y x （ϕ为参数） ………………3分
（Ⅱ）将直线⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=+=t a y t
x 2
222
1代入圆的方程4)2(22=+-y x
化简得03)1(222=-+-+a t a t ，由韦达定理
3)
1(222121-=⋅-=+a t t a t t 。

由直线参数方程的几何意义知144)(2122121=-+=
-=t t t t t t AB
代入韦达定理得1414422
=+--a a ，解得0=a 或者2-=a （若用直角坐标同等给分）
（3）解：（Ⅰ） 因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=，等号成立当且仅当(1)(2)0x x +-≤即12x -≤≤，∴M =3.
（Ⅱ）因为2≤22[1][2]3(2)a x x a +-++=+
=时取 “=”号，即当22
[2,]3a x a -=∈-
3得01a <≤.。