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人教A版必修2课本例题习题改编1.原题（必修2第二十八页例3）如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。

改编如图，已知几何体的三视图（单位：cm）.
（I ）画出它的直观图（不要求写画法）；
（II ）求这个几何体的表面积和体积.
解：（I ）这个几何体的直观图如图所示.
（II）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为lcm,高为2cm）,它的上部是一个圆锥（底面半径为lcm,母线长为2cm,高为V3 cm).
所以所求表面积S = ^-xl2+2^-xlx2 + ^-xlx2 = 7^ (cm2),
所求体积V = ^xl2x2 + — x^-xl2xV3 = 2兀 + ——re (cm3).
3 3
2•原题（必修2第三十页习题1.3B组第二题）已知三棱柱ABC- A'B'C'的侧面均是矩形, 求证：它的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积。

（提示：依据三角形任意两边之和大于第三边即可得证）
改编已知直角三角形ABC,其三边分为a,b, c, （a〉b〉c）。

分别以三角形的a边，b边，c边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S” S2, S3和V1（ V2（ V3.则它们的关系为（
）
A. S!>S2>S3, Vi>V2>V3
B. Si<S2<S3,
Vi<V2<V3
C. S I>S2>S3,V I=V2=V3
D. S I<S2<S3,
V I=V2=V3
S2 = 7T-a-c + 7T-c2 ,V2 =-7T-b-C2 S3 =7t-a -b + 7T-b2,V3 =-7r-b2-c
3 则选B
3.原题（必修2第三十二页图像）改编如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得, 现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：
解：切面过轴线为（1）,否则是圆锥曲线为（4）。

本题以立体几何组合体为背景，其实运 用圆锥曲线数学模型。

答案（1）、（4）
4. 原题（必修2第三十七页复习参考题B 组第三题）如右上图是正方体的平面展开图，则 在这个正方体中有以下结论①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 与60°
改编 如右上图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么这六条面对角线所在 直线中，所成的角为60。

的直线共有12对.
5. 原题（必修2第三十七页复习参考题B 组第三题）你见过如图所示的纸篓吗？仔细观察 它的几何结构，可以发现，它可以由多条直线围成，你知道它是怎么形成的吗？
改编 如图所示的纸篓，观察其几何结构，可以看出是由许多条直线围成的旋转体，该几何
角；④DM 与BN 是异面直线；以上四个命题中，正确 号是（）
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
A \ 1 ------ F
D
命题的序
体的正视图为（）
(D)
解：选项A、B、D中的几何体是圆台、圆锥、圆柱或由它们组成，而圆台、圆锥、圆柱的侧面除了与旋转轴在同一平面的母线以外，没有其他直线。

即A、
B、D不可能，故选C。

6.原题（必修2第五十九页例3）改编设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四
边形，用平面a去截此四棱锥（如右图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面a （）
A.不存在
B.只有1个
C.恰有4个
D.有无数多个
解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n,直线m、n确定了一个平面B.
作与B平行的平面a,与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边
形.而这样的平面a有无数多个.答案：D
7.原题（必修2第六十二页习题2.2A组第八题）如图，直线AAi, BBi, CC1相交于点O, AO=A1O, BO=B1O, CO=C1O,求证：平面ABC〃平面A1B1C1.
改编如图，直线AAi、BBi, CC1相交于点O, AO=A1O, BO=BiO, CO=C1O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥，设三棱锥高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体, 若液体流入下面的三棱锥，则液体高度为□
解：液体部分的体积为三棱锥体积的丄，流下去后，液体上方空出三棱锥的体积为三棱锥 8
体积的？，设空出三棱锥的高为x,则4 = —-所以，* 也,液面高度为1-—.
8 I 3 8 2
2 &原题（必修2第六十三页习题2.2B 组第四题）如图，透明塑料制成的长方体容器
ABCD-A1B1CQ1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾 斜度的不同，有下面五个命题:其中所有正确命题的序号是 _________ ,为什么？
（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）水面EFGH 所在四边形的
面积为定值；
（4）棱AQ ］始终与水面所在平面平行；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE BF 是定值。

