专题16 二次根式【九大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)

专题16.1 二次根式【九大题型】
【人教版】
【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】........................................................................................................ 1 【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】........................................................................................................ 1 【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】 ...................................................................................................... 2 【题型4 根据二次根式有意义条件求值】 .......................................................................................................... 2 【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】 ................................................................................................ 3 【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】 .................................................................................... 3 【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】 ................................................................................ 4 【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】 ................................................................................................ 4 【题型9 复杂的复合型二次根式化简】 (5)
【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】
【例1】（2022春•宁津县期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ） √3，√m ，√x 2+1，√43
，√−m 2−1，√a 3（a ≥0），√2a +1（a ＜1
2） A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
【变式1-1】（2022春•顺平县期末）下列各式是二次根式的是（ ） A ．√−2
B ．−√2
C ．√23
D ．√x
【变式1-2】（2022春•宜城市期末）在式子√2，√33
，√x 2+1，x +y 中，二次根式有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【变式1-3】（2022春•凤庆县期末）下列各式：√5、√a 2，√−3，√83
，√x −1(x ⩾1)，√x 2+2x +1中，一定是二次根式的有（ ） A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】
【例2】（2022春•莱州市期末）若√12n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ） A ．1
B ．3
C ．6
D ．12
【变式2-1】（2022春•昭阳区校级月考）若√80n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【变式2-2】（2022春•信州区校级月考）当x ＝ −1
2 时，代数式3−√2x +1有最大值，其最大值是 ． 【变式2-3】（2022•金牛区校级自主招生）已知a 为实数，则代数式√27−12a +2a 2的最小值为（ ） A ．0
B ．3
C ．3√3
D ．9
【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】
【例3】（2022春•来凤县期末）若代数式√1
5x −1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞5
B ．x ≥5
C ．x ≠5
D ．x ＜5
【变式3-1】（2022春•泰山区期末）若式子√a+1
a−2有意义，则a 的取值范围为（ ）
A ．a ≥﹣1
B ．a ≠2
C ．a ≥﹣1且a ≠2
D ．a ＞﹣1
【变式3-2】（2022春•泰山区期末）若√(3x −4)2=4−3x ，则x 的取值范围是 ． 【变式3-3】（2022春•睢县期中）若
√4x
6−|x|
有意义，则x 的取值范围为 ．
【题型4 根据二次根式有意义条件求值】
【例4】（2022春•海淀区校级期末）已知a ，b 都是实数，b =√1−2a +√4a −2−2，则a b 的值为 ． 【变式4-1】（2022春•西湖区校级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式√a 2=|a|后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A ．在a ＞1的条件下化简代数式a +√a 2−2a +1的结果为2a ﹣1
B ．a +√a 2−2a +1的值随a 变化而变化，当a 取某个数值时，上述代数式的值可以为0.6
C ．当a +√a 2−2a +1的值恒为定值时，字母a 的取值范围是a ≤1
D ．若√a 2−2a +1=(√a −1)2，则字母a 必须满足a ≥1
【变式4-2】（2022春•海安市校级月考）若x ，y 是实数，且y ＜√x −1+√1−x +1
2，求|1−y|
y−1的值为 ． 【变式4-3】（2022•勃利县期末）已知a 满足|2017﹣a|+√a −2018=a ，则a ﹣20172的值是 ．
【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】
【例5】（2022春•平山县期末）二次根式√(−2)2的值是（）
A．﹣2B．2或﹣2C．4D．2
【变式5-1】（2022春•金东区期中）下列计算正确的是（）
A．√9=±3B．√22+32=5C．√4=2D．√(−3)2=−3【变式5-2】（2022春•乐清市期末）当a＝5时，二次根式√4+a的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1
【变式5-3】（2022春•辛集市期末）下列各式中，正确的是（）
A．√25=±5B．√−(√5)2=√5C．√161
4=41
2
D．√(1
8
)2
3=1
4
【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】
【例6】（2022•泗水县二模）已知y=√(x−3)2−x+4，当x分别取正整数1，2，3，4，5，…，2022时，所对应y值的总和是（）
A．2026B．2027C．2028D．2029
【变式6-1】（2022秋•南昌期末）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．
已知m为实数，化简：−√−m3−m√−1
m
解：原式=−m√−m−m⋅1
m
√−m
=(−m−1)√−m．
【变式6-2】（2022春•凤凰县月考）若式子√4−4a+a2与√a2−8a+16的和为2，则a的取值范围是．
【变式6-3】（2022•绵阳模拟）等式√x2(x+1)=−x√x+1成立的x的取值范围在数轴上表示为（）A．
B．
C．
D．
【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】
【例7】（2022春•黄骅市期中）已知a，b，c在数轴上的位置如下图：化简代数式√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|的值为
【变式7-1】（2022•宁波）已知：a＜0，化简√4−(a+1
a )2−√4+(a−1
a
)2=．
【变式7-2】（2022•广饶县期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值√a2−√(c−a+b)2+|b+c|−√b3
3=．
【变式7-3】（2022春•禹州市校级月考）已知1＜x＜3，求√1−2x+x2+√x2−8x+16的值．
【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】
【例8】（2022•建湖县一模）2、6、m是某三角形三边的长，则√(m−4)2−√(m−8)2等于（）A．2m﹣12B．12﹣2m C．12D．﹣4
【变式8-1】（2022春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x√−y
x2
=．
【变式8-2】（2022•徐汇区校级月考）如果a，b，c为三角形ABC的三边长，请化简：√(a−b+c)2+√(b−c−a)2=．
【变式8-3】（2022春•靖江市期末）已知：m是√5的小数部分，求√m2+1
m2
−2的值．
【题型9 复杂的复合型二次根式化简】
【例9】（2022•思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c=√20192+2020+2021，则a，b，c的大小关系是（）
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【变式9-1】（2022•兴平市期中）像√4−2√3，√√96−√63...这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：√4−2√3=√3−2√3+1=√(√3)2−2×√3+12=√(√3−1)2=√3−1；再如：√5+2√6=√3+2√6+2=√(√3)2+2×√6+(√2)2=√(√3+√2)2=√3+√2．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：√11+2√30=，√24−6√15=；
（2）若a+6√5=（m+√5n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式9-2】（2022•阜阳校级自主招生）已知x=√a2−6a+23，其中实数﹣4≤a≤10，则√x+5−4√x+1√x+10−6√x+1的值为．
【变式9-3】（2022春•郧西县期末）像√4−2√3，√√48−√45这样的根式叫做复合二次根式．有一些
复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：√4−2√3=√3−2√3+1=√(√3)2−2√3×1+12=√(√3−1)2=√3−1．再如：√5+2√6=√3+2√6+2=√(√3)2+2×√3×√2+(√2)2=√(√3+√2)2=√3+√2．请用上述方法探索并解决下列问题：（1）化简：√10+2√21；
（2）化简：√14−8√3．
（3）若a+6√5=（m+√5n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．。