河北省武邑中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(理)试题+Word版含解析

河北省武邑中学2019届高三上学期第三次调研考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，，所以，.选.
考点：集合的运算
2.“” 是“函数在区间上为增函数”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件【答案】B
【解析】
【分析】
函数f（x）=x2﹣4ax+1在区间[4，+∞）上为增函数．可得2a≤4，解得a即可判断出结论．【详解】函数f（x）=x2﹣4ax+1在区间[4，+∞）上为增函数．
∴2a≤4，解得a≤2．
∴“a≤3”是“函数f（x）=x2﹣4ax+1在区间[4，+∞）上为增函数”的必要不充分条件．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
3.设直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n
B. 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C. 若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D. 若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
【答案】D
【解析】
【分析】
根据面面平行的性质，通过举出反例得到A不正确；根据面面平行的判定定理，对照B的条件可得缺少“m、n是相交直线”这一条，可得α∥β不一定成立，（2）不正确；根据面面垂直判定定理，对照C的条件可得缺少“α∩β=n且m⊥n”，可得m⊥β不一定成立，（3）也不正确；根据线面垂直的性质，结合线面平行的判定可得D正确．由此即可得到本题答案．【详解】对于A，若α∥β，且m、n是平面β内的相交直线，
则m∥α且n∥α，但m与n不平行，故A不正确；
对于B，根据面面平行的判定定理，
若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，且m、n是相交直线，则α∥β
但条件中没有“m、n是相交直线”，故结论“α∥β”不一定成立，故B不正确；
对于C，根据面面垂直判定定理，得：若α⊥β，α∩β=n，m⊂α，m⊥n，则m⊥β
但条件中没有“α∩β=n且m⊥n”，故结论“m⊥β”不一定成立，故C不正确；
对于D，若α⊥β，m⊥β，则直线m∥α或m⊂α，
但是条件中有m⊈α这一条，故必定有m∥α，故D正确
故答案为：D.
【点睛】本题给出关于空间位置关系的几个命题，叫我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的判定与性质和面面垂直、线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
4.下列四个命题:
(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
(1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行,故正确;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的,故不正确;(3)显然正确;(4)显然正确.故答案为C.
5.设，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，所以．
考点：1．对数；2．大小比较．
6.函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
是奇函数，故；又是增函数，，即
则有，解得，故选D.
【点睛】
解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.
7.已知，则不等式的解集为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：时，，原不等式为，，当时，，原不等式为，，综上．故选B．
考点：分段函数．
8.已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 ( )．
A. [2－，2＋]
B. (2－，2＋)
C. [1,3]
D. (1,3)
【答案】B
试题分析：由题可知f（x）＝e x－1>－1，g（x）＝－x2＋4x－3＝－（x－2）2＋1≤1，若有f （a）＝g（b），则g（b）∈（－1,1]．即－b2＋4b－3>－1，解得2－<b<2＋．
考点：函数性质
视频
9.已知函数，则函数的大致图像为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意可知函数的定义域为
∵函数
∴，即
∴函数为非奇非偶函数，排除和
当时，，排除
故选A
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
10.已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中，则函数g（x）=cos（2x-φ）的图象（）
A. 关于点对称
B. 关于轴对称
C. 可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
D. 可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
【解析】
【分析】
利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中，
∴y=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，∴3φ=，φ=，则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）．令2x﹣=kπ，求得x=+，k∈Z，可得g（x）的对称轴为x=+，k∈Z，故B不正确，
令2x﹣=,可得到函数的对称中心为：x=+, k∈Z，故A正确；
根据函数f（x）=2sinxsin（x+）=2sinxcosx=sin2x，
故把函数f（x）的图象向右平移个单位，可得g（x）=cos（2x﹣）的图象，
故C、D均不正确，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，
属于中档题．函数（A>0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：时，函数
为奇函数；时，函数为偶函数.；（2）周期性：
存在周期性，其最小正周期为T=；（3）单调性：根据y=sin t和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由
得单调减区间；（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为
求解，令，求得x；利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.
11.定义在上的函数满足：，，则不等式的解集为
（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
令
而等价于,选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造
，构造，构造等
12.已知是定义在上的偶函数，对于,都有,当时，
，若在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是（）
A. 7
B. 8
C. 10
D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可得f（x）是周期为4的函数，且f（x）的图象关于（1，0）对称，结合图象可知，若a[f（x）]2﹣bf（x）+3=0在[﹣1，5]上有五个根，则f（x）=﹣1或0＜f（x）＜1．f（x）=﹣1时，x=2；0＜f（x）＜1时，根据二次函数的对称性可得四个根的和为0+8=8，即可得到结论．
【详解】∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=﹣x2+1，
设﹣1≤x≤0时，则0≤﹣x≤1，∴f（x）=f（﹣x）=﹣（﹣x）2+1=﹣x2+1，
又f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的函数，
∵f（x）是偶函数，对任意x∈R，都有f（2+x）=﹣f（x），∴f（2+x）+f（﹣x）=0，
以x﹣1代x，可得f（1+x）+f（1﹣x）=0，
∴f（x）关于（1，0）对称，f（x）在[﹣1，5]上的图象如图：
∵a[f（x）]2﹣bf（x）+3=0在[﹣1，5]上有5个根x i（i=1，2，3，4，5），
结合函数f（x）的图象可得f（x）=﹣1或0＜f（x）＜1，
当f（x）=﹣1时，x=2；0＜f（x）＜1时，根据二次函数的对称性可得四个根的和为0+8=8．∴x1+x2+x3+x4+x5的值为10．
故选：C．
【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查函数与方程思想，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.已知函数,则曲线在点处的切线倾斜角是_________。