改编 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A|B|CQ|内灌进一些水，固定容器底面一 边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面七个命题，真命题的有 _____________ 。

（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）水面EFGH 所在四边形的
面积为定值；
（4）棱AiDi 始终与水面所在平面平行；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE BF 是定值；
（6）当容器任意倾斜时，水面可以是六边形；（7）当容器任意倾斜时，水面可以是五边形。

A C A 】
解：(1) , (2) , (4), (5) , (6) , (7) o (1)
(2) (3)
9. 原题（必修2第七十九页复习参考题A 组第十题）如图，已知平面a,j3 ,且 aC\/5 = AB,PC 丄丄尸,C,D 是垂足，试判断直线AB 与CD 的位置关系？并证明你 的结论.
改编 如图，已知平面a,0,且=
丄a,PD 丄0,C,£＞是垂足.（I ）求证: 故4B 丄平面PCD.
PC = PD = \,CD = 4^ ,所以CD' =PC 2 + PD 1 =2,即 ZCPD = 90°.在平面四边形
(II)若 PC = PD = \,CD = 4i, 试判断平面a 与平面0的位置关系, (I )因为PC 丄a,4Bua,所以PC 丄AB.
同理PD 丄 AB .又PCC\PD = P ,
（II ）设4B 与平面PCD 的交点为H,连结CH 、
DH .因为AB 丄平面PCD ,所以 丄 CH,AB 丄 DH
所以ZCHD 是二面
角C-AB-D 的平面角. AB 丄平面PCD ； 解:
PCHD中，ZPCH = ZPDH = ZCPD = 90°,所以ZCHD = 90°.故平面a 丄平面0.
10.原题（必修2第一百页习题3.2A组第九题）求过点P（2, 3）,并且在两轴上的截距相等
的直线方程。

改编1求过点P(2,3),并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是_______________ .
解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，.•.直线的方程为y-3 = x-2或
即x-y + l = 0sK3x-2y = 0.
改编2直线/经过点P(2,3),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线/的方程. 解:依题意，直线/的斜率为±1, •••直线/的方程为y-3 = x-2或y-3 = -(x-2),即x-y+l=O或x+y-5=0.
11.原题(必修2第一百一"页习题3.3B组第七题)已知AO是ABC边BC的中线，求证:
I ABI2 +IACI2=2(IAOI2 +IOCI2)
改编已知在三角形ABC中，D是BC边的中点，且AB=8,BC=8,AC=6,则AD= ___________ 解：A/34
12.原题(必修2第一百一"页习题3.3B组第八题)已知0 <x<l,0<y<l,求证：
J/ + y2 + Jx2 +(1_ y)? + J(l_x)2 + y2 + -^(1-x)2 +(1- y)2 > 2^2
改编长方形ABCD的顶点坐标是A(0,0), B(a.O), C(a,b), D(0,b), P是坐标平面上的动点, 若
AP2+BP2+CP2+DP2的值最小，则点P的位置在()
A.长方形的顶点处
B.AB边的中点处
C.两条对角线的交点处
D.三角形ABC的重心处
解：设P(x,y), IAPI2+IBPI2+ICPI2+IDPI2=x2+y2+(x-a) 2+y2+(x-a) 2+(y -b) 2+x2+(y-b) 2=4(x-a/2) 2+4(y-a/2) 2+a2+b2
当P(a/2,b/2)fcf, IAPI2+IBPI2+ICPI2+IDPI2最小，选C。

