函数奇偶性：高考数学一轮复习基础必刷题

函数奇偶性：高考数学一轮复习基础必刷题
一、单选题
1．下列函数是偶函数且在区间(–),0∞上为减函数的是（）
A ．2y x =
B ．1y x
=
C ．y x
=D ．2
y x =-2．下列四个函数中,在(0,)+∞上为增函数且为奇函数的是（）
A ．()3f x x
=-B ．2()3f x x x
=-C ．1()f x x
=-
D ．()f x x
=-3．若函数()55x x f x -=+与()55x x g x -=-的定义域均为R ，则（）
A ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数
B ．()f x 与()g x 均为奇函数
C ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数
D ．()f x 与()g x 均为偶函数4．下列函数既是幂函数又是偶函数的是（）A ．2()3f x x =B ．()f x =
C ．4
1()f x x =
D ．3()-=f x x 5．函数3
()x x
x f x e e -=-的图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，
也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数2
()a
f x x x
=+
（a R ∈）的图像不．可能．．
是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知()2cos f x x x =+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是A ．20,3⎛⎫
⎪
⎝⎭
B ．20,3⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
C ．()2,0,3⎛⎫
-∞+∞ ⎪⎝⎭ D ．(]2,003⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦
，U
8．已知函数()(3lg f x x x =+，若当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()
()2
sin 4sin 0
f t f t θθ+->恒成立，则实数t 的取值范围是（）
A ．10,4⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B ．1,5⎛
⎫-∞ ⎪
⎝
⎭C ．1,4⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭D ．1,5⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
二、填空题
9．已知函数()()2,
0,
x
x f x g x x ⎧<⎪=⎨
>⎪⎩为奇函数，则(2)g =______．
10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()32f x x =-，则当0x >时，
()f x =___________.
11．已知()1f x +是定义域为R 的偶函数，对于任意1x ，(]2,1x ∈-∞且12x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-，且()30f =，则
()
0f x x
>的解集为___________.三、解答题
12．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-．（1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式；（2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．
13．已知定义在[]22-,
的函数()f x 在[]0,2单调递减，且()()1f m f m -<.(1)若()f x 是奇函数，求m 的取值范围；(2)若()f x 是偶函数，求m 的取值范围.
14．设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；
（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集；（2）若()312
f =，且22()4()x x
g x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．
15．已知函数()()()lg 8lg 8f x x x =+--+．（1）求()f x 的定义域；
（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集．
参考答案：
1．C 【解析】
根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】
2y x =不是偶函数；
1
y x
=
不是偶函数；y x =是偶函数，且函数在(),0∞－上是减函数，所以该项正确；
2y x =-是二次函数，是偶函数，且在(–),0∞上是增函数，
故选：C.2．C 【解析】【分析】
根据函数图象可以对ABC 选项的单调性和奇偶性进行判断，D 选项可以用函数奇偶性判断方法得到是偶函数，故D 选项错误.【详解】
()3f x x =-在(0,)+∞单调递减且不是奇函数，故A 错误；2()3f x x x =-在302⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递
减，在32⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，且不是奇函数，故B 错误；1()f x x =-在(0,)+∞上为增函数且为奇函数，C 正确；()==()f x x x f x -=---是偶函数，D 错误.故选：C 3．A 【解析】【分析】
因为定义域为R ，所以代入x -利用定义判断()f x 和()g x 的奇偶性即可.【详解】
解：因为()f x 和()g x 定义域均为R ，所以有()()55x x
f x f x --=+=，
()()55x x g x g x --=-=-，所以()f x 为偶函数，()g x 为奇函数.
故选：A 4．C 【解析】
根据幂函数的定义,形如()f x x α
=的函数时幂函数,幂函数过定点(1,1).偶函数定义域关于原
点对称,且()()f x f x -=.【详解】
解:幂函数的图象都经过点(1,1)，排除A ；
()f x =与3()-=f x x 不是偶函数，排除B ，D.