【答案】
【解析】
【分析】
根据导数的运算法则和导数的几何意义即可求出．
【详解】f′（x）=x′cos2x+x（cos2x）′=cos2x﹣2xsin2x，
k=f′（）=cosπ=﹣1=tanθ
∴θ=.
故答案为：．
【点睛】本题考查了导数的运算法则和导数的几何意义，属于基础题．常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导.
14.已知函数则=___________．
【答案】
【解析】
由积分的运算法则可得。

答案：。

点睛：求定积分时要根据被积函数的特点选择相应的方法，一般有以下两种策略：
（1）运用微积分基本定理求解，即利用，求解的关键是找到函数
，且；
（2）运用定积分的几何意义求解，一般是对于被积函数为形式的定积分长转化成圆的面积求解。

15.规定记号“”表示一种运算，即．若，则函
数的值域是_____________
【答案】
【解析】
根据新定义的运算法则a△b求出k的值，再求函数f（x）的解析式和值域．
【详解】由a△b=ab+a+b，a，b∈R+，
若1△k=3，
则1•k+1+k=3，
解得k=1，
∴函数f（x）=k△x=1△x=1•x+1+x=2x+1，其中x∈R+，
∴2x+1＞1，
∴f（x）的值域是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．
【点睛】本题考查了新定义的函数解析式与值域的计算问题，是基础题．求值域，往往先要确定函数的定义域，常见的方法有：根据函数的单调性得到函数的值域，换元将函数化为熟悉的模型，再由定义域求得值域.
16.已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数，则不等式
的解集为_______________.
【答案】
【解析】
试题分析：构造函数，故函数单调递减，
，即.
考点：函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查函数导数与不等式，构造函数法求解不等式.通过阅读题目，可以知道，这是一个定义在上的函数，有的时候题目还会增加奇偶性.另外给了一个含有导数的式子，像这样的题目我们一般考虑构造函数来做，即构造，利用导数可以知道它是单调递减的，这样我们就可以将要求解的不等式利用单调性求解出来.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.设实数满足，其中，实数满足，且是的必
要而不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】 .
【解析】
p是q的必要不充分条件，则集合B是集合A的子集，分类讨论后运用区间端点值之间的关系可求a的取值范围．
【详解】由及，得，即；
又由，得，即，
由于是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，
于是，得的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题是命题真假的判断与应用，考查了必要条件问题，考查了数学转化和分类讨论思想，是中档题．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p 是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q 的关系．
18.数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n(n+1)(n∈N*).
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；
(3)令(n∈N*)，求数列{c n}的前n项和T n.
【答案】（1）；(2);（3） .
【解析】
【分析】
（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*），n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1．n=1时，a1=S1=2，即可得出;（2）数列{b n}满足：a n=，可得n≥2时，
a n﹣a n﹣1==2．n=1时，=a1=2，可得b1;（3）c n===n•3n+n，令数列{n•3n}
的前n项和为A n，利用错位相减法即可得出A n．进而得出数列{c n}的前n项和T n．
【详解】（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*），
∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n．
n=1时，a1=S1=2，对于上式也成立．
∴a n=2n．
（2）数列{b n}满足：a n=+++…+，∴n≥2时，a n﹣a n﹣1==2．∴b n=2（3n+1）．
n=1时，=a1=2，可得b1=8，对于上式也成立．
∴b n=2（3n+1）．
（3）c n===n•3n+n，
令数列{n•3n}的前n项和为A n，则A n=3+2×32+3×33+…+n•3n，
∴3A n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，
∴﹣2A n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，
可得A n=．
∴数列{c n}的前n项和T n=+．
【点睛】本题考查了数列递推关系、错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
19.某创业团队拟生产两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如
图1），产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注: 利润与投资额的单位均为万元)
（注：利润与投资额的单位均为万元）
(1)分別将两种产品的利润、表示为投资额的函数；
(2)该团队已筹集到10 万元资金，并打算全部投入两种产品的生产，问:当产
品的投资额为多少万元时，生产两种产品能获得最大利润，最大利润为多少?
【答案】（1），；（2）6.25, 4.0625.
【解析】
试题分析：（1）由产品的利润与投资额成正比，产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设产品的投资额为万元，则产品的投资额为万元，这时可以构造出一个关于收益的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解.
试题解析：(1) ,
.
(2) 设产品的投资额为万元，则产品的投资额为万元，
创业团队获得的利润为万元，
则,
令，，即，
当，即时，取得最大值4.0625.
答:当产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得的最大利润为4.0625 万元.
20.已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性并证明;
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围
【答案】（1）
（2）见解析
（3）
【解析】
试题分析：（1）在定义域为上是奇函数，所以=0，即求出，（2）由（Ⅰ）知
，利用单调性的定义进行证明，设，做差，
然后进一步判定正负，从而确定的单调性；（3）因为是奇函数，所以等价于
，利用（2）问的结论得出与的大小，转化为二次函数恒成立的问题，由，得出的范围．
试题解析：解：（1）因为在定义域为上是奇函数，所以=0，即．．4分
（2）由（Ⅰ）知，
设则
因为函数y=2在R上是增函数且∴>0
又>0 ∴>0即
∴在上为减函数．8分
（3）因是奇函数，从而不等式：
等价于，9分
因为减函数，由上式推得：．
即对一切有：，10分
从而判别式12分
考点：1．奇函数的性质2．用定义证明单调性3．利用函数的性质解抽象不等式4．恒成立问题
21.已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设函数，
（ⅰ）若函数有且仅有一个零点时，求的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若，，求的取值范围。