13.原题(必修2第一百一十五页复习参考题B组第七题)设a,b,c,dwR,求证：对于任
意 p, q w R, J(a - p)~ + (b —+ J(c-p)~ + (d-q)~ N J (a _ cy + (b-d)-
改编设a，b,c,dwR爲b,c,d为常数，其中(2a-b + 3)・(2c-d + 3)<0,对于任意
实数x J(a - x)2 + 0 - 2x - 3)2 + J(c _ x)? + (d _ 2x _ 3尸勺最小值为
解:可设 A (a, b) , B (c, d) , C (x, 2x+3),由(2a -b + 3)・(2c -d + 3)< 0 ,知人，
B 在直线y=2x+3 两侧,
J(a - x)~ + (b - 2x - 3)~ + J(c _ 尢)-+ (d _ 2x _ 3)~的最小值为,« n , J(a_cF + 0_打
14 •原题(必修2第一百二十九页例3 )改编若圆x2 +y2 -2mx + m2 -4 = 0与圆
x2 + y2 +2x-4my+ 4m2 - 8 = 0相切，则实数加的取值集合是___________________ .
解：：•圆(x-m)2 + y2 =4的圆心为O x(m,0),半径斤=2,圆(x + 1)2 +(y -2m)2 = 9 的
圆心为O2(-l,2m),半径厂2 =3,且两圆相切，.：Q1O2I =儿+厂2或=厂2 一厂1，•: _ _____________ ________ _____________ 1 r\
yj(m +1)2 + (2m)2 = 5 或+ 1尸 + (2"沪=1,解得m =或加=2,或加=0 或
2 12 2 实数m的取值集合是{-丁，-亍0, 2}.
15.原题(必修2第一百三十页例4)改编某圆拱型彩虹桥，跨度为20米，高为4米，要
用19根铁索等距离分布悬挂桥面，则其中一侧第m根铁索的长度f(m)= __________ 米。

解：J14.52—(勿一10)2 ms
16.原题(必修2第一百三十三页习题4.2A组第九题)求圆甘+旷―4 = o与圆
八八心+甘-12 = 0的公共弦的长。

改编两圆C1 : x2+ y2-l=0和C2： x2+ y2-8x+12=0的公切线长为____________
解：
图(1) : IABI= ^42 -(2-1)2 = V15 ；图(2) : IABI=742-(2 + l)2 =^7 ,即公切线长届和V7 o
17原题(必修2第一百三十三页习题4.2B组第三题)已知圆x2+y2=4,直线1: y=x+b.当b 为何值时，圆x2+y2=4上恰有3个点到直线I的距离都等于1.
改编已知圆x2+y2=4,直线1： y=x+b.圆上至少有三个点到直线1的距离都是1,则b的取值范围是____________ 。

解：[-V2,V2] 18原题(必修2第一百四十四页复习参考题B组第二题)已知点M(x, y)与两个定点M】，M?距离的比是一个正数加，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形(考虑加=1和
m^l两种情形)。

改编1已知两定点4(-2,0), 5(1,0)，如果动点P满足|PA| = 2|PB|,则点P的轨迹所包围的面积等于() A. 71 B. 4兀 C. 8乃D. 971
解：设点P的坐标是(x, y).由|PA| = 2|PB| ,得J(x + 2)2 + y2 = 2^x-V)2+y2 ,化简得(x-2)2 + y2 =4, A点P的轨迹是以(2, 0)为圆心，2为半径的圆，所求面积为4疋，故选(B).
改编2：由动点P向圆x2+y2 =1引两条切线P4、PB,切点分别为4、B , ZAPB =60°, 则动点P的轨迹方程是______________________ .
解：设P(x, y) . ZAPB =60°, Z. ZOPA =30°. T OA 丄AP , :. \OP\ = 2|OA| = 2 , J/ + y2 =2,化简得x2 + y2 = 4 , /.动点P的轨迹方程是x2 + y2 =4.
19原题(必修2第一百四十四页复习参考题B组第三题)求由曲线x2 + y2 =l.rl + lyl围成的图形的面积。

改编由曲线x2 + y2 =2lxl+2lyl围成的图形的面积为______________ 。

解：围成的图形如图，面积为8 + 4疋
V。