故选:C 5．B 【解析】
根据解析式求得函数奇偶性，以及()1f 即可容易求得结果.【详解】
因为()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()3
x x x f x f x e e
--==-，故()f x 为偶函数，
排除C ，D ，验算特值1
1
(1)=0f e e
-<-，排除A,故选：B 【点睛】
本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题.6．A 【解析】【分析】
根据函数的奇偶性，分类0a =，0a <和0a >三种情况分类讨论，结合选项，即可求解.【详解】
由题意，函数2
()()a
f x x a R x
=+
∈的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞关于原点对称，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于原点对称，
当0a =时，函数2()f x x =且(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，图象如选项B 中的图象；
当0a <时，若0x >时，函数2
()a f x x x =+，可得32
2()0x a
f x x -'=>，
函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增，此时选项C 符合题意；
当0a >时，若0x >时，可得2
()a f x x x =+，则322
2()2a x a
f x x x x -'=-=，
令()0f x '=，解得x =
当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以选项D 符合题意.故选：A.7．B 【解析】【分析】
由奇偶性的定义得出函数()y f x =为偶函数，利用导数知函数()y f x =在区间[)0,+∞上为增函数，由偶函数的性质将不等式()()1120f t f t ---≥变形为()()112f t f t -≥-，利用单调性得出112t t -≥-，从而可解出实数t 的取值范围.【详解】
函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，
()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=Q ，∴函数()y f x =为偶函数，
当0x ≥时，()2cos f x x x =+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，
由于函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，则112t t -≥-，即()()2
2
112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，故选B.【点睛】
本题考查函数不等式的求解，解题的关键在于考查函数的奇偶性与单调性，充分利用偶函数的性质()()f x f x =来求解，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．D 【解析】
先判断()f x 是奇函数且在R 上为增函数，所以由()
()2
sin 4sin 0f t f t θθ+->可得
2sin sin 40t t θθ-+>，
由当0,2πθ⎡⎤
∈⎢⎣⎦时，得sin [0,1]θ∈，构造函数2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈，然后分1
012t
<<，102t <和112t ≥三种情况求解即可
【详解】
解：()f x 的定义域为R ，
因为33()()lg(lg(lg10f x f x x x x x +-=++-+-+==，所以()f x 为奇函数，
因为函数3,lg(y x y x ==+在[0,)+∞上均为增函数，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，
由()
()2
sin 4sin 0f t f t θθ+->得()()2sin 4sin f t f t θθ>--，
所以()()2
sin 4sin f t f t θθ>-+，
所以2sin 4sin t t θθ>-+，即2sin sin 40t t θθ-+>，
当0,2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，sin [0,1]θ∈，
令2()4g x tx x t =-+，[0,1]x ∈当0=t 时，()0g x x =-≤，舍去，当0t ≠时，对称轴为12x t
=，当1012t <<时，即12t >，则有11()4024g t t t
=->，解得14t >，所以12t >，
当102t <时，即0t <，有(1)140g t t =-+>，得1
5t >，所以t ∈∅，当
112t ≥时，即102t <≤，有(1)140g t t =-+>，得15t >，所以1152
t <≤，
综上，1
(,)5
t ∈+∞，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：此题考查奇函数性质的应用，考查函数单调性的应用，考查转化思想和分类思
想，解题的关键是利用函数在R 上为增函数且为奇函数，将()
()2
sin 4sin 0f t f t θθ+->恒
成立转化为2sin sin 40t t θθ-+>恒成立，然后构造函数，利用二次函数的性质讨论求解即可，属于中档题9．1
4
-##0.25
-【解析】【分析】
利用奇函数的性质进行求解即可.【详解】
因为()f x 是奇函数，所以有2
1(2)(2)(2)24
g f f -==--=-=-
，故答案为：14
-10．32x --【解析】【分析】
设0x >，则0x -<，求出()f x -的表达式，再由()()f x f x =-即可求解.【详解】
设0x >，则0x -<，所以()32f x x -=--，
因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()32f x f x x =-=--，所以当0x >时，()32f x x =--故答案为：32x --.11．()(),10,3-∞- 【解析】
根据题意推出()f x 在(,1]-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，分类讨论x ,利用函数()f x 的单调性可解得结果.【详解】
因为对于任意1x ，(]2,1x ∈-∞且12x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-，
所以()f x 在(,1]-∞上单调递增，
因为()1f x +是定义域为R 的偶函数，所以(1)f x +的图象关于直线0x =对称，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，
因为()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(3)(213)(1)f f f =⨯-=-，因为(3)0f =，所以(1)0f -=，
当0x <时，
()
0f x x >可化为()0f x <(1)f =-，因为()f x 在(,0)-∞上递增，所以1x <-，当01x <≤时，()
0f x x
>可化为()0(1)f x f >=-，因为()f x 在[1,1]-上递增，所以1x >-，又
01x <≤，所以01x <≤，
当1x >时，
()
0f x x >可化为()0f x >(3)f =，因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以13x <<，综上所述：()
0f x x
>的解集()(),10,3-∞- .