【答案】（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）对函数求导，求出，即可求出切线方程；
（2）（ⅰ）分离参数得，由函数的单调性可知，
，可求得;（ⅱ）研究函数的单调性，求出函数在区间上的最大值即可.
试题解析：（1）当时，定义域，
，又
在处的切线方程4分
（2）（ⅰ）令
则
即
令，
则
令
，
，在上是减函数
又
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当函数有且今有一个零点时，9分
（ⅱ）当，，若只需证明
令得或
又，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
又，
即
13分
考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值、最值、函数零点.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极
坐标为，设直线与圆交于点。

（I）写出圆的直角坐标方程；
（II）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）由题意可得点A在直线（t为参数）上，把直线的参数方程代入
曲线C 的方程可得．由韦达定理可得t 1•t 2=﹣，根据参数的几何意义可得
|AP|•|AQ|=|t 1•t 2|的值． 【详解】（I ）由
，得
，
，
即
即圆的直角坐标方程为。

（II ）由点的极坐标
得点直角坐标为，
将代入消去整理得，
设为方程
的两个根，则
所以
=
.
【点睛】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，参数的几何意义，属于基础题．一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故
，
，
均可用t 来表示，从而转化为韦达定理来解决.
23.已知函数在点
处的切线为
.
（1）求函数的解析式； （2）若
，且存在
，使得
成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）5．
【解析】
试题分析：（1）由已知可得，
；（2）原不等式化为
，令
，
，使得
，则
，
．令
，利用导数工具判断
有一零点
，进而求出
是极小值点，从而求出
最小值为
，又
．
的最小值为．
试题解析：解：（1）
的定义域为
，
，
．
（2）可化为，
令，，使得，
则，
．
令，则，
在上为增函数．
又，
故存在唯一的使得，即．
当时，，
，在上为减函数；
当时，，
，在上为增函数．
，
．
．
的最小值为5．
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判定函数的单调性；3、利用导数求函数的极值和最值；4、函数的零点.
【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值；和函数的零点，综合性强，属于难题.研究第二小题时首先应将原不等式转化为，再求最小值，而在求最小值时，求导得，将其分子记为
，再求得零点，进而求得该零点就是的最小值点，从而得到
最小值为，进而求出的最小值.。