苏教版数学必修一新素养同步课件：3.1 3.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用

栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
与指数函数有关的单调性问题
讨论函数 f(x)＝13x2－2x的单调性，并求其值域． 【解】 法一：函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)． 设 x1，x2∈(－∞，＋∞)且 x1<x2， 则 f(x1)＝13x12－2x1，f(x2)＝13x22－2x2. 所以ff（（xx21））＝131xx2221－ －22xx21＝13（x22－2x2）－（x21－2x1）
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
解决指数函数应用题的流程 (1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意 中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
(2)对称变换 ①y＝f(－x)的图象与 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称； ②y＝－f(x)的图象与 y＝f(x)的图象关于 x 轴对称； ③y＝－f(－x)的图象与 y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称； ④y＝f(a＋x)的图象与 y＝f(b－x)的图象关于直线 x＝a＋2 b对 称．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)函数 y＝3x 在 x＝－2，－1，0，1， 2，3 时的函数值与函数 y＝3x－1 在 x＝－1，0， 1，2，3，4 时的函数值对应相等，即函数 y＝ 3x 在 x＝a 时的函数值与函数 y＝3x－1 在 x＝a＋ 1 时的函数值对应相等． (2)在同一坐标系中作出函数 y＝3x，y＝3x－1 的图象(如图所示)， 函数 y＝3x－1 的图象由函数 y＝3x 的图象沿着 x 轴向右平移 1 个单位得到．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
法二：y＝13x2－2x，由 y＝13u与 u＝x2－2x 复合而成． 当 x∈(－∞，1]时，y＝13u是减函数， u＝x2－2x 也是减函数， 所以此时 f(x)＝13x2－2x在(－∞，1]上是增函数． 当 x∈[1，＋∞)时，y＝13u是减函数，
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1.若函数 y＝ax＋m－1(a>0，a≠1)的图象经 过第一、三、四象限，求 a 和 m 的取值范围．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
解：y＝ax(a>0，a≠1)的图象经过第一、二象限内，欲使 y＝ ax＋m－1 的图象经过第一、三、四象限，必须将 y＝ax 向下 平移．当 0<a<1 时，图象向下移动，只能经过第一、二、四 象限或第二、三、四象限或二、四象限，故只有当 a>1 时， 图象向下平移才可能经过第一、三、四象限．当 a>1 时，图 象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限， 向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限， 欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个 单位，故 m－1<－1，所以 m<0.
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
2.(1)设 f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是 R 上的单调 增函数，试判断 f(x)的单调性． (2)求函数 y＝2x2－2x－1 的单调区间．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
解：(1)设 x1<x2，则 g(x1)<g(x2)． 又由 y＝2u 的增减性得 2g(x1)<2g(x2)，即 f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)为 R 上的增函数． (2)令 u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，则 u 在区间[1，＋∞)上为 增函数． 根据(1)可知 y＝2 x2－2x－1 在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数 y 在(－∞，1]上为减函数． 即函数 y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
⑤y＝f(|x|)是偶函数，图象关于 y 轴对称，x≥0 时与 y＝f(x)
图象重合，所以 x<0 时的图象与 x≥0 时 y＝f(x)的图象关于 y
轴对称；
⑥
y
＝
|f(x)|
＝
f（x），f（x）≥0， －f（x），f（x）<0，
y
＝
|f(x)|
的
图
象
是
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
u＝x2－2x 是增函数， 所以此时 f(x)＝13x2－2x在[1，＋∞)上是减函数． 综上，函数 f(x)＝13x2－2x在(－∞，1]上是增函数， 在[1，＋∞)上是减函数．(求值域方法同法一)