故答案为：()(),10,3-∞- 【点睛】
关键点点睛：利用函数的单调性解不等式是关键，根据函数的奇偶性和对称性可得函数的单调性
12．（1）2()2f x x x =+；（2）1或1+
【解析】【分析】
（1）根据偶函数的性质，令(,0)x ∈-∞，由()()f x f x =-即可得解；
（2）0m >，有2
21m m -=，解方程即可得解.
【详解】
（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+；
（2）由0m >，2
|()|21f m m m =-=，
所以221m m -=±，
解得1m =
或1m =
或1m =（舍）.13．(1)11,2⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭(2)11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
【解析】【分析】
（1）根据奇函数，得到单调性，进而解不等式，求出答案；（2）根据偶函数，对不等式进行变形，进而得到不等式组，求出答案.(1)
若()f x 是奇函数，则()f x 在[]22-,
上单调递减，故121222
m m
m m ->⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩
，解得：11,2m ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭，故m 的取值范围为11,2⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
；
(2)
若()f x 是偶函数，因为()f x 在[]0,2上单调递减，故在[)2,0-上单调递增，由()()1f m f m -<得：()()1f m f m -<，故121222
m m m m ⎧->⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得：11,2m ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭，
故m 的取值范围为11,2⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
.
14．（1）增函数，(1,)+∞；（2）2-．【解析】【分析】
（1）由(0)0f =，求得1k =，得到()x x f x a a -=-，根据()10f >，求得1a >，即可求得函数()x x f x a a -=-是增函数，把不等式转化为(2)(4)f x f x +>-，结合函数的单调性，即可求解；
（2）由（1）和()312
f =，求得2a =，得到()2(22)4(22)2x x x x
g x -----+=，令22x x t -=-，
得到()2
3
42,2
g t t t t =-+≥
，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】
（1）因为函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，可得(0)0f =，从而得10k -=，即1
k =当1k =时，函数()x x f x a a -=-，
满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，所以1k =，
由()10f >，可得10a a
->且0a >，解得1a >，所以()x x f x a a -=-是增函数，又由(2)(4)0f x f x ++->，可得(2)(4)(4)f x f x f x +>--=-，
所以24x x +>-，解得1x >，即不等式的解集是(1,)+∞．
（2）由（1）知，()x x f x a a -=-，
因为()3
12f =，即132
a a -=，解得2a =，故()222(22)2(22)4(22)224x x x x x x x x g x -----=---+-+=，
令22x x t -=-，则在[1,)+∞上是增函数，故113222
t -≥+=，即()2342,2
g t t t t =-+≥，此时函数()g t 的对称轴为322t =>
，且开口向上，所以当2t =，函数()g t 取得最小值，最小值为()2224222g =-⨯+=-，
即函数()g x 的最小值为2-．
15．（1）()8,8-；（2）奇函数；证明见解析；（3）72,811⎛⎫ ⎪⎝⎭
．【解析】
【分析】
（1）利用对数的性质可得8080
x x +>⎧⎨->⎩，解不等式即可得函数的定义域.（2）根据奇偶性的定义证明()f x 的奇偶性即可.
（3）由()f x 的解析式判断单调性，利用对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】
（1）要使()f x 有意义，则8080x x +>⎧⎨->⎩
，解得：88x -<<．
∴()f x 的定义域为()8,8-.
（2）()f x 为奇函数，证明如下：
由（1）知：()8,8x ∈-且()()()()lg 8lg 8f x x x f x -=--+=-，∴()f x 为奇函数，得证．
（3）∵()816lg
lg(1)88x f x x x +==---在()8,8-内是增函数，由()1f x >，∴8108x x +>-，解得7211
x >，∴不等式()1f x >的解集是72,811⎛⎫ ⎪⎝⎭
.。