第2章 二次函数的图象与性质 (优质)

第二章
二次函数的图象及性质
本章进步目标
★★★★☆☆
Level 4
通过对本节课的学习，你能够：
1．对二次函数相关概念达到【初级理解】级别；
2．对二次函数的几种图像及性质达到【高级理解】级别。

3 . 对二次函数的图象及性质的运用达到【初级运用】级别。

VISIBLE PROGRESS SYSTEM
进步可视化教学体系
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第一关二次函数相关概念★★★☆☆☆Level 3
本关进步目标
★★★☆☆☆你会识记二次函数定义并会计算相关问题。

学习重点：记住二次函数的主要特征。

1． 定义：一般地，形如2
y =ax +bx +c （a,b,c 为常，a≠0）的函数.其中，x 是
a,b,c 为 ，a 是 ，b 是 ，c 是 。

1．下已知下列函数：（1）y=3﹣2x 2；（2）2
31
y x =
+（3）y=3x （2x ﹣1）；（4）2
26y x =-；（5）y=x 2﹣（3+x ）2；（6）y=mx 2+nx+p （其中m 、n 、p 为常数）．其中一定是二次函数的有（ ） A ． 2个
B ． 3个
C ． 4个
D ． 5个
2.关于x 的函数y=（m+1）2m m x -+x ﹣5是二次函数，则m= ．
如果函数
2
32(3)m m y m x -+=-是二次函数，那么m 的值一定是（
）
A ． 0
B ． 3
C ． 0，3
D ． 1，2
已知方程ax 2+bx+cy=0（a ，b ，c 是常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达
式
的形式，则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．
一个函数的图象关于y 轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数
y=x 2+bx ﹣4是“偶函数”，该函数的图象与x 轴交于点A 和点B ，顶点为P ，那么△ABP 的面积是 ．
识记二次函数定义【高级理解】
知道一元二次方程
定义
懂得函数的定义
会判断多项式的项
与次数
关卡1-1
识记二次函数定义
过关指南
Tips
笔记
★★★☆☆☆ 高级理解
例题
错题记录
Exercise 1
错题记录
Exercise 2 错题记录
Exercise 3
第二关二次函数的几种图象及性质★★★☆☆☆Level 3
本关进步目标
★★★☆☆☆你会解答几种特殊的二次函数的图象及性质；
★★★☆☆☆你会解答一般形式的二次函数的图象及性质。

学习重点：熟练掌握几种特殊形式的二次函数的图像及其图像增减性和对称性等特征。

的图像是一条 ，其顶点是 ，对称轴是 .
抛物线开口 ⇔顶点 为其最低点；在对称轴的左侧，从左往右
看，抛物线呈 ，随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，从左往右看，抛物线呈 ，y 随x 的增大而 。

0<a
抛物线开口 ⇔顶点 为其最高点；在对称轴的左侧，从左
往右看，抛物线呈 ，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，从左往右看，抛物线呈 ，y 随x 的增大而 .
③
a
决定开口大小。

a
越大，开口 ；
a
越小，开口 .
顶点是 ，对称轴是 的抛物线的解析式形式为 .
ax ＋k 的性质抛物线开口 ⇔顶点 为其最低点；
从左往右看，抛物线呈 ，的增大而 ；在对称轴的右侧，从左往右看，抛物线呈 ，的增大而 . 抛物线开口 ⇔顶点 为其最高点；在对称轴的左侧，从左
往右看，抛物线呈 ，的增大而 ；在对称轴的右侧，从左往右看，抛物线呈 ，的增大而 . 抛物线开口 ;顶点 为其最低点；左往右看，抛物线呈 ，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，从左往右看，抛物线呈 ，y 随x 的增大而 。

0<a
时⇔抛物线开口 ⇔顶点 为其最高点；在对称轴的左侧，从左
往右看，抛物线呈 ，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，从左往右看，抛物线呈 ，y 随x 的增大而 。

解答几种特殊形式的二次函数的图像及性质
【高级理解】
懂得函数画图步骤
会看函数图像的增
减性知道对称图形中对称点的特征
关卡2-1
解答几种特殊形式的二次函数的图象及性质 过关指南
Tips
★★★☆☆☆ 高级理解
1．已知点A （-1，1y ），B （2，2y ），C （-2
，3y ）在函数
2
14
y x
的图像上，则y 1，y 2，3y 的大小关系是 .
2. 抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_________，与x 轴的交点坐标为_________．
3. 抛物线y ＝2x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．
4. 若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为__________________．
5. 把抛物线y ＝－1
2 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，
就得到抛物线y ＝－1
2 (x ＋1)2－1
6.
抛物线 如下图，分别是① y＝ax 2，② y＝bx 2，③ y ＝cx 2，④ y＝dx 2对应的图象，
比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接
________________________．
若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值.
写出一个顶点坐标为（0，－8），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式________________． 写出一个顶点是（6，0），形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2都相同的二次函数解析式 ___________________________．
抛物线y ＝2 (x ＋3)2-2的开口________；顶点坐标为___________；对称轴是_________；当x ＞－3时，y ；当x ＝－3时，y 有_____值是_________．
抛物线y ＝m (x ＋n)2+k 先向左平移2个单位,再向上平移6个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2-3，则 m ＝_________，n ＝___________，k=_____________.
过关练习
错题记录
Exercise 1
错题记录
Exercise 2 错题记录
Exercise 3
错题记录
Exercise 4
错题记录
Exercise 5 错题记录
Exercise 6
1．填写下列表格
y ＝ax 2 y ＝ax 2＋k
y ＝a(x －h)2
y ＝a(x －h)2＋k
y ＝ax 2＋bx ＋c
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值
增减性 （对称轴左侧）
= = = 此时，h= ，k= 。

