例说数列解题中的几种常见运算技巧解读

例说数列解题中的几种常见“运算”技巧 (已发表)
人大附中郑州分校 刘凡 邮编（452370）
（本文发表在2007.10 《中学生理科应试》哈师大P10）
在求解数列某些问题时，通常要依据条件的结构特点，辅以适当的运算方法予以化简、变形，以期达到解题目标所要求的形式。

那么数列解题时，常见的有哪些运算技巧呢？
一 取倒数
例：在数列{}n a 中，已知11
11
2, 2.2n n n n n a a a a +++==+求数列{}n a 的通项式。

解析：观察条件等式的结构特点，现对两边的数式取倒数得：111112n n n a a ++=+即111
n n
a a +-=
1
1.2
n +于是由2321321111111
111,.222n n n a a a a a a --=-=-=将以上(1)n -个式子相加得：1
11n a a -= 23
211
1111112.1.2222
22221
n
n n n n n
n a a +++∴=++
+=-∴=-为所求。

二 巧用除法
例：已知等比数列{}n a 的各项都为正数，280,6560,n n S S ==且在前n 项中最大的项为54，求项数n 的值。

解析：22, 1.n
n S S q ≠∴≠则由等比数列的前n 项和公式得：
1(1)
801n a q q
-=-○
1， 21(1)
6560
1n a q q
-=-○2。

由○2除以○1得2182.182
1n n
n
q q q -=∴+=-即81n q =○3，把○
3代入○1得
1
111, 1.0, 1.1a a q a q q
=-∴=->∴>-故{}n a 为递增数列，所以{}n a 前n 项中最大项为,n a ∴ 11154.8154n a q a q -=∴=代入11a q =-得12, 3.a q ==又381,4n n =∴=为所求。

注：通常在求等比数列有关问题时，如果能灵活利用条件的结构特征，巧用除法，将能使条件的次数和运算复杂程度大大降低，为进步运算或推理降低了运算难度。

三 巧用乘法
例：已知数列{}n a 满足11,a =且1(2)(1),(2),n n n a n a n -+=-≥求数列{}n a 的通项式。

解析：依据递推式的结构特征，现给其两边同乘以(1)n n +得：1(2)(1)(1)(1).n n n n na n n n a -++=+-则有1216
(2)(1)(1)(1)(1)(2)(321) 6..(2)(1)n n n n
n n na n n n a n n n a a a n n n
--++=+-=--=
=⋅⋅=∴=
++
例：已知数列{}n a 中，11,2)n a a n =≥求.n
a
解析：现对条件等式两边平方得：{}22222
112. 2.n n n n n a a a a a --=+∴-=∴是以2,d =首项为211
a =的等差数列。

2
2 1.0)n
n n a n a a ∴=-∴=>为所求。

注：在某些由递推式求通项问题中，常常需要给递推式等式两边平方或同乘、同除等
某一个数或式子，从而达到划归、转化的目的，为进一步化简、变形创立条件。

四 应用待定系数法
例：已知某数列的第k 项，第m 项，第n 项分别为111,,.a b c
求证：()()()0.k m ab m n bc n k ca -+-+-= 分析：设此等差数列为{}n a ，令.n a An B =+依题意有1
Ak B a
=+○1，1
Am B b
=+○2，1
An B c
=+○3。

由○1○2得,()()b a ak bm A B ab k m ab k m --==--代入○3得1(),()()
b a n ak bm
c ab k m ab k m --=+--再
整理即可得到待证式。

例：已知等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，求其前3m 项和。

解析：令.n S An B n =+由已知有：30
Am B m
=+○1，100
22A m B
m
=⋅+○2，由○
1○2得：2
2010,.A B m m =
=因此332201070
33.2103m m S A m B m S m m m m
=⋅+=⨯+=∴=为所求。

五 换元化归
例：给定数列{}n x
，且1n x +=
则1001401x x -的值为__________.
解析：注意到2tan
.12
π
故由1tan
121tan 12
n n n x x x π
π++=
-与tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-类比，于
是可作三角代换：tan ,n n x a =则1112tan tan()..12
n n n n n x a a x x π
+++==+∴=∴数列{}n x 是一个以12
为周期的周期数列，故1001401550.x x x x -=-=
例：在数列{}n a
中，已知111
100,2
n a a +==求n a 的通项式。

解析：由递推条件式知01,n a <≤
且11.100
n a a +=观察此式的结构特
征，类比sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+的结构，故可作代换sin ,(0,).2
n n n a a a π
=∈并记θ=
1arcsin(),100则111sin sin().sin sin[(1)].n n n n n a a a a a a n θθ++==+∴==+-由111sin ,2a a ==得1.
6
a π
=故1
sin[(1)arcsin ].6100
n a n π=+-
六 巧设配对式
例：设正项数列{}n x 中，当1n >时，12 1.n x x x +++=求1212111n n
x x x
M x x x =+++---的最小值。

解析：由待求式的结构特点，现构建配对式12
111
.111n
N x x x =+++
---则M N -= 1212
1
11,111n n
x x x x x x ---+++
---即N M n =+○
1，12
12
111,111n
n
x x x M N x x x ++++=+++---又设1,i i x t -=(0,1,2,
).i t i n >=则12
12
1222211
1
2(),n n n
t t t M N n t t t t t t ---+=
+++
=+++
-又
1212() 1.n n t t t n x x x n ++
+=-+++=-由柯西不等式：
21212
11
1
()().n n
t t t n t t t +++++
+
≥∴ 212
111.1n n t t t n +++≥-于是221
n M N n n +≥--○2，由○1○2得22222..111
n n n
M n M n n n n ≥-∴≥-=---
（当且仅当121n x x x n ====
时，等号成立）。

故M 的最小值为.1
n
n - 七 巧用“等”与“不等”关系 例：设{}n a 为自然数列，且127,a a a <<
<又127159,a a a ++
+=求123a a a ++的最大值。

解析：如果一个一个的去凑，显然是不可能的。

考虑到把159与7个变量联系起来，
而7个变量又有大小关系，故可以考虑把相等向不等转化。

因为12711(a a a a a +++≥++ 1111)(2)(6)721,a a a +++
++=+即11138
159721,.7
a a ≥+∴≤
又1a 为自然数，所以1a 的最大值为19；又1927222219(1)(5)634.a a a a a a +++>++++
++=+∴22125
.6
a a ≤
∴的最大值为20.同理3a 的最大值为22，123a a a ∴++的最大值为61.
八 巧用判别式
例：给定正整数n 和正数M ，对满足条件22
11n a a M ++≤的所有等差数列12
,,a a 试求
1221n n n S a a a +++=+++的最大值。

解析：设等差数列{}n a 的公差为,d 则22
1111(1)3(1)(1)(),.22
n n n n n S n a d n a d a a M +++=++=+++≤化为2211(),a a nd M ++≤即22211220
a nda n d M ++-≤○1，令13,2a nd t +=把12()3
nd t a =-代
入○
1式整理得：2211104490.a ta t M ++
-≤由22
1640(49)0.t t M ∆=--≥
解得
t ≤
当t =
时，易求得1a d S =∴。