精品解析：江苏省南京市高三第三次模拟考试数学试题(解析版).docx

一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤－2，x ∈R }，B ＝{x |x ＜1，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝ ． 【答案】(2,1)
2. 已知(1＋2i
)2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝ ．
3. 某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为 ．
4. 现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 ．
5. 执行右边的伪代码，输出的结果是 ．
6. 已知抛物线y2＝2px过点M(2，2)，则点M
到抛物线焦点的距离为．
7. 已知tanα＝－2，，且
π
2
＜α＜π，则cosα＋sinα＝．S←1
I←3
While S≤200
S←S×I
I←I＋2
End While
Print I
（第5题图）
8. 已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：
①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；
③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α； ④若m ∥α，m ⊂β，则α∥β． 其中所有真命题的序号是 ．
9. 将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图象向右平移π3
个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在[π3，2π3
]上的最小值为 ．
10. 已知数列{a n }满足a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3，n ∈N *)，它的前n 项和为S n ．若S 9＝6，S 10＝5，则a 1的值为 ．
612a a a =-;71a a =;82a a =，如此下去，则可发现它的规律周期为６的数列，又60S =，则131S a =，故
11a =．
考点：数列的递推关系
11. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，
x 2，x ＜0， ，则关于x 的不等式f (x 2
)＞f (3－2x )的解集是 ．
12. 在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ．
13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2
＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60︒，则圆M 的方程为 ．
考点：1.圆的定义;2.圆的几何性质;3.直线和圆的位置关系
14. 设二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f ′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2+c
2的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan A ＋1＝2c a
． （1）求B ；
（2）若cos(C ＋π6)＝13
，求sin A 的值．
试题解析：(1)由2+1=tanB c tanA a 及正弦定理，得2+1=sinBcosA sinC cosBsinA sinA
，………………………………………
2分
16. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，AB ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形，
DC //AB ，DA ＝DC ＝2AB .
（1）若点E 为棱PA 上一点，且OE ∥平面PBC ，求AE PE
的值；
（2）求证：平面PBC ⊥平面PDC.
17. 某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现f(n)近似地满足f(n)
＝
9A
a＋bt n
，其中t＝2
-
2
3，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；
（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．
所以
11
1121 72(1)72(1)
(18)(18)18(1)64
n n
n n n n
At t At t
t t t t t
--
---
--+⨯+⨯+++
V＝＝
18. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作 两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；
（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．
标(11)(11)M N －
，，，－或(11)(11)M N ，－，－，，即可求出直线MN 的方程为y x ＝－;同理当
分
因为PM PN ⊥，所以=0PM PN ⋅u u u u r u u u r ，得2211(1)1y x ＝＋＋．
1 9. 已知函数f(x)＝ln x－mx（m∈R）．
（1）若曲线y＝f(x)过点P(1，－1)，求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程；
（2）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；
（3）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证：x1x2＞e2．
函数的最小值大于零，即可得证．
令
2(1)
(t)=lnt-,t>1
1
t
g
t
-
+
，则
2
22
14(1)
'(t)=>0
(1)(1)
t
g
t t t t
-
-=
++
．
20. 已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和正数b 1，b 2，…，
b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列． （1）若m ＝5，a 3b 3＝54，求b
a
的值；
（2）若b ＝λa (λ∈N *
，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *
，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；
（3）求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )．
则6d=
,q= 6b a b
a
-．
综上，λ最小值为4，此时m 为29． ………………………………………10分
考点：1.等差，等比数列的基本运算;2.函数的最值;3.代数式的处理
南京市2014届高三年级第三次模拟考试
数学Ⅱ（附加题）
21.A．选修4—1：几何证明选讲
已知圆O的内接△ABC中，D为BC上一点，且△ADC为正三角形，点E为BC的延长线上一点，AE为圆O的切线，求证：CD2＝BD·EC．
【答案】详见解析 【解析】
21.B ．选修4—1：矩阵与变换 已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a k 0 1 (k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1
对应的变换将点
(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．
21.C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 2
12＝1上在第一象限的点，A (2，0)，B (0，23)
是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 的面积的最大值．
考点：1.椭圆的参数方程;2.三角函数的图象性质 21.D ．选修4—5：不等式选讲
已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2
＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．
22. 如图，在正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝1
3BD ．
（1）若PM ＝1
3
PA ，求证：MN ⊥AD ；
（2）若二面角M －BD －A 的大小为π
4
，求线段MN 的长度．
【解析】
从而
111
M(,0,),N(0,,0)
223
，
23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，……，集合S k 中所有元素的平均
值记为b k ．将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，……，数组T 中所有数的平均值记为m (T )． （1）若S={1，2}，求m (T )；
（2）若S ＝{a 1，a 2，…，a n }（n ∈N *
，n ≥2），求m (T )．
试题解析：（1）{}1,2S ＝的所有非空子集为：{}{}{}121,2，，，所以数组T 为：3
1,2,
2
．
又因为
1111(1)!1·(1)!()!k k n n n C C k k k n k n
-----＝＝，……………………………8分。