．根据二次函数配方后的解析式求出其开口方向、顶点坐标和对称轴。

即开口方向看 ，对称轴是直线 .顶点是（解答y =a(x −h)2+k 的图像及
性质
懂得函数画图步骤
会看函数图像的增
减性知道对称图形中对
称点的特征
关卡2-2
一般形式的图像及性质
过关指南
Tips
★★★☆☆☆ 高级理解
1．把y=2
1x 2-2x+１写成y=a(x-h)2+k 的形式，并指出其对称轴、顶点坐标及最值.
用两种方法求二次函数y ＝3x 2＋2x 的顶点坐标．
二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标是（1，－2），则b ＝_______，c ＝_______．
二次函数y ＝－x 2＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值
错题记录
Exercise 1
错题记录
Exercise 2
错题记录
Exercise 3
第三关二次函数图像与性质运用★★★★☆☆Level 4
本关进步目标
★★★★☆☆你会利用函数图像解题；
★★★★☆☆你会利用函数性质解题。

学习重点：能够根据所给图像推断函数的性质，熟练掌握二次函数一般式的各个系数是a+b+c: a-b+c
4a+2b+c 4a-2b+c a
b
2-
大有用处。

利用其解决利用二次函数的图像解题
【初级运用】
熟知一般式中a,b,c 的含义掌握一次函数的图
像及性质理解特殊点的函数
值
关卡3-1
利用二次函数的图像解题
过关指南
Tips
★★★★☆☆ 初级运用
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac-b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；
④m（am+b）+b＜a（m≠-1）其中正确结论的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）
A．B．C．D．
4.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．
已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示， 现有下列结论：
①abc ＞0；②b 2-4ac ＜0；③4a-2b+c ＜0；④b=-2a ． 则其中结论正确的是 .
已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论 ①abc ＜0；②b 2-4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2， 其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
在同一坐标系中，函数y=ax 2与y=ax-a （a≠0）的图象的大致位置可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和函数y=mx 2+2x+2（m 是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
错题记录
Exercise 1
错题记录
Exercise 2 错题记录
Exercise 3
错题记录
Exercise 4 过关练习
学习重点：熟练掌握二次函数的性质（包括增减性。

对称性以及平移）并用来解题。

1.将二次函数y=x 2-2x-1的图象绕坐标原点O 旋转180°，则旋转后的图象对应的解析式（ ） A ．y=x 2+2x+3 B ．y=-x 2-2x+1 C ．y=x 2-2x-1
D ．y=-x 2+2x-3
2 .已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： 点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在函数的图象上，则当1＜x 1＜2，3＜x 2＜4时，y 1 与y 2的大小 关系正确的是（ ）
A ．y 1＞y 2
B ．y 1＜y 2
C ．y 1≥y 2
D ．y 1≤y 2
3 .已知点A （0，y 1）、B （1，y 2）、C （3，y 3）在抛物线y=ax 2-2ax+1（a ＜0）上，则y 1、y 2、
y 3的大小关系是 （用“＜”联结）．
二次函数性质的运用
知道二次函数的对
称的特点掌握函数平移的方
法
知道利用二次函数增减性比较函数值
的大小
x … 0 1 2 3 4 … y
…
4
1
1
4
…
关卡3-2
二次函数性质的运用
过关指南
Tips
笔记
★★★★☆☆ 初级运用
例题
将抛物线
221216
y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式
是 .
已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
x
…
-1
1
2
3
4
…
y … 10 5 2 1 2 5 …
若A （m ，y 1），B （m+1，y 2）两点都在该函数的图象上，当m= 时，y 1=y 2．
已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：
x
…
1
2
3
…
y … 5 2 1 2 …
点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在函数的图象上，则当0＜x 1＜1，2＜x 2＜3时，y 1与y 2的大小关系是 .
已知二次函数y=a 2（x-2）2+c （a≠0），当自变量x 分别取0，1.5，3时，对应的值分别为y 1，y 2，y 3，则y 1，y 2，y 3的值用“＜”连接为 ．
过关练习
错题记录
Exercise 1
错题记录
Exercise 2
错题记录
Exercise 3
错题记录
Exercise 4。