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
对于较复杂的函数的单调性问题既可按单调性的定义解也可 按复合函数的单调性处理．在解具体问题时要视情况而定， 如此题选用复合函数的单调性来解较简单．
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
(1)比较函数 y＝3x，y＝3x－1 的函数值之间的关系，从中你发 现了什么规律？ (2)在同一坐标系中作出函数 y＝3x，y＝3x－1 的图象，并比较 这两个图象之间的关系． (3)通过上述两个问题，你发现函数 y＝f(x)与 y＝f(x－1)的函 数值之间、图象之间有什么关系？
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
(1)利用换元法解题时易忽略新元的取值范围，其原因在于不 注意问题的等价性． (2)解决一些由指数函数、二次函数等构成的复合函数、方程 或不等式时，多采用换元法，将问题转化为简单且易于处理 的函数、方程或不等式．求解时应注意新元的取值范围，如 本例中把12x当成一个整体进行代换，然后配方，最后根据指 数函数的性质确定12x的范围，从而得出所求函数的值域．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1．如果某林区森林木材蓄积量每年平均比上一年增长 11.3%， 经过 x 年可以增长到原来的 y 倍，则函数 y＝f(x) 的图象大 致为( )
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.截止到现在，我国人口约为 14 亿，若今后 能将人口年平均增长率控制在 1%，经过 x 年后我国人口为 y 亿． (1)求 y 与 x 之间的函数关系式 y＝f(x)； (2)判断函数 f(x)是增函数还是减函数？并指出增、减的实际 意义． 解：(1)y＝f(x)＝14(1＋1%)x＝14×1.01x，x∈N*. (2)y＝f(x)＝14×1.01x 是指数型函数，且是增函数． 即只要增长率为正数，随着时间的推移，我国人口总在增长．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 现有木材的蓄积量为 200 万立方米，经过 1 年后木 材的蓄积量为 200＋200×5%＝200(1＋5%)万立方米； 经过 2 年后木材的蓄积量为 200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5% ＝200(1＋5%)2 万立方米； … 经过 x 年后木材的蓄积量为 200×(1＋5%)x 万立方米． 故 y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.
4．函数 y＝2x＋1 的图象是________．
解析：当 x＝0 时，y＝2，且函数单调递增． 答案：①
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
函数的图象变换
根据表格回答下面的问题：
x
－2 －1 0
1
2
3
4
y
y＝3x
1 9
1 3
1
3
9
27 81
y＝3x－1
1 27
1 9
1 3
1
3
9
27
栏目 导引
x＋1
在
x∈[－3，2]上的值域是
________．
栏目 导引
[解析]
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
y＝14x－12x＋1＝12x2－
12x＋1＝12x－122＋34，
因为 x∈[－3，2]，所以14≤12x≤8.
当12x＝12时，ymin＝34；当12x＝8 时，
ymax＝57.
所以函数 y 的值域为34，57. [答案] 34，57
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)函数 y＝f(x)在 x＝a 时的函数值与函数 y＝f(x－1)在 x＝a ＋1 时的函数值对应相等．函数 y＝f(x－1)的图象由函数 y＝ f(x)的图象沿着 x 轴向右平移 1 个单位得到．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
函数图象的平移是一种基本的图象变换，一般地，函数 y＝f(x －a)的图象可由函数 y＝f(x)的图象按照下列方式得到：若 a>0， 则向右平移 a 个单位；若 a<0，则向左平移－a 个单位．
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
1．函数图象变换分为平移变换与对称变换，要准确地进行变 换，必须把握住图象中的关键“点”与关键“线”． 2．画图象时要注意关键“点”的确定．如果图象具有对称性， 要注意对称轴或对称中心的确定
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
函数
y＝14x
－
1 2
栏目 导引
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
所以 f(x2)<f(x1)．即 f(x)在[1，＋∞)上是减函数． 综上，函数 f(x)＝13x2－2x在(－∞，1]上是增函数； 在[1，＋∞)上是减函数． 因为 x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，0<13<1， 所以 0<13x2－2x≤13－1＝3. 所以函数 f(x)的值域是(0，3]．
y＝
f(x)(f(x)≥0)与 y＝－f(x)(f(x)<0)图象的组合．